Skripta iz statistike

1

Nezavisni Univerzitet Banja Luka

STATISTIKA

                                                   Dr.sc.Branka Marković

2

1.UVOD

1.1.Pojam i zadaća statistike

Sam naziv potiče od novolatinskog  

ratio status

  i italijanskog ekvivalenta  

ragione di stato

-

državni interes, te izvedenice 

statista

-osoba vješta u vođenju državnih poslova.

Značenje pojma

 statistika se mjenjalo sa vremenom.Danas se pod statistikom podrazumjeva:

1.Nauka o prikupljanju brojčanih podataka različite vrste , o njihovom uređenju, metodama 

analize i tumačenju

2.Skup   uređenih   brojčanih   podataka   o   različitim   prirodnim   i   društvenim   pojavama,   koje 

prikupljaju i objavljuju statističke , stručne ,naučno-istraživačke i druge ustanove.

Predmet   statistike

  sastoji   se   u   donošenju   odluka   brojčane   prirode   o   nepoznatim 

karakteristikama   skupa   na   osnovu   rezultata   izučavanja   varijacija.Statistički   podaci   su 

mnogobrojni.Pomoću statističkih metoda oni se redukuju sa ciljem da se isključe nevažne, a 

izdvoje   zančajne   informacije   o   pojavi   koju   oni   predstavljaju.Podaci   su   posmatrana 

kvalitativna i kavntitativna obilježja objekata, osoba,pojava odnosno elemenata statističkog 

skupa.

Obilježje 

je svojstvo po kome se jedinice skupova razlikuju ili jedna drugoj liče.Ona se 

pojavljuju u više oblika(modaliteta), pa se pojam obilježja izjednačuje s pojmom varijable.

Statistička   analiza

,   statističke   informacije,   analitičke   metode   i   modeli   osnova   su   svake 

empirijske   analize   prirodnih   i   društvenih   pojava.Metodama   se   procjenjuju     nepoznati 

parametri modela osnovnih skupova ili testiraju  hipoteze o njima.Statističke metode služe u 

postupcima   predviđanja,   kontroli   proizvodnih   procesa,   poslovnom   odlučivanju.Statistički 

podaci dio su velikog skupa informacija kojima je izloženo moderno društvo.

Statistika kao naučnoanalitička metoda istraživanja pojava i procesa dijeli se na deskriptivnu i 

inferencijalnu (analitičku, induktivnu, matematičku)statistiku.

Deskriptivna statistika

  se bavi prikupljanjem podataka, njihovim grupiranjem, tabelarnim i 

grafičkim   prikazivanjem   ,izračunavanjem   različitih   brojčanih   pokazatelja   koji   izražavaju 

karakteristike promatrane pojave. Svi se rezultati odnose samo na analiziani skup podataka .U 

deskriptivnu statistiku ubrajaju se   postupci analize nizova i specifičnih mjera npr.srednje 

vrijednosti, mjere disperzije mjere asimetrije itd.

4

intervalu.Primjer:popis stanovništva tačno u ponoć 31.12.2012. godine i on se definiše u tačno 

određenom trenu, dok se proizvodnja električne energije definiše u određenom razdoblju.

Statistički   skup   čiji   elementi   zadovoljavaju   spomenute   definicije   je  

homogen.

Samo   takvi 

skupovi mogu biti predmet statističke analize.

Statistički skup ćemo upoznati ako upoznamo njegove jedinice, a njih ćemo upoznati ukoliko 

upoznamo njihova obilježja(svojstva).Pod statističkim obilježjem podrazumjevamo ona opšta 

svojstva   jedinica   skupa   po   kojima   se   međusobno   razlikujuSvaka   jedinica   ima   više 

obilježja.Primjer:jedinica „zaposlena osoba“ ima ova obilježja .pol;kvalifikaciju;dob;dužina 

staža;mjesto i vrsta zaposlenja itd.

Često je nemoguće, vršiti statističku analizu na čitavom statističkom skupu. Zbog toga se vrlo 

često iz  čitavog statističkog skupa vrši izbor nekih elemenata skupa na kojima se sprovodi 

dalja statistička analiza, koja rezultira određenim kvantitativnim zaključcima koji važe za 

čitav statistički skup. Podskup statističkog skupa dobijen izborom nekih njegovih elemenata 

zove se 

uzorak.

Obim uzorka je uvijek manji od obima osnovnog skupa.

1.3.Vrste obilježja i njihova svojstva

Svojstvo po kome se jedinice skupa razlikuju ili sliče nazivaju se obilježje.U pravilu ona se 

javljaju   u   dva   ili   više   oblika(modaliteta).Svojstva   elemenata   statističkog   skupa   se 

mjere.Mjerenjem se smatra pridruživanje brojeva ili oznaka jedinicama statističkog skupa 

prema   određenom   pravilu.Pravila   pridruživanja   data   su  

mjernim   skalama(nivo 

mjerenja)

.Razlikuju   se   četiri   vrste   mjernih   skala:  

nominalna,ordinalna,   intervalna   i 

numerička(racio).

Nominalna skala  

je data u obliku nenumeričkog skupa tj. liste naziva(atributa, kategorija, 

slovnih oznaka..).Našla je primjenu na podatke koji su razvrstani u različite kategorije u svrhu 

identifikacije.Redosljed   je   utvrđen   ,   najčešće   abecednim   redom   Primjeri:   imena,   marke, 

bračno stanje.Tim se kategorijama mogu pridružiti numeričke vrijednosti,ali nisu dopuštene 

nikakve brojčane operacije.

Nominalna obilježja se dijele na:

atributivna i geografska

.Atributivno obilježje je svojstvo 

jedinice   statističkog   skupa   koje   se   izražava   opisno   tj.   riječima.Primjer:   pol,   narodnost, 

5

zanimanje   ,   uzrok   smrti   itd.Geografsko(prostorno)   obilježje   označava   mjesto   s   kojim   je 

jedinica u nekoj vezi.Primjer: mjesto rođenja; mjesto stalnog boravka;mjesto zaposlenja itd.

Ordinalna   skala

  pridružuje   brojeve,   slovne   oznake   ili   simbole   elementima   skupa   prema 

stepenu intenziteta nekog svojstva.Ima primjenu na podatke koji se razvrstavaju u kategorije 

koje se mogu rangirati, tj. poredati.Primjer: rangiranje izvrstan, zadovoljavajući, loš. Mogu im 

se pridružiti brojčane vrijednosti koje ima smisla upoređivati, ali nisu dopuštene brojčane 

operacije.Pošto se mogu podaci rangirati(poredati) prema stepanu svog intenziteta pri tome se 

ordinalno obilježje zove još i obilježje ranga.

Intervalna skala 

je skala kod koje se pridružuju brojevi mjernim svojstvima elemenata.Kod 

njih znamo redosljed i razliku između brojeva na skali, jer je kod tih skala definisana razlika 

jednaka   na   svakom   dijelu   skale.Primjer:   temperaturna   skala.Za   intervalnu   skalu   je 

karakteristično što je položaj nule i mjerne jedinice određene dogovorom.

Omjerna skala 

se sastoji od brojeva za koje vrijedi da njihove jednake razlike predstavljaju 

jednake razlike mjernog svojstva.Primjenjuje se na podatke koji se mogu rangirati, imaju sva 

svojstva intervalnih skala i za koje imaju smisla sve osnovne aritmetičke operacije.Primjer: 

dužina, težina, zapremina itd.

Vrijednosti koje su pridružene elementima pomoću omjerne skale nazivaju se 

vrijednostima 

numeričkog obilježja

 Ako se numeričko obilježje može izraziti samo cijelim brojevima onda 

se takvo obilježje naziva 

diskretno ili diskontinuirano.

Primjer: broj zaposlenih u radnji.Ako se 

numeričko obilježje može izraziti i cjelim i decimalnim brojem , kao primjer:težina, dužina , 

visina, tada se takvo numeričko obilježje naziva 

kontinuirano

 numeričko obilježje.

Statistička obilježja se mogu podjeliti na 

kvalitativna i kvantitativna

 statistička obilježja.

Kvalitativna   (kategorijska)   obilježja   su   ona   obilježja   koja   ne   mogu   poprimati   brojčane 

vrijednosti,ali   mogu   biti   razvrstana   u   dvije   ili   više   nebrojčanih   kategorija.U   ovu   grupu 

obilježja ubrajamo statistička obilježja mjerena nominalnoj i ordinalnoj skali.

Kvantitativna   obilježjaje   obilježja   koja   imaju   brojčanu   (numeričku)   vrijednost.Takve 

karakteristike imaju obilježja mjerena intervalnom i omjernom skalom.

1.4. Izvori podataka

7

Za brojčano izražavanje odnosa između obilježja, do sada smo upotrebljavali postotke, u tu 

svrhu primjenjuje se 

relativna frekvencija, 

a ona je odnos apsolutne frekvencije tog obilježja i 

zbira svih apsolutnih frekvencija.Relativna frekvencija se označava sa  

p

i

.

p

i

=

f

i

N

i=1,2.....k

Zbir frekvencija mora biti jednak 1.

U statističkoj analizi nominalnih nizova koriste se i relativne frekvencije. 

Relativna frekvencija je relativni broj koji pokazuje udio grupe podataka u 

ukupnom broju podataka

Nominalni   nizovi

    nastaje   grupisanjem   podataka   prema   modalitetima   nominalnog 

obilježja.Pošto se nominalna obilježja dijele na atributivna i geografska to se u nizovi dijele 

na atributivne i geografske.Kod ovih nizova primjenjuju se apsolutne i relativne frekvencije.

Nominalni nizovi se prikazuju pomoću tabela i grafikona.Svaka statistička tabela nastaje od 

horizontalnih i vertikalnih crta.U predkoloni se navodi naziv obilježja i njegovi modaliteti ,a u 

zaglavlju je opis sadržaja kolone.Statističkom tabelom povećava se preglednost grupisanih 

podataka.Nominalne   nizove   grafički

 prikazujemo   korištenjem   površinskog 

grafikona(stubčasti grafikon).Mogu biti uspravni ili položeni stubci.Stubci su jednakih baza , 

pa se poređenjem njihovih visina mogu vidjeti razlike frekvencija u odnosu na pojedine oblike 

obilježja. U istu svrhu može se koristiti i kružni dijagram.

Kod stubčastog dijagramana horizontalnoj osi nanosi se vrijednost obilježja X.Kod grafikona 

apsolutnih frekvencija na Y osi se nanose vrijednosti odgovarajućih frekvencija obilježja X, i 

konstruišu se pravougaonici iznad vrijednosti na X osi sa visinama jednakim frekvencijama.

Geografski nizovi prikazuju se osim grafikonom i kartogramima, pri čemu se geografska 

obilježja   prikazuju   geometrijskim   likovima..Grafičko   i   statističko   prikazivanje   predstavlja 

sredstvo deskriptivne statistike.

Redosljedni(ordinalni)   niz

  nastaje   grupisanjem   elemenata   osnovnog   skupa   prema   stepenu 

intenziteta svojstav.I u ovom kao i u prethodnom nizu skup od N podataka dijeli se na k 

podskupova,   koji   se   međusobno   ne   poklapaju.Apsolutna   frekvencija   f

r

i

  predstavlja   broj 

elemenata osnovnog skupa s oblicima ranga 

r

i

.

R

elativna frekvencija p(

r

i

) je odnos apsolutne frekvencije i zbira apsolutnih frekvencija.

8

Prikazivanje redosljednog niza se vrši tabelarno i grafički.Za tebelarno prikazivanje služi 

kombinovana   tabela,   čiji   sadržaj   zavisi   od   oblika   dviju   ili   više   obilježja.Za   grafičko 

prikazivanje koristi se površinski grafikon jednostavnih stubaca i kružni dijagram.

Numerički   nizovi

  nastaju   uređenjem   vrijednosti   kvantitativnog   obilježja.Najjednostavniji 

način uređivanja vrijednosti tog obilježja sastoji se u nizanju po veličini.Ako su pojedinačne 

vrijednosti obilježja x:

x

1

;

;

x

2

;......

x

N ,

  pri čemu vrijedi 

x

i

≤ x

i

+

1

 ,  i=1,2,...,N-1

Kada   je   N   veliki   broj,   uređivanje   pojedinačnih   vrijednosti   je   otežano,zbog   toga   se   mora 

izvršiti grupisanje podataka.

Grupisanjem podataka nastaje distribucija frekvencija.Funkciju 

koja svakom obilježju xi pridružuje odgovarajuću   frekvenciju fi   ; i = 1......; k, nazivamo 

funkcijom distribucije frekvencije.(

x

i

,

f

i

).

Relativna frekvencija p(

x

i

) dobije se dijeljenjem i-te 

apsolutne frekvencije zbirom apsolutnih frekvencija :

p

i

=

f

i

N

  ; 

i=

1,2,3...k

Relativna frekvencija numeričkog niza je broj koji se nalazi između nule i jedan, a zbir im je 

uvijek jedan.

Oblici u kojima se pojavljuje numeričko obilježje razlikuju se međusobno prema načinu na 

koji   se   ono   može   mjeriti   ,   jer   se   numeričko   obilježje   izražava   brojem.Vrijednosti 

kontinuiranog   obilježja

  se   grupišu   na   osnovu   razreda.Te   se   grupe   nazivaju  

razredi   ili 

klase

.Apsolutna frekvencija razreda je broj podataka razvrstan u dati razred.

Svaki razred ima donju i gornju granicu.Donja granica  

i

-tog razreda označava se sa   

L

1

i

  a 

gornje sa 

L

2

i

 pa je  

i

 –ti razred dat izrazom:

L

1

i

≤ x

i

<

L

2

i

i=

 1,2....,k

Distribucija   frekvencija   kontinuiranog   numeričkog   obilježja   je   skup   parova   razreda   i 

pridruženih frekvencija.

10

Šema br.4: Prikaz numeričkog obilježja

Ako su date pojedinačne vrijednosti numeričkog obilježja x, i ako ih je mali broj, prikladan je 

grafički prikaz pomoću tačaka.

_

.

___

.._

___________________

....

_________

.._

___________________

10    15                               60               80     Plata(u hiljadama din.)

Šema br. 5:Prikaz numeričkog niza pomoću tačaka

Osim   dijagramima   s   tačkama   pojedinačni   podaci   o   vrijednostima   numeričkog   obilježja 

prikazuju se S_L dijagramom, on je specifična vrsta histograma.

Distribucija frekvencija grafički se prikazuje   

linijskim i površinskim grafikonom  

, odnosno 

histogramom.Linijski grafikon konstruiše se u pravougaonom koordinatnom sistemu.Na osi 

apscise   nalazi   se   aritmetičko   mjerilo   za   obilježje   X,   a   na   osi   ordinata   mjerilo 

frekvencije.Ukoliko izvršimo spajanje tačaka , koordinate kojih su vrijednosti x i pripadajućih 

frekvencija tada ćemo dobiti  

poligon frekvencija.Histogram j

e površinski grafikon koji se 

konstruiše   u   pravougaonom   sistemu   s   artimetičkim   mjerilima   na   osi.Umjesto   crta 

upotrebljavaju se pravougaonici.Pravougaonici se oslanjaju na os apscise, na kojoj se nalazi 

aritmetičko mjerilo za vrijednosti X, a visina pravougaonika određena je frekvencijom.

Numerička obilježja

grupisani podaci 

distribucija 

frekvencija 

kumulativni niz

Negrupisani podaci

 S-L dijagram

dijagram tačaka

11

broj garnitura 5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Šema br 6: histogram frekvencija

broj garnitura

Category 2

Category 3

Category 4

0

2

4

6

8

10

broj dana

Šema br.7: poligon frekvencija

Kumulativni niz

  distribucije frekvencija „manje od“ ili empirijska funkcija distribucije nastaje 

postepenim sabiranjem frekvencija.Sabirati se mogu apsolutne i relativne frekvencije.

Kumulativni niz „manji od“ prikazuje se za diskontinuirano obilježje stepenastim grafikonom, 

a za kontinuirano linijskim grafikonom. 

Primjer 1.

Anketirana je populacija od 50 studenata o broju položenih ispita

i tjelesnoj težini. Dobijeni su sledeći rezultati:

a) broj položenih ispita:

7 4 12 3 7 8 6 5 9 9 10

13

Interval 
težine(kg)

Apsolutna 
frekvencija 

f

i

Relativna 
frekvencija 

p

i

Kumulativna 
frekvencija 

≤

50-60

2

2/50

2

60-70

14

14/50

16

70-80

13

13/50

29

80-90

9

9/50

38

90-100

6

6/50

44

100-110

4

4/50

48

110-120

2

2/50

50

∑

50

1

Numeričkim metodama deskriptivne statistike dolazi se do određenih pokazatelja i 

dalje redukcije informacija.Pokazatelji kojima se opisuje gomilanje podataka oko neke 

vrijednosti nazivaju se 

srednjim vrijednostima ili mjerama centralne tendencije.

Stepen 

varijabilnosti   podataka   mjeri   se

mjerama   disperzije(raspršenosti)

.Način 

raspoređivanja   u   odnosu   na   neku   vrijednost  

mjerama   asimetrije

.Oblik   rasporeda 

podataka  mjeri se  

mjerama  zaobljenosti

.Gomilanje  podataka  ,  njihova  raspršenost, 

način   i   oblik   raspoređivanja   karakteritike   su   pojava   što   ih   podaci 

predstavljaju.Brojčane   vrijednosti   pokazatelja   tih   karakteristika   izračunate   za 

populaciju nazivaju se 

parametrima.

1.2.SREDNJE VRIJEDNOSTI NUMERIČKOG NIZA

U praksi se vrlo često javlja problem kvalitetnoga prezentovanja velikih nizova podataka 

kvalitativnih   ili   kvantitativnih   obilježja   vezanih   za   relativno   velike   statističke   skupove 

(npr.cjelokupno stanovništvo nekoga grada/

države

). I dok je u slučaju kvalitativnih obilježja 

najbolji mogući rezultat tablični ili grafički prikaz podataka, za kvantitativna se obilježja 

uvode posebni numerički pokazatelji, i to su tzv. 

srednje vrijednosti

.

Srednja   vrijednost  

je     konstanta  čiji   je   cilj   na   što   reprezentativniji   način   predstavi   niz 

varijabilnih podataka numeričkog niza. U pravilu je riječ o vrijednosti oko koje se ''gomila'' 

većina podataka numeričkog niza, pa se zato naziva i 

mjera središnje 

(

centralne

)

tendencije

. 

Što   je   više   podataka   ''nagomilano''   oko   pojedine   srednje   vrijednosti,   njezina  će 

reprezentativnost biti bolja.Postoji više vrsta srednjih vrijednosti a dijele se na  

potpune i 

14

položajne

.Podjela je izvršena s obzirom  da li se pri računanju pojedinih srednjih vrijednosti 

pojavljuju svi članovi numeričkog niza ili samo dio tih članova.

U  

potpune   srednje   vrijednosti  

ubrajamo   aritmetičku   sredinu,   geometrijsku   sredinu   i 

harmonijsku sredinu. U računanju tih vrijednosti koriste se 

svi 

elementi numeričkoga niza. U 

položajne   srednje   vrijednosti  

ubrajamo   medijan   i   mod.   Njihova   je   vrijednost   određena 

položajem  

unutar   numeričkog   niza,   pa   u   njihovu   računanju   ne   učestvuju   svi   elementi 

numeričkoga niza.

Osnovne vrste srednjih vrijednosti su 

aritmeti

c

ka sredina

, 

geometrijska sredina

, 

harmonijska 

sredina

, 

medijan 

i 

mod

. Vrlo je važno istaknuti da je primjena svake pojedine vrste srednje 

vrijednosti odredena  

karakterom  

(

svojstvima

) promatranog kvantitativnoga obilježja, pa ne 

postoji  ''univerzalna''  srednja vrijednost koja  će dovoljno  reprezentativno  opisati  

bilo  koji 

numerički niz podataka. U praksi se ovo pravilo često vrlo neopravdano zanemaruje, pa se za 

spomenutu   ''univerzalnu''   srednju   vrijednost,   zbog   relativno   jednostavnoga   načina 

računanja,uzima aritmetička sredina. 

Istaknimo   da   svaku   od   navedenih   srednjih   vrijednosti   možemo   računati   iz   negrupiranih 

(''sirovih'')   i   grupiranih   podataka.   Zajednička   karakteristika   svih   takvih   računa   je   da   su 

vrijednosti dobivene obračunom iz grupiranih podataka nepreciznije od vrijednosti dobivenih 

obračunom iz negrupiranih podataka, naročito ako su podaci grupirani u razrede relativno 

velikih širina.

1.2.1.Aritmetička sredina

Aritmeti

č

ka   sredina  

(oznake:  

X

)

je   najraširenija   i   najčešće   korištena   srednja 

vrijednost.Aritmetička sredina dobije se tako da se suma podijeli s ukupnim 

brojem 

elemenata 

numeričkoga   niza.Postoji   nekoliko   različitih   vrsta   aritmetičkih   sredina.   Najpoznatija   i 

najraširenija je 

jednostavna aritmetička sredina

. Za njezino je izračunavanje potrebno zadati 

konačan  

niz  

negrupiranih  

numeričkih podataka

x

1

; x

2

....

x

i

  Tada se jednostavna aritmetička 

sredina računa pomoću formule:

X

=

x

1

+

x

2

+

x

3

…. x

N

N

Ili kraće               

X

=

∑

I

=

1

N

x

i

N

16

X

=

7

x

0

+

12

x

1

+

17

x

2

+

25

x

3

+

21

x

4

+

18

x

5

100

 =3,61

Dobiveni rezultat obično interpretiramo ovako:  

Prosje

č

an broj položenih jednosemestralnih 

ispita po jednom studentu približno iznosi 

3.61 Ovdje treba pripaziti i na red riječi u rečenici: 

prilog 

prosječno 

uvijek dolazi neposredno ispred velicine na koju se odnosi. 

Primjer 4

.Visina igrača jednog košarkaškog tima iznosi u centrimetrima 195, 180, 190, 202, 

205, 201, 198, 199, 200, 204. Naći prosečnu visinu igrača.

Rešenje:  

Aritmetička sredina može se računati i ukoliko su, umjesto, apsolutnih zadane odgovarajuće 

relativne frekvencije. Radi jednostavnosti, pretpostavimo da su relativne frekvencije iskazane 

u postotcima. Formalno, ako su  

x

1

; x

2

....

x

i

  vrijednosti

  kvantitativnoga obilježja, a  

p

1

;

p

2

..

p

k

njima odgovarajuće 

relativne 

frekvencije 

iskazane u postotcima

, onda se vagana aritmetička 

sredina računa pomoću izraza:

X

=

∑

i

=

1

k

p

i x

i

Raširenost primjene aritmeričke sredine je karakteristika njenih svojstava. Osnovna svojstva 

aritmetičke sredine koja se mogu koristiti pri gruboj procjeni je li izračunata aritmetička 

sredina dobar reprezentant numeričkog niza.

Svojstvo   1.  

Svaka  

podjela   u   kojoj   su   vrijednosti   obilježja   pridružene   elementima   skupa 

natemelju 

intervalne 

ili 

omjerne 

skale ima aritmeticku sredinu.

Svojstvo 2.

  Pri izracunu aritmetičke sredine niza numeričkih podataka obuhvaćene su sve 

vrijednosti numeričkoga niza.

Svojstvo 3. 

 Svaki numerički niz ima 

tačno jednu 

aritmeticku sredinu.

Svojstvo   4.  

Aritmeticka   sredina   se   uvijek   nalazi   između   najmanje   (

xmin

)   i   najveće 

(

xmax

)vrijednosti numeričkoga niza, tj. vrijede nejednakosti:

x

min

≤ x ≤ x

max

Svojstvo 5. 

Aritmetička je sredina 

jedina 

srednja vrijednost takva da je 

zbir odstupanja svih 

elemenata numeri

č

koga niza 

od nje 

uvijek jednak nuli

.   

17

∑

i

=

1

N

(

x

i

−

X

) = 0

Svojstvo   6.  

(

svojstvo   minimuma   zbira   kvadrata

)   Neka   je  

x

1

; x

2

....

x

i

zadani   numerički   niz 

podataka. Tada realna funkcija poprima minimalnu vrijednost za  

x  

=  

X  

,tj. navedeni zbir 

kvadrata poprima minimalnu vrijednost kad je vrijednost varijable  

x

  jednaka aritmetičkoj 

sredini elemenata zadanog niza.

∑

i

=

1

k

(

x

i

-

x

)²

¿

∑

i

=

1

k

(

x

i

-a)² ; a

≠ x

Svojstvo   7.  

Aritmetička   sredina  

nije   dobar   reprezentant   numeri

c

koga   niza  

ukoliko   u 

numerickom nizu  

postoje ekstremno male ili velike vrijednosti  

promatranog kvantitativnog 

obilježja. 

Svojstvo 8.

Ako su vrijednosti numeričkog obilježja jednake konstanti c, aritmetička sredina 

tog obilježja jednaka je toj konstanti:

x

=c ; 

x

1

=

x

2

=......

x

N

=c

Ako imamo skup od 

N 

elemenata a svi elementi su raspoređeni u 

k 

podskupova ,zajednička 

sredina za skup tj. 

aritmetička sredina aritmetičkih sredina 

se izračunava:

x

=

∑

i

=

1

k

N

i

x

i

N

   N=

∑

i

=

1

k

N

i

Aritmetička   sredina   skupa   je   ponderisana   aritmetička   sredina   podskupova   ,   pri   čemu   su 

ponderi veličine podskupova.Članovi zbira u brojniku su podtotali.

Na isti način se računa i  

aritmetička sredina relativnih brojeva

  koordinacije i artimetičke 

sredine prosjeka.

Relativni brojevi koordinacije ili odnosa su veličine koje se dobiju kada se frekvencije jednog 

statističkog niza upoređuju sa frekvencijama drugog statističkog niza.Obe serije su samostalne 

, a nalaze se u nekom odnosu.Računa se po formuli

Relativni broj koordinacije (R)=

veličina koju upoređujemo

veličina s kojom upoređujemo

Primjer relativnog broja koordinacije: gustoća stanovništva; dohodak po stanovniku.

Pojava koja se upoređuje dobit će se pomoću formule:

D

i

=

P

i

C

i

Prosjek   relativnih   brojeva   koordinacije

  dobit   ćemo   računanjem   aritmetičke   sredine 

artimetičkih sredina:

19

Pretpostavimo sada da su podaci grupisani, tj. da imamo ukupno 

n 

različitih oblika

x

1

; x

2

....

x

i

Za svaki 

i 

= 1, 2, …, 

n 

označimo s 

fi  

apsolutnu frekvenciju oblika

xi

. Tada je 

vagana 

(

ponderirana

) 

geometrijska sredina 

izračunata iz grupiranih podataka dana izrazom:

G=

N

√

x

1

f

1

… . x

k

f

k

  N=

∑

i

=

1

k

f

i

log G =

1

N

∑

i

=

1

k

f

i

log

x

i

   N=

∑

I

=

1

k

f

i

Primjer 1.

Proizvodnja jednog artikla po mjesecima bila je 8, 12, 16, 19, 21 i 23. Izračunati 

prosječnu mjesečnu proizvodnju datog artikla

.

Primjer 2.

Raspored radnika prema random stažu u jednoj fabrici  bila je:

Godine 
staža

5-10

10-15

15-20

20-25

25-30

30-35

Broj 
zaposlenih

28

21

38

24

15

8

Izračunati prosečan radni staž zaposlenih

Godine staža
         (x

i

)

Broj zaposlenih 
(fi)

Razredna 
sredina

Logx

i

filogx

i

5-10

28

7,5

0.87506

24,50168

10-15

21

12,5

1,09691

23,03511

15-20

38

17,5

1,24303

47,23514

20-25

24

22,5

1.35218

32,45232

25-30

15

27,5

1,43933

21,58995

30-35

8

32,5

1,51188

12,09504
160,90924

G=15,87

Prosečni radni stažu fabrici bio je 15,87 godina.

Geometrijska sredina primjenjuje se u analizi vremenskih nizova.Nalazi se između najmanje i 

najveće vrijednosti niza.brojčano je manja od aritmetičke sredine.

20

1.2.3.Harmonijska sredina

Neka   je  

x

1

; x

2

....

x

i

konačan   numerički   niz   podataka   takav   da   za   svaki  

i  

=   1,   2,   …,  

n 

vrijedinejednakost  

xi  

> 0.  

Harmonijska sredina  

(oznaka:  

H

) navedenog numeričkoga niza 

definiše   se   kao  

recipro

č

na   vrijednost   aritmetičke   sredine   recipro

č

nih   vrijednosti   svih 

elemenata   niza

..   Za   numeričke   nizove   kojima   je   barem   jedan   član   najviše   jednak   nuli 

harmonijska   sredina   se  

ne   definiše

.Prema   navedenoj   definiciji,   harmonijska   sredina 

negrupiranih numeri

č

kih podataka 

računase iz izraza:

H=

N

∑

i

=

1

N

1

x

i

, x

i ≠

0

Izraz predstavlja jednostavnu harmobijsku sredinu.

Pretpostavimo sada da su podaci grupirani, tj. da imamo ukupno 

n 

različitih oblika

x

1

; x

2

....

x

i

. 

Za   svaki  

i  

=   1,   2,   …,  

n  

označimo   s  

fi  

apsolutnu   frekvenciju   oblika  

xi

.   Tada   je  

vagana 

(

ponderirana

) 

harmonijska sredina 

izračunata iz grupiranih podataka data izrazom:

H=

∑

i

=

1

k

f

i

∑

i

=

1

k

f

i

x

i

Primjer1.

Prosjeĉna prodajna cijena proizvoda 2002.godine, te struktura vrijednosti prodaje 

prema prodajnim područjima:

Područje

Prosječna prodajna cijena 

u EUR

Struktura vrijednosti 

prodaje (%)

Sjever

490

35,0

Središnja regija

500

40,0

Jug

494

25,0

Odredite kolika je prosječna prodajna cijena za sva tri područja zajedno.

H=

∑

i

=

1

k

f

i

∑

i

=

1

k

f

i

x

i

 =

35

+

40

+

35

35

490

+

40

500

+

25

494

 =

100

0,2020359

 =494,96

Prosjeĉna prodajna cijena za sva tri područja zajedno je (zaokruţeno) 495EUR

22

Primjer 2.Izračunavamje moda distribucije frekvencija sa razredima.

Broj saobraćajnih nezgoda prema godinama starosti.

God starosti

Broj učesn.

U saob.nezg.

Precizne 

granice raz.

Razredna 

sredina

Veličina 

razreda

f

i

x

si

i

0-4

12

0-5

2,5

5

5-9

20 (a)

5-10

7,5

5

10-14

28 (b)

10-15

12,5

5

15-19

19(c)

15-20

17,5

5

20-24

11

20-25

22,5

5

x

si

=

l

1

+

l

2

2

Precizne   granice   razreda   (kolona   3)   određujemo   tako   da   donja   granica   razreda   kojeg 

promatramo mora biti jednaka gornjoj granici prethodnog razreda.

M

o

=

10

+

(

28

−

20

)

(

28

−

20

)+(

28

−

19

)

5

=

12,35

Dobna grupa koja najčešće stradava u saobraćajnim  nezgodama je stara 

12, 35 godina.

Mod, kao mjera centralne tendencije , određen je položajem u nizu.Na njega ne djeluju izraziti 

male ili velike vrijednosti numeričkog niza.Prednost je što se može utvrditi i kod kvalitativnih 

i   kvantitativnih   obilježja.Ne   može   se   odrediti   ako   nema   bar   dva   podatka   sa   istim 

obilježjem.Određivanje moda je nepouzdano kod izrazito asimetrične distribucije u kojima je 

otvoren modalni razred.

1.2.5. Medijana

Medijan-Medijana (oznaka  

M

e

) je vrijednost numeričkog obilježja X, koja niz  

uređen po 

veličini

  dijeli   na   dva   jednaka   dijela.Prva   polovina   članova   niza   ima   vrijednost   obilježja 

jednaku medijani ili manju od nje, a preostalih 50% članova nizaima vrijednost obilježja veću 

od medijane..Medijana je određena položajem u nizu i zbog toga se ubraja u grupu položajnih 

srednjih vrijednosti

Medijana, kod negrupisanih vrijednosti obilježja, određuje se tako da se one najprije urede po 

veličini, od najmanje prema najvećoj.

23

Ukoliko je broj članova uređenog statističkog  niza neparan, N  =  2 k +1, tada jemedijana 

jednaka vrednosti {

N

+

1

2

} -og člana niza, a ukoliko je broj članova uređene statističkog niza 

paran, N = 2  k , tada je medijana jednaka

aritmetičkoj sredini {

N

2

}-og i {

N

2

+1}-og člana tog niza.

Za negrupisane vrijednosti medijana je:

N=2k+1   

M

e

=

x

N

+

1

2

N=2k     

M

e

=

x

N

2

+

X

{

N

2

+

1

}

2

Primjer 1.

Odrediti medijanu za sljedeći niz podataka:

18, 25, 19, 22, 26, 28, 30, 16, 36

Prvo se niz podataka uredi po veličini:

16, 18, 19, 22, 25, 26, 28, 30, 36.

Pozicija medijane je 

, što znači da je medijana vrijednost petog člana niza: 

M

e

=25

Kod grupisanih obilježja(distribucija frekvencija) polazi se od predpostavne da su članovi 
niza u medijalnom razredu međusobno jednako udaljeni.Da bismo odredili Me za grupisane 
podatke neprekidnog tipa, potrebno je prvo da pronađemo medijalnu razreda Me.pronalaženje 
vrijednosti obilježja srednjeg člana niza, pojednostavljuje se upotrebom empirijske funkcije 
distribucije tj. kumulativnog niza „manje od“.

Za izračunavanje medijane distribucije frekvencija s razredima može se primjeniti sljedeći 
izraz:

M

e

=

L

1

+ 

N

2

−

∑

f

i

f

med

pri čemu je u navedenom izrazu:

L

1

−

¿¿

donja prava ili precizna granica medijalnog razreda,to je razred s najmanjom vrijednosti 

empirijske funkcije distribucije(kumulativnog niza „manje od“)koja uključuje veličinu N/2.

N- je zbir apsolutnih ili relativnih frekvencija

∑

f

i

–zbir frekvencija do medijalnog razreda

i

-veličina medijalnog razreda

f

med

−

¿¿

frekvencija medijalnog razreda

25

Kvantili(

oznaka p) su vrijednosti numeričkog obilježja koji niz uređen po veličini dijeli na q 

jednakih dijelova.Broj kvantila pje za jedan manji od njegova reda q.Pa iz ovog možemo 
zaključiti da je medijana   kvantil q=2, pa je p=1, jer je dovoljna jedna vrijednost da se niz 
podjeli na dva dijela.Kvantili koji niz dijele na deset jednakih dijelova nazivaju se  

decili. 

Ukupni broj decila je devet.Percentili dijele niz na sto jednakih dijelova i njih je ukupno 
devedeset devet.kvantile su značajne deskriptivno statističke veličine.

Kvartili 

su 

položajne

vrijednosti koje uređeni numerički niz dijele na ukupno 4 jednaka dijela. 

Ima ih ukupno4 – 1 = 3,p=3 a imaju svoja posebna imena i oznake:

– 

prvi 

ili 

donji kvartil 

(oznaka: 

Q

1);

– 

drugi kvartil 

ili 

medijan 

(oznake: 

Q

2, 

Me

);

– 

tre

ć

i 

ili 

gornji kvartil 

(oznaka: 

Q

3)

Prvi ili donji kvartil

 je vrijednost obilježja koja članove niza dijeli u dvije grupe.U prvoj se 

grupi nalazi ¼ elemenata s vrijednostima obilježja koja je jednaka ili manja od kvartila a u 

drugoj su grupi ¾ članova s većim vrijednostima od kvartila.

Treći kvartil

 je vrijednost obilježja, koja dijeli niz na dva dijela.U prvoj su grupi članovi, nih 

¾, s vrijednostima obilježja koja je jednaka ili manja od gornjeg kvartila.Posljednja četvrtina 

ima vrijednost obilježja veću od trećeg kvartila.

Tumačenje drugog kvartila, već je dato, jer je drugi kvartil jednak medijani.

Sve   ovo   prethodno   što   je   napisano   odnosi   se   na   negrupisane   numeričke   ili 

redosljedne(ordinalne) podatke

Primjer 1.

Negrupirani numerički podaci Mjesečna proizvodnja istovrsnog proizvoda na 10 

dislociranih proizvodnih mjesta (u tonama):

72 81 74 85 88 74 86 94 79 90 

Niz uređen po veličini:

72 

74

 74 79 81 

M

e

 85 86 

88

 90 94

Q

1

Q

2

Q

3

26

Kod   grupisanih   numeričkih   obilježja(distribucije   frekvencija)   podaci   su   već   uređene   po 

veličini,   pa   se   postupak   određivanja   kvantila   svodi   na   utvrđivanje   rednih   brojeva 

podataka.postupak se ubrzava upotrebom kumulativne frekvencije.

Izraz za izračunavanje 

donjeg kvartila

 kod grupisanih podataka je :

Q

1

= 

L

1

+

N

4

−

∑

f

i

f

kvar

i

A za gornji kvartil

:

Q

3

= 

L

1

+

3

N

4

−

∑

f

i

f

kvar

i

L

1

-

donja granica kvartilnog razreda

N-ukupan zbir članova niza

∑

f

i

-zbir frekvencija do kvartilnog razreda

∑

f

kvar

-frekvencija kvartilnog razreda

i

-veličina kvartilnog razreda

28

1.3. MJERE DISPERZIJE

Srednjim vrijednostima se opisuje gomilanje podataka oko nekog oblika obilježja.srednja je 

vrijednost   konstanta,   kojom   se   niz   varijabilnih   podataka   opisuje   jednim   brojem   .za 

upoznavanje   karakteristika   podataka   važna   je   značajna   i   informacija   o   stepenu   njihove 

varijabilnosti.Moguće je da različiti skupovi imaju jednake srednje vrijednosti, ali se razlikuju 

po stepenu varijabilnosti(raspršenosti) obilježja.

Izračun   neke   od   potpunih   ili   položajnih   srednjih   vrijednosti   predstavlja   tek   jedan   korak 

ustatističkoj   analizi   nekoga   obilježja.   Sljedeći   je   korak   analiza  

reprezentativnosti 

izračunatesrednje   vrijednosti,   odnosno,   pojednostavljeno   rečeno,   određivanje  

pokazatelja 

kolikoizračunata srednja vrijednost dobro opisuje elemente osnovnoga skupa. Ti pokazatelji 

gotovosu jednako važni kao i izračunate srednje vrijednosti. 

Kako   bi   se   moglo   što   bolje   opisati  

stepen   varijabilnosti  

statističkih   podataka,   definišu 

seodgovarajući   statistički   pokazatelji   pod   zajednickim   imenom

mjere 

raspršenosti

(stepenvarijabilnosti;   disperzije).   Mjere   disperzije     mogu   biti  

apsolutne  

i 

relativne

.

Apsolutne 

mjere disperzije su:

raspon varijacije, interkvartil

,varijansa i standardna devijacija.

Zajedničko   obilježje   svih   navedenih   mjera   jest   iskazivanje   u   jedinicama   mjere 

obilježjastatistickog skupa (KM, €, kg, cm itd.)

MJERE 

DISPERZIJE

APSOLUTNE 

MJERE 

DISPERZIJE

1. Raspon 

varijacije (R)

2.Interkvartil (I 

Q)

3.Varijansa(δ2)

4.Standardna 

devijacija (δ)

RELATIVNE 

MJERE 

DISPERZIJE

1.Koeficijent 

varijacije(V)

2.Koeficijent 

kvartalne 

devijacije (I Q)

29

Relativne  

mjere   raspršenja   obično   se   izražavaju   u   postocima,   a   dvije   najčešće   su 

koeficijentkvartilne devijacije i koeficijent varijacije

.

Ukoliko je posmatrano obilježje  

kvantitativno

, potrebno je izračunati   sve navedene mjere. 

Ukoliko   je   posmatrano   obilježje  

kvalitativno   redosljedno

,   zaanalizu   disperzije   mogu   se 

koristiti   raspon   varijacije,   interkvartil   i   koeficijent   kvartilnedevijacije.   Grubu   sliku   (''prvi 

utisak'')   o   raspršenosti   podataka   u   osnovnom   skupu     možepredstavljati   i   odgovarajući 

grafikon, a riječje o 

dijagramu rasipanja 

ili 

dijagramu raspršenja.

Navedene mjere disperzije su svojevrsne mjere reprezentativnosti srednjihvrijednosti. Manja 

mjera disperzije znači bolju reprezentativnost srednje vrijednosti iobrnuto. 

1.3.1. Raspon varijacije

Raspon varijacije 

(oznaka: 

R

) je najjednostavnija mjera disperzije, definiše kao razlikaizmedu 

najveće   (

X

max

)   i   najmanje   (

X

min

)   vrijednosti

kvantitativnog

(ili,   eventualno, 

kvalitativnogredosljednog) obilježja. Dakle,

R 

= 

X

max

-

X

min

Najmanja moguca vrijednost raspona varijacije jednaka je nuli i nastupa u slučajevima kad 

jeniz vrijednosti kvantitativnoga obilježja 

konstantan

. Najveca vrijednost rasponavarijacije ne 

može se  odrediti.

Primjer 1. 

Navršene godine radnoga staža svih 10 zaposlenika firme čine niz: 20, 12, 7, 29, 

32, 10, 18, 16, 8, 17. Najveća vrijednost u tom nizu je  

X

max

= 32, anajmanja  

X

min

= 7. Pa je 

raspon varijacije vrijednosti posmatranog obilježja

R  

= 32 – 7 = 25 (godina).

Raspon varijacije distribucije frekvencija s razredima može se odrediti ako je poznata najveća 

i najmanja vrijednost promjenljive.raspon je razlika gornje granice posljednjeg i donje granice 

prvog razreda.

Nedostatak raspona varijacije je u tome što uzima samo dvije vrijednosti niza, i to najmanju i 

najveću, a ne uzima u obzir raspoređivanje ostalih podataka.Primjenjuje se za mjerenje 

varijacija npr. cijena, izmjene kursa dionica na berzi. 

31

Raspon   varijacije   i   interkvartil   su   nepotpune   mjere   disperzije.primjenjuju   se   za   mjerenje 

disperzije numeričkih i redosljednih nizova.

1.3.3.Varijansa i standardna devijacija

Varijansa   i   iz   nje   izvedena   standardna   devijacija   obično   se   svrstava   u   red 

najvažnijihpokazatelja varijabiliteta ili raspršenosti   kvantitativnih obilježja. Osnovni razlog 

je,   da   je   zbir   odstupanja   svih   vrijednosti   kvantitativnog   obilježja   od   njihovearitmetičke 

sredine  

uvijek  

jednak   nuli,   pa   taj   pokazatelj   ne   možemo   koristiti   za   opisvarijabiliteta 

statističkoga niza. Drugi je razlog tome što u računanju varijanse, a samim tim i standardne 

devijacije,   koristimo   sve   elemente   statističkog   niza,   pa   je   možemo   svrstatikao  

potpunu 

mjerom   disperzije.Varijansa   i   standardna   devijacija   mogu   seračunati   i   iz   ''sirovih'' 

(negrupiranih ili neuređenih) i iz grupiranih podataka

.

Varijansa  

(oznaka:     σ

2  

grčko   slovo    

sigma

)   se   definiše   kao  

aritmetička   sredinakvadrata 

odstupanja   vrijednosti   kvantitativnoga   obilježja   od   aritmeti

c

ke   sredine   svihvrijednosti

. 

Varijansa   se   definiše   kao  

prosječno   kvadratno   odstupanje  

vrijednosti   kvantitativnoga 

obilježja odaritmetičke sredine tih vrijednosti.Formula za izračunavanje varijanse je:

σ

²

=

∑

i

=

1

N

(

X

i

−

X

)

2

N

 ; 

Kako je varijansa mjera data u drugom stepenu, što otežava njeno tumačenje.Radi lakšeg 

objašnjavanja   stepena   varijabilnosti   obilježja   ,   kao   mjera   disperzije,   uzima   se   standardna 

devijacija.

Pošto je varijansa ''kvadratna'' mjera disperzije, relativno teško  je tumačiti. Pomoćudrugoga 

korijena   iz   varijanse   dolazimo   do     najprimjenjenije   potpune   mjeredisperzije:  

standardne 

devijacije

.  

Standardna devijacija  

je po definiciji,  

drugikorijen iz varijanse

. Takva formalna 

definicija obično se zamjenjuje matematički netačnom,ali prihvatljivijom definicijom prema 

kojoj je standardna devijacija  

prosječnoodstupanje vrijednosti kvantitativnoga obilježja od 

aritmeti

č

ke sredine tih vrijednosti  

ili, joškraće i još nepreciznije,  

prosje

č

no odstupanje od 

prosjeka

. Istaknimo da je ''mjerna jedinica''za standardnu devijaciju jednaka ''mjernoj jedinici'' 

odgovarajućeg kvantitativnog obilježja(KM, €, kg, cm itd.).

32

σ=

√

∑

i

=

¿¿

N

(

X

i

−

X

)

²

N

Primjer 1

.Visina petoro slučajno odabranih studenata EF-a

Visina u cm

|

X

i

−

X

)

|

(

X

i

−

X

)

2

178

168

176

172

202

  1.2

11.2

  3.2

  7.2

22.8

    1.44

125.44

  10.24

  51.84

519.84

896

45.6

708.80

X

=

896

5

 =179,2

σ

²

=

∑

i

=

1

N

(

X

i

−

X

)

2

N

=

708,80

5

=141,76 cm

σ=

√

∑

i

=

¿¿

N

(

X

i

−

X

)

²

N

 =

√

σ

²

 =11,90cm

Varijansa distribucije frekvencija numeričkih obilježja je 

vagani prosjek kvadrata odstupanja 

vrijednosti te promjenljive od njenog prosjeka.

Ponderi predstavljaju apsolutne frekvencije.

Uzraz varijanse distribucije frekvencija je:

σ

²

=

∑

i

=

1

N

f

i

(

X

i

−

X

)

2

N

     N=

∑

i

=

1

k

f

i

Primjer 2

Posmatramo statistički skup svih stanova u onim stambenim zgradama(novogradnja 

i dogradnja) koje su 2006. godine dobile građevinsku dozvolu u Srbiji. Posmatrani skup 

dijelimo prema broju soba u stanu:

34

10 – 15

29

15

11

20

3

20 – 40

8

Ukupno:

3 742

Odredimo   prosječno   trajanje   kazne   po   jednom   izvršiocu,   te   varijansu   i   standardnu 

devijacijutrajanja kazni. U tablici imamo ukupno 7 pravih razreda i dva obilježja koja nisu 

grupisanau razrede. Za svaki pojedini razred računamo 

razrednu sredinu

, a potom i vaganu 

aritmetičkusredinu:

Trajanje kazne 

(godine)

Broj izvršitelja (f

i

)

Razredna 

sredina (x

i

)

f

i

 x

i

f

i

(

X

i

−

X

)

2

0 – 1

2 535

0.50

1267.50

1 866,17

1 – 2

658

1.50

987

13,26

2 – 3

232

2.50

580

302,56

3 – 5

164

4

656

1 144,74

5 – 10

102

7.50

765

3 847

10 – 15

29

12.50

362.50

3 600,18

15

11

15

165

2 047,14

20

3

20

60

1 042,57

20 – 40

8

30

240

6 562,91

Ukupno:

3 742

5083

20 426,53

Vagana aritmetička sredina jednaka je:

35

X

=

∑

i

=

1

k

f

i X

i

N

=

5083
3742

=

1,358god

σ

²

=

∑

i

=

1

N

f

i

(

X

i

−

X

)

2

N

=

20 426,53

3742

 =5,45 god

σ

=

√

σ

²

=

¿

2,33 god.

1.3.3.1.Koeficijent varijacije

Vec  smo istakli da je standardna devijacija potpuna apsolutna mjera disperzije iskazana u 

jedinicamaposmatranog   kvantitativnog   obilježja.   Kao   takva,   standardna   devijacija   nije 

pogodna   zapoređenjepromjenljivih   sanajmanje   dva   različita   tipa   kvantitativnih   obilježja 

premakojima se može podijeliti isti statistički skup. Posmatramo li npr. skup svih takmičara 

uizboru za ovogodišnjeg Mistera   i podijelimo li sve njegove elemente prema obilježjima 

masa  

i  

visina

,   onda   na   osnovu   standardne   devijacije   ne   možemo   reći   razlikuju   lise 

posmatranitakmičari   više   prema   masi   ili   prema   visini.   U   takvim   se   slučajevima 

obavezno

primjenjuju  

relativne  mjere  disperzije  

jer  one ne  zavise o  ''mjernim  jedinicama'' 

posmatranogobilježja.   Koeficijen   varijacije   je   odnos   standardne   devijacije   i   aritmetičke 

sredine pomnožen sa sto:

V=

σ

X

 100

Dvije najčešce primjenjivane mjere su 

koeficijent varijacije 

i 

koeficijent kvartilnedevijacije

, a 

koriste   se   ponajprije   za   poređenje   varijabiliteta.     Slobodno   govoreći,   možemo   reci   da   je 

koeficijent   varijacije  

zapravo   prosječno   odstupanje   vrijednosti   kvantitativnoga   obilježja   od 

aritmetičke sredineiskazano u postotcima. Koeficijent varijacije nezavisno otome jesu li podaci 

grupirani ili nisu računamo prema istoj formuli.

Istaknimo   da   se   koeficijent   varijacije   primijenjuje   gotovo   isključivo   u   statistickoj 

analizikvantitativnih obilježja vezanih za  

ordinalnu  

skalu (zbog dogovorno definirane nule 

nijeprimjenjiv u obilježjima vezanima za  

intervalnu  

skalu). Njegovi osnovni nedostaci su 

lošareprezentativnost u slučaju ekstremnih vrijednosti ili otvorenih razreda, te osjetljivost na 

malepromjene aritmetičke sredine u slučajevima kad je aritmetička sredina vrlo blizu nuli.

Primjer 1. 

Utvrdimo varijabilitet navršenih godina starosti svih nezaposlenih osoba uSomaliji 

u februaru 2008. godine:

37

Ovakvi   problemi   rješavaju   se   računanjem   vrijednosti   tzv.  

standardiziranoga   obilježja 

(oznaka:

z-obilježje;   z-skoro

).Standardizirano   obilježje   služi   za   utvrđivanje   položaja 

numeričkog   podatka   u   nizu.   Riječje   o   linearnoj   transformaciji   vrijednosti   kvantitativnoga 

obilježja definisanoformulom

:

z

i

=

x

i

−

x

σ

 i

=1,20.....N

gdje je uobicajeno 

x

aritmeticka sredina, a standardna devijacija vrijednosti varijable 

x

.Zbog 

svog svojstva standardizirano obilježje ima veliku primjenu.Njegovo svojstvo je:

Aritmetička 

sredina standardiziranog obilježja jednaka je nuli, a standardna devijacija jedan  

tj:  

z

  =0 ; 

σ

z

=

1

Standardizirano   obilježje   pokazatelj   je   relativnog   položaja   pojedinačne   vrijednosti 

numeričkog obilježja u nizu, ne zavisi o mjernim jedinicama, može poslužiti za poređenje 

položaja   podataka   u   različitim   nizovima.Standardizirana   obilježja   može   imati   različite 

vrijednosti, koje mogu biti pozitivne ili negativne.Po pravilu rijetko odstupaju od aritmetičke 

sredine za više od tri standardne devijacije na lijevu ili desnu stranu., pa s tim u vezi koristi se 

teorema Čebiševa.Prema teoremi pojas od

X ±

2σ obuhvata najmanje proporciju od 75% svih 

podataka, pojas od 

X ±

3σ sadrži najmanje 88,89% podataka.

1.4.

Vrste distribucija

Podjela statističkih skupova prema 

kvantitativnim 

obilježjima grupišemo prema tome kakosu 

vrijednosti   obilježja   elemenata   tog   skupa   raspoređene   oko   najvažnije   srednje 

vrijednosti:aritmetičke sredine. Prema tome razlikujemo tri osnovne vrste  statističkoga skupa:

Ako   su   vrijednosti   obilježja   elemenata   statističkoga   skupa   ravnomjerno   raspoređene 

okoaritmetičke sredine, govorimo o  

simetrč

c

noj distribuciji

.  

Kod simetrične distribucije sve 

tri srednje vrijednosti su jednake (

X

= 

Me 

= 

Mo

)

.

Ako skup vrijednosti obilježja elemenata statističkoga skupa sadrži bar jednu 

ekstremnoveliku 

vrijednost,   govorimo   o  

pozitivno   asimetričnoj     distribuciji

.   Kod   pozitivnoasimetrične 

distribucije vrijede nejednakost: 

X

>

Me 

>

Mo

.

38

Ako skup vrijednosti obilježja elemenata statističkoga skupa sadrži bar jednu 

ekstremnomalu 

vrijednost,   govorimo   o  

negativno   asimetri

č

noj   distribuciji

.   Kod   negativnoasimetrične 

distribucije vrijede nejednakosti: 

X

<

Me 

<

Mo

.

1.4.1. 

Mjere asimetrije

Pri   opisu   distribucije   vrijednosti   obilježja   elemenata   određenoga   statističkog   skupa, 

osimsrednjih vrijednosti i mjera disperzije, koristimo i 

mjere asimetrije

. Tim mjerama nastoji 

sejednim   numeričkim   pokazateljem   opisati  

na

č

in   rasporeda  

kvantitativnih  

podataka 

premaaritmetičkoj sredini ili nekoj drugoj srednjoj vrijednosti. U praksi se najcešce koriste tri 

mjereasimetrije:

1.)

Pearsonovamjera   asimetrije  

(oznaka:  

Sk

)   je   mjera   asimetrije   definirana   kao  

omjer 

aritmeti

c

ke sredine x i medijana Me

, odnosno 

moda Mo

, 

izražen u jedinicama standardne 

devijacije .

U simetričnim distribucijama kontinuirane varijable sve su tri vrijednosti 

jednake, pa je razlika moda ili medijana i aritmetičke sredine jednaka nuli. U pozitivno 

asimetričnim distribucijama ta je razlika pozitivna, a u negativno asimetričnim razlika je 

negativna. Pearsonova mjera uobičajeno poprima vrijednosti iz intervala +3, ali moţe biti 

i izvan tog intervala. 

Pearsonova mjera asimetrije:

S

k

=

(

x

−

M

o

)

σ

 ; 

S

k

1

=

3

(

x

−

M

e

)

σ

2.)

Bowleyevamjera asimetrije 

(oznaka: 

SkQ

) racuna se iz medusobnoga odnosa 

tri kvartila

: 

prvog   (

Q

1),   trećeg   (

Q

3)   i   medijana   (

Me

).   Na   temelju   toga   odnosa   odreduje   se 

asimetri

c

nost   središnje   polovice  

(središnjih   50%)  

elemenata   ure

d

enoga   statisti

c

koga 

niza

.U simetričnom rasporedu vrijednosti razlika gornjeg kvartila i medijana, jednaka je 

razlici medijana i donjeg kvartila tj. Q1+ Q3-2Me=0 

U pozitivno asimetričnom rasporedu razlika gornjeg kvartila i medijana veća je od razlike 

medijana   i   donjeg   kvartila,   a   u   negativno   asimetričnom   razlika   gornjeg   kvartila   i 

medijana manja je od razlike medijana i donjeg kvartila. 

Mjera poprima vrijednosti iz intervala + 1.Računamo je prema formuli:

S

kQ

=

Q

1

+

Q

3

+

2

M

e

Q

3

−

Q

1

40

Standardna devijacija = 6,03

μ

₃

=

∑

i

=

1

N

f

i

(

x

i

−

x

)

³

N

 =

839,919

90

=9,32

α

3

=

μ

3

δ

3

 =

9,32

6,03

3

=0,043

1.4.2. Mjere zaobljenosti

Vecina pojava u prirodi, raznim privrednim i tehničkim procesima i sl. raspoređena je uskladu 

s   tzv.  

normalnom   distribucijom

.   Ova   se   distribucija   vrlo   precizno   definiše   u 

matematičkojstatistici i za to je potreban nešto složeniji aparat teorije vjerojatnoće. Ovdje 

ćemo samonapomenuti da je riječo potpuno simetričnoj unimodalnoj distribuciji takvoj da se 

otprilike svipodaci (tačnije,njih 99.73% ) posmatranog obilježja nalaze u rasponu [

x

– 3, 

x

+ 

3],gdje   je  

x

aritmetička   sredina,   a

δ

standardna   devijacija   distribucije.   Ova   je  činjenica 

korisna pri procjenjivanju je li neka distribucija (približno) normalna ili nije.

S obzirom na veliki značaj normalne distribucije u statistici, definisane su posebne mjere 

kojima   se   pojedine   distribucije   uspoređuju   s   normalnom.   To   su   tzv.  

mjere   zaobljenosti. 

Zaobljenost u okolini modalnog vrha krivulje distribucije frekvencija brojčano se opisuje 

koeficijentom zaobljenosti.Koeficijen je definisan kao odnos četvrtog momenta oko sredine i 

standardne devijacije na četvrtu potenciju.

Koeficijent je:

α

4

=

μ

4

δ

4

Zaobljenost normalne distribucije mjerena koeficijentom zaobljenosti iznosi 3., ako je za neku 

empirijsku   distribuciju   vrijednost   koeficijenta   veća   od   3,   ta   je   distribucija   šiljastija   od 

normalne,a ako je koeficijent manji od tri , tada je distribucija plosnatija od normalne.da bi se 

izračunala   vrijednost   koeficijenta   zaobljenosti   ,   potrebno   je   odrediti   vrijednost   četvrtog 

momenta   oko   sredine.Četvrti   moment   oko   sredine   je   prosječno   odstupanje   vrijednosti 

numeričkog obilježja od njezine aritmetičke sredine podignuto na četvrtu potenciju.

μ

4

=

∑

i

=

1

N

(

x

i

−

x

)

4

N

za negrupisane podatke

41

μ

4

=

∑

i

=

1

N

f

i

(

x

i

−

x

)

N

za grupisane podatke

Primjer 1.Izračunavanje mjera asimetrije 
Tabela: Učesnici saobraćajnih nesreća prema godinama starosti

Godina 
starosti

Broj 
sudionik
a
f

i

Precizne 
granice

Sredin
a
razred
a Xsi

Veli
ĉina 
razre
da

fi Xsi

fi (Xi 
-X)³

fi (Xi 
-X)4

0-4

12

0-5

2,5

5

3,0

-11294
,13

110684,1

5-9

20

5-10

7,5

5

150,0

-2211,
8

10616,83

10-14

28

10-15

12,5

5

350,0

0,224

0,0448

15-19

19

15-20

17,5

5

332,5

2871,2

13872,07

20-24

11

20-25

22,5

5

247,5

11673,
288

119067,5

ukupno

90

-

-

-

1110,

838,91

254260,6

μ

4

=

∑

i

=

1

N

f

i

(

x

i

−

x

)

N

= 

254260,6

90

=2825,12

α

4

=

μ

4

δ

4

 =

2825,12

6,03

4

 =

2,1368

Koeficijent zaobljenosti je manji od 3, pa se može zaključiti da se radi o distribuciji koja je 

plosnatija od normalne.

1.5.

Programska pomoć deskriptivnoj statističkoj analizi

Danas   je   u   uporabi   više   različitih   računarskih   programa   namijenjenih   statističkim 

analizama.Najpoznatiji   od   njih   su  

SAS

,  

SPSS  

i  

STATISTICA

.   U  

MS   EXCEL

-u   potpunu 

statističku analizuvrijednosti 

kvantitativnoga 

obilježja elemenata statističkoga skupa možemo 

dobiti koristeći alat

Descriptive Statistics 

smještenu u izborniku 

Alati 

(

Tools

), opcija: 

Analiza 

podataka 

(

DataAnalysis

). Taj je alat dio 

Analysis ToolPak 

alata za analizu, a stvara statistički 

43

2.TEORIJA VJEROVATNOĆE

Dio matematike koja proučava slučajne pojave jeste upravo  

teorija vjerovatnoće

. Postanak 

teorije   vjerovatnoće   pripadali   su   hazardnim   igrama,   a   posebno   igrama   sa   kockom.   Prva 

teorijska   razmatranja   o   teoriji   vjerovatnoće   nalaze   se   kod   francuskih   matematičara   Bleza 

Paskala   i   Pjera   Ferma.   Švajcarski   matematičar   Jakov   Bernuli   dokazao   je   zakon   velikih 

brojeva (Bernulijev zakon) i time otvorio novu oblast u teoriji vjerovatnoće i njenu primjenu u 

statistici.                                                                                  

Značajan rezultat u razvoju teorije vjerovatnoće dali su  francuski matematičari Abraham De 

Moavr i Pjer Laplas, a njemački matematičar Karl Gaus je analizirao slučajne greške pri 

mjerenju i došao do normalnog zakona (Gausov zakon normalne krive). Ruski matematičar 

Čebišev i njegovi učenici A.Markov, A.Ljapunov i A.Kolmogorov takođe su dali značajan 

razvoju i primjeni teorije vjerovatnoće, čime je ova teorija postala ravnopravna matematička 

disciplina sa geometrijom i algebrom.

2.1.Osnovni pojmovi vjerovatnoće

U okviru osnovnih pojmova iz teorije verovatnoće neophodno je prije svega definisati: Ako 

izvodimo   neki   eksperiment   rezultat   tog   eksperimenta     nazivaju   se  

događaji.

Svaki   proces 

posmatranja   nekog   događaja   naziva   se  

eksperiment

,    

ogled(pokus)

,a   rezultat   takvog 

posmatranja je 

ishod

.

  Neki događaji proizilaze uvijek prilikom izvođenja eksperimenta i njih nazivamo  

sigurnim 

događajima

. Za događaje koji se ne mogu pojaviti pri izvođenju eksperimenata kaže se da je 

nemoguć događaj

. Slučajan događaj nastupa sa nekom vjerovatnoćom, jer unaprijed se ne 

može utvrditi njegov ishod.

Primjer 1

:

Kolika je vjerojatnoća da će kod bacanja  novčića,novčić pasti na ”pismo”?

2.2..Vrste vjerovatnoće

Postoje sljedeće vrste vjerovatnoće: 

- Klasična vjerovatnoća(a priori) 

- Statistička vjerovatnoća(a posteriori) 

- Subjektivna vjerovatnoća 

- Geometrijska vjerovatnoća 

44

- Uslovna vjerovatnoća 

- Totalna vjerovatnoća  i Bajesova formula

2.2.1. Klasična vjerovatnoća (a priori)

Klasična (a priori) vjerovatnoća nekog događaja predstavlja odnos broja za njega povoljnih 

ishoda (m) prema broju svih jednako mogućih ishoda (n). Ili još jednostavnije: ako se jedan 

događaj (A) može desiti na (m) načina, onda se vjerovatnoća ostvarenja događaja (A) izražava 

odnosom 

:

p(A)=

m

n

0 ≤ p(A) ≤ 1.

Vjerovatnoća da će se desiti neki događaj označava se s p, a vjerovatnoća da se neći desiti 

neki  događaja s q. Prema tome vjerovatnoća nenastupanja nekog događaja bit će

q

=

1

−

p

Ako je potpuno sigurno da će se neki događaj dogoditi onda je vjerovatnoća tog događaja 

p=1, a takav događaj naziva se siguran događaj (npr. Poslije noći dolazi dan).

Ako je potpuno sigurno da se neki događaj neće dogoditi onda je vjerovatnoća tog događaja 

p=0, a takav događaj naziva se nemoguć događaj (npr. Visina čovjeka je 100 metara).

Događaji čija je vjerovatnoća nastupanja veća od 0 i manja   od 1 nazivaju se vjerovatni 

događaji, a njihova vjerovatnoća je

0 < p < 1.

Samo vjerovatni događaji predmet su izučavanja.

Primjer   1:

Posmatrajući   slučajan   eksperiment   u   kojem   bacamo   pravilnu   kocku   i   zbog 

simetričnosti kocke prihvatamo predpostavku o jednakoj mogućnosti javljanja svake strane 

kao ishoda eksperimenta. Kako je n=6, vjerovatnoća javljanja svake pojedinačne strane iznosi 

P

(

A

)=

1
6

.

2.2.2.Statistička vjerovatnoća 

Statistička vjerovatnoća je vjerovatnoća slučajnog događaja A ako se neki eksperiment može 

pod istim uslovima ponoviti neograničen broj puta. Izračunava se na osnovu sledeće formule:

46

Ako   je   dat  

a

1

;

a

2

… . a

n

povoljnih,   međusobno   isključivih,   elementarnih   događaja   onda   je 

vjerovatnoća   da   će   se   dogoditi   bilo   koji   od   tih   događaja  

a

i

(i=1,2,...,n)     jednaka   zbiru 

vjerovatnoća nastupanja pojedinih događaja. To znači da je:

p = p(

a

1

)+p(

a

2

)+p(

a

3

)+...+p(

a

n

)

Npr. kod bacanja kocke dogadaji A = ”pojavit će se paran broj manji od 6 i B = pojavit će se 

neparan   broj   manji   od   5”   su   međusobno   isključivi   jer   nijedan   od   elementarnih   dogadaja 

(pojavljivanje 1, 2, 3, 4, 5 ili 6), ne vodi na istovremeno ostvarenje dogadaja A i B. Oni vode 

na ostvarenje  ili događaja A ili događaja B.

Za dva događaja A i B kažemo da su isključivi, ako ne postoji elementarni događaj koji 

ostvaruje oba ova dogadaja.Iz ovog slijedi da je vjerovatnoća :

P(AiliB)=P(A)+P(B)

Primjetimo da znak + kada stoji između događajima, ne znači isto kao i

znak + kada stoji između brojeva. Takoder riječ ili ovdje ima svoje  

isključivo  

značenje:ili 

jedno ili drugo, ali ne i oba zajedno.

Zakon multiplikacije:

Ako su dati povoljni elementarni događaji 

a

1

;

a

2

…..

a

n

koji se međusobno ne isključuju (mogu 

se   istovremeno   pojaviti),   vjerovatnoća   da   će   nastupiti   više   takvih   nezavisnih   događaja 

istovremeno jednaka je proizvodu vjerovatnoće pojavljivanja svakog od tih događaja. To 

znači da je

p = p(

a

1

) x p(

a

2

) x  p(

a

3

) x  ...x p(

a

n

).

Pretpostavimo   sada   da   postoje   dva   dogadaja   A   i   B   čija   se   ostvarenja   međusobno   ne 

isključuju. Npr. bacaju se istovremeno novčić i kocka.  

Događaj A je

  da će novčić pasti 

na“pismo” (bez obzira na kocku), a događaj B je da će kocka pasti na paran broj(bez obzira 

šta pokazuje novčić).Svaki mogući događaj od A možemo kombinovati sa svakim mogućim 

događajem od B I tako dobijemo da je vjerovatnoća događaja A I događaja B:

                                                 P(A i B) =P(A) x P(B)

47

Slučajna promjenljiva

, x, je promjenljiva koja poprima pojedinačne vrijednosti s određenom 

vjerovatnoćom. Dva su osnovna tipa:  

diskretna ili diskontinuirana

  slučajna promjenljiva: 

numeričke vrijednosti su cijeli brojevi (primjer: broj nezrelih ćelija u nekom preparatu može 

biti   0;1;2..k  

kontinuirana

  slučajna   promjenljiva:   numeričke   vrijednosti   su   realni   brojevi 

(primjer:  težina 72,35 kg, glukoza u krvi 7,2 mmol/l ).

Distribucija(raspodjela)vjerovatnoće

prikazuje   način   na   koji   je   ukupna 

vjerovatnoćaraspodijeljena na pojedine vrijednosti slučajne promjenljive.Svaku distribuciju 

vjerovatnoće   definišu   parametri   (npr.   prosjek,   varijansa).

Zavisno   od   tipa   slučajne 

promjenljive i distribucije dijelimo na diskretne i kontinuirane.

Diskretne   distribucije   vjerovatnoće

:

  Možemo   izvesti   vjerovatnoću   za   svaku   moguću 

vrijednosti slučajne promjenljive.Zbir svih mogućih vjerovatnoća slučajne promjenljive je 

1.Primjeri: Binomna raspodjela, Poissonova raspodjela.

Binomna   distribucija

:To   je   teorijska   distribucija   za   diskretne   slučajne   promjenljive   kada 

imamo dva moguća ishoda,jedan je  “uspjeh” I drugi “neuspjeh”, u “n” mogućih događaja.Pri 

čemuje vjerojatnoća da u seriji od n ogleda događaj A nastupi tačno x puta. 

P(x)=

(

n

x

)

p

x

q

n

−

x

Skup svih parova {x, P(x)}, x = 0, 1, 2, ..., n čini binomnu distribuciju.

Osnovne karakteristike binomne distribucije

:

49

1. parametar koji opisuje Poissonovu distribuciju je aritmetička sredina

2.  aritmetička sredina i varijansa imaju jednake vrijednosti;

3. unimodalna je krivulja, zakrenuta u desno kada je vrijednost aritmetičke sredine mala;

4. kako raste aritmetička sredina, asimetrija se smanjuje i na kraju aproksimira normalnu 

raspodjelu.

Slika br: Poissonova distribucija

Kontinuirane distribucije vjerovatnoće:

  Vjerojatnoćase izvodi za slučajnu promjenljivu, x, 

koja poprima vrijednosti u određenim razredima.

Vrijednosti promjenljive x predstavlja horizontalana os, prema jednačini distribucije može se 

nacrtati   kriva.   Ova   jednačina   zove   se   funkcija   gustoće   vjerojatnoće.Površina   ispod   krive 

iznosi 1 i ujedno je vjerovatnoća svih mogućih događaja.Površina ispod krive između dvije 

vrijednosti jednaka je vjerovarnoći da x leži između dvije vrijednosti.

Sloka   br:   Vjerovatnoća   da   x   leži 

između dvije vrijednosti

50

U   kontinuirane   distribucije   vjerovatnoće   ubrajamo:normalna   distribucija,  

x

2

distribucija;   t 

distribucija, F distribucija.

Normalna distribucija

:najčešće primjenjivana distribucija.Primjenjuje se u modelima analize 

podataka, a veliki broj bioloških mjerenja ima normalnu distribuciju.

Slika br.Standardna normalna distribucija (zeleno)

Karakteristike normalne distribucije:

1.Aritmetička sredina i varijansa je opisuju

2.područje slučajno promjenljive x je(

−

∞

+

∞

)

3.zvonolikog je oblika i unimodalna;

4.ukoliko se povećava vrijednost aritmetičke sredine kriva se pomiče udesno, a ukoliko se 

vrijednost aritmetičke sredine smanjuje kriva se pomiče ulijevo (uz pretpostavku jednake 

varijanse);

Slika br: Kriva normalne distribucije sa različitim vrijednostima aritmetičke sredine

5. simetrična oko aritmetičke sredine;

6.ukoliko se vrijednost varijanse povećava kriva se snižava   i širi, a ukoliko se vrijednost 

varijanse smanjuje kriva se povisuje i sužava (uz nepromijenjenu aritmetičku sredinu);

52

Studentova t-distribucija:

Karakteristike Studentove t-distribucije:

1.karakterišu je stepeni slobode;

2. ima sličan oblik kao normalna distribucija samo što je šira i položenija;

3. kako raste broj stepena slobode oblikom je sve sličnija normalnoj raspodjeli;

4.primjenjuje se u računanju intervala pouzdanosti i testiranju hipoteza o razlici između dva 

uzorka.

Slika br.. Kriva t – distribucije

X

2

distribucija

se   definiše   kao   zbir   odnosa   kvadrata   razlika   izmeđustvarnih   i   očekivanih 

vrijednosti prema očekivanim vrijednostima.

Slika br. Krivulja 

X

2

distibucije

1. distribucija je pozitivnih vrijednosti, zakrivljena u desno;

2. karakterišu je stepeni slobode;

3.oblik distribucije zavisi o broju stepena slobode: kako raste broj stepena slobode distribucija 

postaje sve više simetrična i sličnija normalnoj distribuciji

4. primjenjuje se u analizi kategorijskih podataka.

53

F distribucija

se koristi ukoliko se želi ustanoviti da li je promjenljivost osnovnog skupa veća 

ili manja od promjenljivosti drugog osnovnog skupa.Kao pokazatelj se uzima odnos dviju 

varijansi.

Slika br :F distribucija

Opšte karakteristike F distribucije:

zakrivljena prema desno;

1.distribucija je omjera dvije varijanse izračunatih iz normalno distribuiranih podataka;

2. karakterišu je stepeni slobode brojnika i nazivnika omjera varijansi;

3. upotrebljava se za poređenje dvije varijanse, kao i za poređenje više od dvije aritmetičke 

sredine analizom varijance.

2.3.Kombinatorika

Teorija vjerojatnoće i statistika  koristi pojmove i rezultate jednog dijela

matematike   koji   se   zove  

kombinatorika

.Kombinatorika   se   bavi   prebrojavanjem   elemenata 

konačnih skupova i prebrojavanjem broja načina da se ti elementi poredaju.

Da bi mogli razumjeti pojmove kombinatorike , moramo ponoviti već poznate pojmove:

Faktorijel

nekog prirodnog broja je proizvod svih prirodnih brojeva koji su manji ili jednaki 

njemu.Označava se 

n!

(n faktorijel), računa se na sljedeći način:

n!=n

∙

(

n

−

1

)

∙

(

n

−

2

)

∙∙∙∙∙

2

∙

1

Po definiciji 0!=1

Primjer1

:Koliko je 5!

5!=5

∙

4

∙

3

∙

2

∙

1

=

120

Binomni koeficijent:

neka su 

n 

i 

r

prirodni brojevi, za koje vrijedi 

r

≤ n

, 

tada

 binomni koeficijent 

označavamo 

(

n

r

)

 i računamo po formuli:

55

P

10

3,2,2

=

10

!

3

!

2

!

2

!

 =151200 ; od slova riječi matematika može se napisati 151 200 riječi.

2.Varijacije

su   dio   kombinatorike   kod   koje   na   dva   postavljena   pitanja   dobijemo   jedan 

potvrdan odgovor (raspored izabranih elemenata je bitan) i jedan negativan odgovor(nisu svi 

elementi početnog skupa izabrani).Varijacije mogu da budu sa i bez ponavljanja.

Varijacije bez ponavljanja

.Varijacije r-te klase ćemo dobiti tako što ćemo prvo dobiti sve 

kombinacije r-te klase koje ćemo permutovati.Varijacijesu permutirane kombinacije.

Varijacije   su   skupine   određenog   broja   elemenata   odabranih   iz   skupa   od   n   elemenata 

razmještenih na sve moguće načine.

Broj varijacija r-te klase od n elemenata bez ponavljanja računamo po formuli:

V

n

k

=

n !

(

n

−

r

)

!

Primjer   1

:

Koliko   ima   trocifrenih   brojeva,   čiji   su   brojevi   različiti   elementi   skupa   S=

{

1,2,3,4,5,6,7,8

}

V

3

8

=

8

!

(

8

−

3

)

!

=

8

!

5

!

=336

Varijacije sa ponavljanjem

 Kod varijacija sa ponavljanjem svaki se element u varijaciji r-te 

klase može pojaviti r puta.Broj varijacija sa ponavljanjem 

r-te

 klase skupa od 

n 

elemenata je:

V

r

n

 =

n

r

Primjer   1

:

  Na   koliko   se   različitih   načina   može   popuniti   test   s   10   pitanja   i   3   ponuđena 

odgovora na svako pitanje?

 Na svako pitanje može se odgovoriti s jednim od tri ponuđena odgovora, te 

V

3

10

=

3

10

 =59.049 načina popunjavanja testa

3.Kombinacije

na dva pitanja daju dva negativna odgovora(nisu svi elementi početnog skupa 

izabrani) i (raspored izabranih elemenata nije bitan).

I kombinacije mogu biti sa i bez ponavljanja.

Kombinacije   bez   ponavljanja

r-te   klase   su     podskupovi   zadanog   skupa   od  

n  

elemenata   u 

kojima se isti element pojavljuje samo jednom.

Ukupan broj kombinacija r-te klase od 

n

 elemenata iznosi:

K

n

k

=

(

n
k

)

=

n !

(

n

−

r

)

! r !

Primjer 1

:Skup se sastoji od 20 proizvoda.na koliko se načina može formirati uzorak od 5 

proizvoda.

56

K

n

k

=

(

n
k

)

=

n !

(

n

−

r

)

! r !

 =

20

!

15

!

 =

16

∙

17

∙

18

∙

19

∙

20

120

 =15.504

Kombinacije sa ponavljanjem:

Kod kombinacija sa ponavljanjem broj elemenata u podskupu 

može biti manji, jednak ili veći od broja zadanih elemenata (r  

≥

  n) tj da se isti element u 

podskupu 

r

-teklase može pojaviti 

r 

puta.

Broj kombinacija s ponavljanjem r-te klase od 

n

 zadanih elemenata jednak je broju 

kombinacija r-teklase bez ponavljanja od (n+r -1) elemenata:

K

n

k

=

(

n

+

r

−

1

r

)

Primjer   1

:   U   cvjećari   se   prodaju   mini   ruže,   ruže   i   ljiljani.Na   koliko   načina   je   moguće 

napraviti buket od 9 cvjetova?

K

n

k

=

(

n

+

r

−

1

r

)

 =

(

9

+

3

−

1

9

)

=

11

!

9

!

2

!

 =55 , 

buket možemo napraviti na 55 načina

2.3. Subjektivna vjerovatnoća

U praksi često dešavaju događaji koji se javljaju samo jedanput, ili su okolnosti u kojima su 

oni ponavljaju među sobom toliko različiti da događaj moramo posmatrati kao jedinstvene 

(plasman   novog   proizvoda,   rezultati   političkih   izbora   i   slično).   U   ovakvim   situacijama, 

vjerovatnoću neizvjesnih događaja ne možemo da odredimo empirijskim putem, a često ne 

možemo ni da prihvatimo predpostavku klasične koncepcije o jednakim vjerovatnoćama svih 

elementarnih događaja. Tada koristimo tzv.

subjektivnu vjerovatnoću

. 

Po ovoj koncepciji, vjerovatnoća predstavlja stepen uvjerenja koji osoba ima za ostvarenje 

datog događaja kao ishoda slučajnog eksperimenta. Pojedinac na osnovu znanja, iskustva i 

raspoloživih informacija pripisuje događaju broj od 0 do 1 kojima izražava svoje uvjerenje u 

mogućnost javljanja datog događaja.Subjektivna vjerovatnoća se koristi u teoriji odučivanja u 

uslovima neizjvesnosti koja je poznata pod nazivom Bayesova teorija odlučivanja. Ona se 

dosta   izučava,   naročito   u   vezi   sa   kockanjem   i   tržištima   hartija   od   vrijednosti.   Prednost 

subjektivne vjerovatnoće je što može da se dopiše svakom događaju, pa čak i onom koji se 

dešava samo jednom ili situaciji koja ne uključuje slučajni proces.

2.4.Uslovna vjerovatnoća

Imamo dva događaja, događaj A i događaj B ;ako je realizacija 

događaja   A   uslovljena   nastupanjem   još   nekog   drugog   događajaB   tada   se   vjerovatnoća 

događaja A pod uslovom da se desio događaj B naziva 

uslovnomvjerovatnoćom

 i obilježava 

se

sa

P(A|B). 

Posmatrajući neki eksperiment od dva slučajna događaja A i B. Ako je poznato da se jedan od 

58

Primjer 1

.

U jednoj kutiji nalazi se  6 bijele i 7 crnih kuglica, a u drugoj 4 bijele i 8 crnih.  

Izvlačimo iz svake kutije po jednu kuglicu. Odrediti vjerovatnoću da je iz obe kutije izvučena 

bijela?

Događaj A: bijela kuglica iz prve kutije

Događaj B: bijela kuglica iz druge kutije.

Događaji A i B su nezavisni.

P

(

AB

)=

P

(

A

)

∙ P

(

B

)=

6

12

∙

4

12

=

1
6

2.5.Totalna vjerovatnoća i Bajesova formula

Ukoliko se dogadjaj H

1

,H

2

,.....H

n

, međusobno isključuju realizacija proizvoljnog događaja A 

mora se realizovati uz realizaciju bar jednog od ovih događaja Vjerovatnoće  P(H

i

) su obično 

poznate   unaprijed   prije   realizacije   eksperimenta   pa   se   često   nazivaju   apriornim 

vjerovatnoćama, a sami događaji hipiotezama.

  Ako   događaji   H

1

,H

2

,.....H

n

,   čine   potpun   sistem   događaja,   i   ako   je   A   neki   događaj,   tada 

formula za totalnu vjerovatnoću glasi:

P(A)=P(H

1

)P(A| H

1

)+P(H

2

)P(A| H

2

)+···+P(H

n

)P(A| H

n

).

Primjer1.U fabrici "Volkswagen" 40% proizvidnje otpada na prvu mašinu, 30% na drugu 

mašinu i ostalo na treću mašinu. Na prvoj mašini pojavljuje se 2% škarta, na drugoj mašini 

3% i na trećoj mašini 4% škarta. Tokom dana ove mašine proizvedu 10.000 artikala.Koliko je 

vjerovatnoća da će slučajno izabrani proizvod biti škart?

A je događaj da je slučajno izabrani proizvod škart.

H

1

,H

2

,H

3 

su proizvodi izrađeni na mašinama.

P(H

1

)= 0.40     P(H

2

) =0.30       P(H

3 

)= 0.30

P(A|H

1

)= 0.02     P(H

2

) =0.03       P(H

3 

)= 0.04

P (A| H(A)=P(H

1

)P(A| H

1

)+P(H

2

)P(A| H

2

)+P(H

3

)P

 3

)=0.008+0.009+0.012=0.029

Za totalnu vjerovatnoću je vezana Bayesova formula.

Ako događaji H

1

,H

2

,.....H

n

, čine potpun sistem događaja, i ako je A neki događaj, tada je 

P(A)

≠

0 tada je za svako 

i

= 1.2,....,n

P

(

H

1

∨

A

)=

P

(

AHi

)

P

(

A

)

=

P

(

Hi

)

P

(

A

∨

Hi

)

P

(

H

1

)

P

(

A

|

H

1

)+

P

(

H

2

)

P

(

A

|

H

2

)+

···

+

P

(

Hn

)

P

(

A

|

Hn

)

"

59

Bajesova formula

  se koristi kada je potrebno odrediti vjerovatnoću nekog događaja koji je 

prethodio

ostvarenju

konačnog

događaja.

Primjer 2.

U prvoj kutiji se nalaze 9 listića numerisani brojevima od 1-9, a u drugoj kutiji se nalazi 5 

listića numerisani brojevima od 1-5. Biramo nasumice kutiju i iz nje izvlačimo jedan listić. 

Ako je broj na listiću paran izračunati kolika je vjerovatnoća da je listić izvađen iz prve 

kutije?

M :  izvađen je paran broj
H

1

- izabrana je prva kutija 

H

2

- izabrana je druga kutija

P

(

H

1

)=

1
2

P

(

H

2

)=

1
2

, , jer imamo dvije kutije od kojih biramo jednu

            ,

P

(

M

|

H

1

)=

4
9

, , pošto iz prve kutije ima

4

parna broja

(

2,4,6,8

)

P

(

M

|

H

2

)=

2
5

, pošto iz druge kutije ima

2

parna broja

(

2.4

)

P(M)=P(H

1

)P(M| H

1

)+P(H

2

)P(M| H

2

) 

P

(

M

)=

1
2

∗

4

9

+

1
2

∗

2

5

=

19
45

Totalna vjerovatnoća iznosi

19
45

.

Vjerovatnoća da ako je izvučen paran listić, da je uzet iz kutije A se obilježava P(H

1

|M)  i 

računa se na sljedeći način

::

P

(

H

1

∨

M

)=

P

(

H

1

)

P

(

M

∨

H

1

)

)

P

(

M

)

P

(

H

1

∨

M

)=

1
2

∙

4
9

19
45

=

10
19

II DIO

61

koeficijenta jednostavne , višestruke i parcijalne korelacije, koeficijenta korelacije ranga i 

koeficijenta asocijacije.

Regresijska analita modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih parametara, računanje mjera 

disperzije,primjena postupaka o modelu kojim se ispituje kvalitet dobivenih podataka.

Područje korelacijske i regresijske analize u čvrstoj su vezi.Ako je primarni cilj istraživanja 

utvrđivanje prediktivnog oblika odnosa, polazi se od regresijskog modela i njegove analize, a 

zatim nastavlja sa korelacijskom analizom.

2.2. Model jednostavne regresije

Ovim   modelom   se   izražava   odnos   između   dvije   pojave.Vrijednosti   pojave   čije   se 

promjenljivosti objašnjavaju predstavljaju vrijednost zavisno promjenljive Y , dok stvarne 

vrijednosti pojave kojom se objašnjava promjenljivost prve pojave predstavljaju vrijednost 

nezavisno promjenljive X.Opšti oblik modela jednostavne regresije :

Y = f(X) +u

Kod ovog modela izbor oblika modela svodi se na izbor funkcije 

f(X)

.Oblik funkcije zavisi od 

priprode odnosa između analiziranih pojava.Npr. ukoliko se potrošnja u domaćinskvu mijenja 

linearno s promjenama raspoloživog dohotka, 

f(X)

 će imati linearnu funkciju.

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije je  

dijagram rasipanja

  .To je grafički prikaz u 

pravougaonom   koordinatnom   sistemu,   pri   čemu   na   osi   apscise   upisujemo   vrijednosti 

nezavisno   promjenljive   X   ,   a   na   osi   ordinate   upisujemo   zavisno   promjenljivu   Y.Prema 

rasporedu tačaka donosi se prvi sud o obliku veze tj. obliku funkcije 

f(X).

a) 

b)

c)

d)

62

Slika br. Dijagrami rasipanja

Ako su tačke, u dijagramu rasipanja, raspoređene od donjeg lijevog do gornjeg desnog ugla 

oko   zamišljenog   pravca,   onda   se   odnos   između   pojava,   analitički   može   izraziti   pomoću 

modela   jednostavne   linearne   regresije.

Što   je   rasipanje   oko   pravca   manje,   povezanost   je 

uža.Ako su tačke raspoređene u dijagramu oko neke krive linije tada kažemo da se radi o 

modelu krivolinijske regresije.Ako je riječ o linearnoj vezi, istovremeno se utvrđuje i 

smjer 

veze

.Po smjeru linearna veza može biti pozitivna ili negativna.Pozitivna je ako vrijednost 

nezavisno   promjenljive   prati   linearni   ili   približno   linearni   porast   vrijednosti   zavisno 

promjenljive.Povećavali   se   vrijednost   nezavisno   promjenljive,   a   vrijednost   zavisno 

promjenljive   linearno   se   ili   približno   linearno   smanjuje,   govorimo   o   negativnom   smjeru 

linearne veze.

2.2.1. Jednostavna linearna regresija 

Za model jednostavne linearne regresije karakteristično je da promjene jedne pojave prati 

približna linearna promjena druge pojave., ako se pođe od takve predpostavke   u modelu 

funkcija 

f(X)

 će imati sljedeći oblik:

f(X)= a+bX

Uzimajući u obzir opšti oblik modela i oblik linearne funkcije, model jednostavne linearne 

regresije  je:

Y= a+bX+u

U navedenom modelu X je nezavisno promjenljiva , a Y zavisno promjenljiva.Promjenljiva 

u 

predstavlja   nepoznate   uticaje   na   promjene   promjenljive   Y   i   predstavlja   odstupanje   od 

64

a=

y

−

bx

Model jednostavne linearne regresije sa ocjenjenim parametrima ima ovaj oblik

^

y

=

a+bx

^

y

regresijska funkcija s ocjenjenim parametrima

a 

je konstantni član, to je vrijednost regresijske funkcije za vrijednost nezavisne promjenljive 

x=0.

b

  je regresijski koeficijen i pokazuje za koliko se linearno mijenja vrijednost regresijske 

funkcije  za  jedinični  porast  vrijednosti  nezavisne  promjenljive X.Predznak  koeficijenta je 

pozitivan ili negativan.

Primjer 1

.Analiziraj odnos  po modelu jednostavne linearne regresije između broja zaposlenih 

i iznosa poreza iz dohotka i ostalih dohodaka u budžetu odabranih 8 opština u 1989 godini.

Tabela br. Zaposleni i prihod od poreza odabranih zajednica opština

Zajednica 

opština

Broj zapos.

U 000

Prihod u

Mil.

x

i

y

i

x

i

2

y

i

2

x

i

y

i

Sarajevo

Beograd

Titograd

Novi Sad

Priština

Zagreb

92,8

312,4

34,2

51,1

21,7

263,7

28,4

82,4

10,7

14,1

4,2

91,0

8611,84

97593,46

1169,64

2611,21

470,89

69537,69

806,56

6789,76

114,49

198,81

17,64

8281,00

2635,52

25741,76

365,94

720,51

91,14

23996,70

65

Ljubljana

Skoplje

54,9

56,9

16,4

20,1

3014,01

3237,61

268,96

404,01

900,36

1143,69

ukupno

887,7

267,3

186246,65

16881,23

55595,62

Za nezavisnu promjenljivu uzet je broj zaposlenih, a za zavisno promjenljivu iznos poreza iz 

dohotka i ostalih dohodaka.

Model   jednostavne   linearne   regresije:

y

i

=  

a+b

x

i

+

u

i

        a   sa   ocjenjenim   parametrima

^

y

=

a+bx.

Treba prema formuli izračunati parametre

 a i b:

b

=

∑

i

=

1

n

x

i

y

i

−

n x y

∑

i

=

1

n

x

i

2

−

n x

²

 =

55595,62

−

8

∙

110.9625

∙

33.4125

186246,65

−

8

∙

110.9625²

 =0,295575

Konstantni član 

a

 je:

a=

y

−

bx

=

33.4125

−

0,295575

∙

110.9625

 =0,614759

Model jednostavne linearne regresije s ocjenjenim parametrima metodom najmanjih kvadrata 

je.

^

y

=a+bx =

 0,614759+0,295575

x

Tumačenje: ako se broj zaposlenih poveća za jednu hiljadu , regresijska vrijednost poreza od 

dohotka i ostalih dohodaka povećat će se za 0,295575 milijona.

2.2.2.Regresijske   vrijednosti,   rezidualna   odstupanja   i   analiza   varijanse   za   model 

jednostavne linearne regresije

Pomoću regresijske jednačine s ocjenjenim parametrima utvrđuju se  

regresijske vrijednosti. 

One su date izrazom :

^

y

=a+bx

Izračunavaju se uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisno 

promjenljive   X  u   jednačinu   s   ocjenjenim   parametrima.Te   vrijednosti   predstavljaju   ocjenu 
nivoa zavisno promjenljive za date stvarne vrijednosti nezavisno promjenljive.

67

28.400

82.400

10.700

14.100

4.200

91.000

16.400

20.100

28.044

92.952

10.723

15.719

7.029

78.558

16.842

17.433

0.3559

-10.552

-0.02338

-1.619

-2.829

12.442

-0.4418

2.667

1.253

-12.806

-0.2186

-11.480

-67.350

13.673

-2.694

13.269

0,05171

-1.533

-0.003398

-0.2352

-0.4110

1.808

-0.06419

0.3875

Razlika između stvarne veličine prihoda za tu zajednicu i regresijske vrijednosti predstavlja 
prvo rezidualno odstupanje:

u

i

=

y

i

 - 

^

y

i

 =28.4-28.0441=0.3559

Prvo relativno rezidualno odstupanje je :

u

i rel

=

y

i

−^

y

i

y

i

∙

100

 =

0.3559

28.4

∙

100

=1,253%

Po istom se postupku dolazi i do preostalih regresijskih vrijednosti, rezidualnih odstupanja i 
relativnih   rezidualnih   odstupanja.Rezidualna   odstupanja,   odnosno   odstupanje   stvarne 
vrijednosti za Sarajevo od procjenjene svega je 0.3559 milijona ili 1,253% 

i



ˆ

i

y



C

У

Ukupno,objasnjeno i neobjasnjeno odstupanje zavisne promenljive У



i





68

Stepen varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procjenjene vrijednosti 
pomoću regresije mjeri se različitim mjerama.Najvažnije su: 

varijansa; standardna devijacija 

i koeficijent varijanse regresije

.Mjere disperzije oko regresije služe kao pokazatelji za ocjenu 

kvaliteta modela.Ukoliko se pogleda graf ispred , dolazi se do zaključka da je:

(

y

i

−

y

) =(

^

y

i

−

y

)

+

¿

(

y

i

−^

y

i

), ukoliko se kvadrira prethodni izraz  dobit će se jednačina,  temelj 

analize varijanse:

∑

i

=

1

n

(

y

i

−

y

)

²

=

∑

i

=

1

(

n

( ^

y

i

−

y

)

²

+

∑

i

=

1

n

(

y

i

−^

y

i

)

²

Prvi član sa desne strane jednačine predstavlja zbir 

kvadrata onog dijela odstupanja zavisne varijable koji  je

 protumačen

 vezom između pojava, 

dok   drugi   član   s  desne   strane   jednačine  predstavlja  zbir   kvadrata  onog   dijela  odstupanja 
zavisne varijabe koji je ostao 

neprotumačen.

Ukoliko se svaki član jednačine podijeli ukupnim zbirom kvadrata i ako se strane jednačine 
zamjene, dolazi se do ukupnog zbira kvadrata u relativnom iznosu:

∑

i

=

1

(

n

( ^

y

i

−

y

)

²

∑

i

=

1

n

(

y

i

−

y

)

²

+

∑

i

=

1

n

(

y

i

−^

y

i

)

²

∑

i

=

1

n

(

y

i

−

y

)

²

  =

1;  

prvi   član   s   lijeve   strane   jednačine   naziva   se  

koeficijent 

determinacije

, 

U razvijenom obliku zbir kvadrata dati su jednačinama:

∑

i

=

1

n

(

y

i

−

y

)

²

=

∑

i

=

1

n

y

i

2

−

¿

n

y

²

70

∑

i

=

1

n

(

y

i

−

y

)

²

=

∑

i

=

1

n

y

i

2

−

¿

n

y

²=

16881,23-8

∙

3

3.4125²=7950.069

Neprotumačeni dio zbira kvadrata:

∑

i

=

1

n

(

y

i

−^

y

i

)

²

=

∑

i

=

1

n

y

i

2

−

¿

  a

∑

I

=

1

n

y

i

−

¿

  b

∑

i

=

1

n

x

i

y

i

=

16881,23-0.614759  

∙

267.3   –   0.295575  

∙

55595.62=284.216

Protumačeni dio zbira kvadrata je razlika ukupnog i neprotumačenog dijela:

∑

i

=

1

n

(

y

i

−

y

)

²

=

∑

i

=

1

(

n

( ^

y

i

−

y

)

²

+

∑

i

=

1

n

(

y

i

−^

y

i

)

²

=

7950.069 -284.216=7665.853

Pomoću rezidualnog zbira kvadrata izračunat će se varijansa regresije i standardna devijacija.

Varijansa regresije:

σ

^

y

2

=

∑

i

=

1

n

(

y

i

−^

y

i

)

²

n

 =

284.216

8

=35.527

Standardna devijacija:

σ

^

y

=

√

∑

i

=

1

n

(

y

i

−^

y

i

)

²

n

= 

√

35.527

=

5,960

Standardna   devijacija   regresije   pokazuje   da   je   prosječno   odstupanje   stvarnih   vrijednosti 
zavisne varijable od regresijskih vrijednosti prihoda 5,96 milijona.

Relativna mjera disperzije oko regresije je 

koeficijent varijacije regresije:

V

^

y

=

σ

^

y

y

∙

100

=

5.960

33.4 125

∙

 100=

17,838%

Stvarne vrijednosti prihoda odstupaju od procjenjenih vrijednosti u prosjeku 17.838%

Varijansa, standardna devijacija i koeficijent varijacije omogućavaju donošenje zaključka o 
statističkoj reprezentativnosti modela, a u istu svrhu služi i koeficijent determinacije:

71

r

2

=

∑

i

=

1

(

n

( ^

y

i

−

y

)

²

∑

i

=

1

n

(

y

i

−

y

)

²

 = 

7665.853
7950.069

 =

0,9642

Modelom jednostavne linearne regresije protumačeno je 96,42% odstupanja.Neprotumačeni 
je dio 0,0358 ili 3,58%

U praksi se ponekad raspolaže s grupnim podacima o dvije numeričke promjenljive.Takvi 
grupni podaci prikazani su u dvodimenzionalnoj tabeli.

2.3. Višestruka regresija

U modelu jednostavne regresije varijacije zavisne varijable  objašnjavaju se pomoću varijacija 
jedne   nezavisne   varijable   i   slučajne   veličine(slučajnih   odstupanja)U   istraživanju   često   na 
jednu   pojavu   djeluje   više   varijabli(na   krvni   pritisak   djeluje   dob;težina,   spol   i   druge 
promjenljive).Statističko –analitički se varijacija jedne pojave u zavisnosti od dvije pojave ili 
o više njih izražava pomoću modela višestruke regresije.

Pojavu koja se objašnjava predstavljaju vrijednosti zavisne varijable, a za pojave pomoću 
kojih se objašnjava varijacija date su brojčane vrijednosti i   one predstavljaju vrijednosti 
varijable u modelu višestruke regresije. 

U analizi višestrukih odnosa polazi se od opšteg modela Y

= f (

X

1

,

X

2

⋯

X

K

) + u

,za primjenu 

modela nužno je odrediti koja je varijabla zavisna, a koje su nezavisne.Zatim treba utvrditi 
oblik funkcije u modelu(deterministički dio modela), te svojstva slučajne varijable.Često je 
oblik funkcije  

linearan,  

a varijabla

  u aditina  

komponenta, pa je riječ o

  modelu višestruke 

linearne regresije.

2.4.Korelacijska analiza

Mjerenje   stepana   jakosti   statističkih   veza   provodi   se   metodama  

korelacijske 

analize

.Korelacijska i regresijska analiza često su povezane.

Kod korelacije

 pri analizi dvije pojave nije bitno koja je pojava označava kao nezavisna , a 

koja kao zavisna varijabla.Međutim kod ispitivanja korelacione veze između tri ili više pojava 
mora se prethodno jedna od njih definisati kao zavisna varijabla.

Cilj korelacione analize

  je da se ispita da li između varijacija posmatranih pojava postoji 

kvantitativno slaganje i, ako postoji, u kom stepenu.

Pokazatelji stepena statističkih veza su  

koeficijenti korelacije

.Ako su odnosi dvije pojave 

linearni u statističkom smislu, utvrđivat će se 

koeficijen jednostavne linearne korelacije.

2.4.1.Koeficijent jednostavne linearne korelacije

73

r=

5595.62

−

8

∙

110.9625

∙

33.4125

√

(

186246.65

−

8

∙

110.9625²

)(

16881.23

−

8

∙

33.4125²

)

=+0,98196

Do   istog   rezultata   dolazimo   pomoću   koeficijenta   determinacije,   izračunatog   pomoću 
elemenata analize varijanse:

r=

√

7665.853
7950.069

=0,98196

Regresijski koeficijent je pozitivnog predznaka(b=0,295575), pa se koeficijentu pridružuje 
pozitivni predznak.Do istog rezultata se dolazi i na treći način:

R=b

σ

x

σ

y

=0,295575

√

87745.23875

/

8

7950.06879

/

8

=0,98196

Koeficijentom linearne korelacije mjeri se jakost i smjer statističke povezanosti dvije pojave 
predstavljenih u obliku parova vrijednosti numeričkih varijabli.Koeficijent varira u intervalu 
od -1 do +1.Utvrđivanje jakosti veze pomoću koeficijenta linearne korelacije kao deskriptivno 
statističke veličine treba povezati s veličinom koeficijenta determinacije.Orjentaciono u tome 
mogu poslužiti sljedeći odnosi:

Tabela br. Odnosi koeficijenata determinacije i korelacije

Koeficijent determinacije

Apsolutna vrijednost koeficij.

linearne korelacije

Tumačenje

r

2

|

r

|

0

0,00-0,25

0,25-0,64

0,64-1

1

0

0,00-0,50

0,50-0,80

0,80-1

1

Odsutnost korelacije

Slaba korelacija

Korelacija srednje jačine

Čvrsta korelacija

Potpuna korelacija

Na osnovu raspona vrijednosti koeficijenta zaključuje se da je linearna povezanost slabija što 
je koeficijent bliži nuli.

Mjerenje   stepena   statističke   veze   opisanim   koeficijentima   korelacije   odnosi   se   na   pojave 
predstavljene vrijednostima numeričkih varijabli.

Ispitivanje stepena veze između pojava datih u obliku  

redosljedne(rang) promjenljive

  nije 

moguće na isti način kao i za ove date u obliku numeričkih nizova, jer varijable ranga  nemaju 
za to  potrebna metrička svojstva.Korelacija se može mjeriti za dvije varijable ranga.Postoji 
više različitih koeficijenata korelacije ranga, jedan od njih je  

Spearmanov koeficijent.

  Pri 

74

analizi polazi se od parova vrijednosti varijabli ranga:  

r(

x

i ;

) ;r(

y

i

)     i=1,2.........,n .P

olazna 

veličina za mjerenje korelacije varijabli ranga je razlika rangova:

d

i

  =

  r(

x

i ;

)

−

¿

  r(

y

i

)

                  i=1,2,3....,n  

pri   čemu   je

  d  

razlika   vrijednosti   rangova   dvije 

posmatrane varijable, a 

n 

broj različitih serija.

D

a bi se uklonio uticaj predznaka na veličinu 

razlika, polazi se od kvadrata razlika.Koeficijen korelacije ranga Spearmana dat je izrazom:

r

s

=1-

6

∑

i

=

1

n

d

i

2

n

3

−

n

    -1

≤ r

s

≤

1

Pri korištenju  

Spearmanov koeficijent

, vrijednosti varijabli potrebno je rangirati i na takav 

način   svesti   na   zajedničku   mjeru.Najjednostavniji   način   rangiranja   je   da   se   najmanjoj 
vrijednosti svake varijable dodijeli rang 1,sljedeći po veličini rang 2 i tako sve do posljednje 
kojoj se dodjeljuje max. rang.

Spearmanov koeficijent

 mjeri korelaciju dviju varijabli ranga.U praksi se pokazuje potreba da 

se izrazi korelacija skupa od tri i više varijabli ranga.Pri tome se koristi 

Kendallov koeficijent

, 

zasniva se na koeficijentu višestruke korelacije ranga, čija se vrijednost kreće od 0-1, što je 
bliža 1 višestruka korelaciona veza je čvršća.

2.4.2.Koeficijent multiple linearne korelacije, korelacijska matrica

Koeficijent multiple linearne korelacije

 mjeri se jakost veze između zavisne varijable Y  i više 

nezavisnih varijabli.On je drugi korjen iz koeficijenta determinacije:

R

y ,

1.

⋯

K

=

√

∑

i

=

1

(

n

( ^

y

i

−

y

)

²

∑

i

=

1

n

(

y

i

−

y

)

²

     0

≤ R

y ,

1.

⋯

K

≤

1

Koeficijent će biti bliže 1 što je veći dio protumačenog zbira kvadrata u ukupnom zbiru, 
odnosno   što   su   manje   razlike   između   stvarnih   vrijednosti   zavisne   varijable   i   regresijskih 
vrijednosti.

Osim   koeficijenta   multiple   i   parcijalne   korelacije   u   cjelovitoj   analizi   višedimenzionalnih 
modela primjenjuje se i koeficijent jednostavne linearne korelacije.Koeficijenti se prikazuju u 
uređenoj šemi.Nakon što se posmatranjem međusobnog odnosa svih parova dvije varijable 
utvrdi njihova međusobna korelacija, izrađuje se 

matrica korelacije.

Redovi i kolone matrice 

predstavljaju posmatrane varijable, a podatak na presjeku određenog reda i kolone predstavlja 
koeficijent korelacije između varijabli u odgovarajućem redu i koloni.Vrijednost koeficijenta 
neće se promjeniti ako se zamijene mjesta varijabli.Iz tog proizilazi da prvi red i prva kolona 
korelacijske  matrice imaju  iste elemente:  

r

yj

=

r

jy

      j=1,2

⋯

K

.

Ostali  elementi  korelacijske 

76

Frekvencije   vremenskog   niza   izražene   su   u   različitim   mjernim   jedinicama.Neke   su   date 
vrijednosno tj. u novčanim jedinicama.Vrijednost novca mijenja se s vremenom, pa tako iste 
količine u različitim vremenima imaju različite nominalne vrijednosti.

3.1.1.Analiza vremenskih nizova:zadaci i pristupi

Analiza vremenskih nizova treba omogućiti donošenje brojčanih sudova o obilježjima razvoja 
pojava u vremenu.Zadaci anlize su:

1.deskripcija razvoja pkojava   u vremenu  

opis se vrši različitim metodama.Među njima su 

grafički   prikazi   jednostavni   brojčani   pokazatelji(relativni   brojevi-sve   vrste   numeričkih 
vrijednosti , do kojih se dolazi mjerenjem jedne veličine drugom veličinom zovu se 

relativni 

brojevi)

Analitički se razvoj izražava modelima vremenskih pojava.

2.

objašnjenje varijacije pojave u vremenu

   pomoću drugih pojava.To se obavlja pomoću 

regresijske i korelacijske analize.

3.predviđanje   razvoja   pojave

  ,predviđanje   je   donošenje   sudova   o   budućen   nivou 

pojave.Predviđa se pomoću jednostavnih rezultata, kao što su pokazatelji dinamike ili modela 
vremenskih pojava.

4.kontrola procesa

, proizvodni procesi se odvijaju u vremenu.Praćenje karakteristike procesa 

pojavljuju   se   kao   zapisi   generirani   pomoću   analognog   računala.Zapisi   su   u   vremenu   te 
predstavljaju vremensku seriju prikazanu na kontrolnoj karti.

Predmet analize

  može biti jedna pojava(jedan vremenski niz) ili više njih, zavisi od datih 

slučajeva.Metode analize mogu biti iz deskriptivne statistike.

Statistička analiza vremenskih pojava provodi se u 

vremenskoj domeni

 i u 

domeni frekvencija. 

U analizi pojave u vremenskoj domeni pomoću modela postoje dva pristupa:

Prvi

 sastoji se u utvrđivanju analitičkih izraza kojima se statistički opisuje razvoj nivoa pojave 

u vremenui to pomoću neke funkcije vremena.

Drugi

  nastoji   da   se   statistički   opiše   dinamička   struktura   pojave   ,   a   ne   kretanje   nivoa   u 

vremenu.Ovdje je riječ o mjerenju stepena i smjera korelacije članova iste serije razmaknutih 
jedno razdoblje, dva ili više njih , kao i analitičkom istraživanju takve međuzavisnosti.

Statistička analiza kretanja nivoa pojave u vremenu provodi se polazeći od 

klasične podjele 

serije u komponente.

Vremenske pojave se mogu predstaviti pomoću manjeg broja tipičnih 

komponenti.To su: 

trend;ciklična;sezonska i slučajna komponenta.

Trend

  komponenta vremenske serije predstavlja osnovnu dugoročnu(sekundarnu)tendenciju 

njezina razvoja u vremenu.Predstavlja se funkcijama vremena.Ako se pojava od razdoblja do 
razdoblja mijenja za približno jednak iznos, njezin je trend linearan.Trend se može uočiti 

77

samo   ako   se   raspolaže   s   dovoljno   dugim   vremenskim   nizom.U   praksi   se   uzima   niz   od 
najmanje deset godišnjih frekvencija.

Ciklične  

promjene pojave prisutne su ako se pojava obnavlja na približno jednak način s 

periodom   od   dvije   i   više   godina.Privredni   ciklus   pokazuju   strukturne   promjene,   koje   su 
posljedica privrednog razvoja.

Sezonske 

pojave mogu se obnavljati u periodu od jedne godine.One se javljaju samo ako se 

raspolaže serijom mjesečnih ili kvartalnih podataka.

Trend   komponenta,   ciklična   i   sezonska   zovu   se   sistematskim   ,   determinističkim 
komponentama jer predstavljaju kovarijacije pojave koje se daju predstaviti nekom funkcijom 
vremena.Slučajna komponenta je nesistematska.

Vremenska serija ne mora sadržavati sve navedene komponente i u pravilu ih i ne sadrži.

3.1.2.Grafičko prikazivanje vremenskih nizova

Postoji  nekoliko   vrsta   grafikona  pomoću   kojih   se   mogu   prikazivati   statističke   vremenske 
serije , a u primjeni su najčešće linijski grafikoni, odnosno površinski grafikoni.

Trenutni nizovi se prikazuju linijskim grafikonom, dok se intervalni vremenski nizovi mogu 
prikazivati i površinskim grafikonom.Grafikoni nam omogućavaju prikaz prvih impresija o 
nekoj pojavi i pri tome nam pomažu pri izboru matematičko-statističke metode.

Intervalni niz prikazuje se površinskim i linijskim grafikonom.Na „Y“ ordinatu nanosimo 
aritmetičko   mjerilo   za   frekvencije,   i   ono   uvijek   počinje   od   nule   a   na   „X“   osi   nalazi   se 
aritmetičko mjerilo za vrijeme.Ako intervali promatranja nisu jednaki , potrebno je izvršiti 
korekciju   frekvencija.Pri   konstrukciji     površinskog   grafikona   upotrebljavaju   se 
pravougaonici.Linijski grafikon intervalnog vremenskog niza nastaje spajanjem tačaka čije su 
koordinate date sredinama vremenskih razdoblja i frekvencijama.

1980

1981

1982

1983

1984

1985

0

5

10

15

20

25

30

35

Broj stanova u 

000

79

3.2. Brojčana analiza vremenskih nizova

Uz grafičku analizu po pravilu moramo provesti i brojčanu analizu.Grafičko prikazivanje 

omogućava uvid u osnovnu sliku o dinamici jedne pojave ili više njih.Kod brojčane analize 

počet će se sa jednostavnim pokazateljem dinamike(relativni brojevi).

Sve   vrste   numeričkih   vrijednosti   ,   do   kojih   se   dolazi   mjerenjem   jedne   veličine   drugom 

veličinom , zovu se 

relativni brojevi.

 Svi relativni brojevi računaju se na isti način:

Broj koji 

želimo upoređivati stavljamo u odnos prema broju s kojim se upoređuje.

Relativni broj=

veličina koju upoređujemo

veličina s kojom upoređujemo

3.2.1.Osnovni numerički pokazatelji dinamike

Među   osnovne   pokazatelje   razvoja   pojave   u   vremenu   ubrajaju   se:pojedinačne   razlike 

frekvencija niza u uzastopnim razdobljima ili u odnosu na neko fiksno razdoblje u apsolutnom 

i relativnom isnosu:

Ako   se   sa  

{

y

t

}

,   t=1,2,3

⋯

, n

  označe   frekvencije   vremenskog   niza   s  jednakim   intervalima 

posmatranja(jednako udaljenim vremenskim tačkama), pojedinačne promjene  u apsolutnom 

iznosu u uzastopnim razdobljima date su 

prvim diferencijama

 serija(

apsolutna razlika nivoa):

ΔY

t

=

Y

t

-

Y

t

−

1

 ;  

t=2,3,....., n

Promjene su izražene u istim mjernim jedinicama kao i frekvencije.Izraz pokazuje za koliko 

se apsolutno promjenio nivo pojave u vremenu 

t 

prema vremenu 

t-1.

Za seriju od N članova može se odrediti N-1 apsolutnih razlika, s obzirom da se do apsolutnih 

razlika dolazi odbijanjem jednog broja od drugog njihov predznak može biti pozitivan ili 

negativan.Predznak ukazuje na smjer kretanja promjene..Ukoliko se mjeri razlika neke pojave 

u odnosu na bazno razdoblje, to se može izraziti na sljedeći način:

ΔY

t

=

Y

t

-

Y

b

 ;       

t=1,2,3....N  ;      

Y

b

=

Y

t

−

1

Pri poređenju dinamike različitih pojava, nemoguće je uporediti diferencije različitih jedinica 

mjere.Kao posljedicu imamo mjerenje promjena relativnim brojevima.

80

Pojedinačne relativne promjene mjere se 

koeficijentom dinamike:

K

t

=

ΔY

t

Y

t

−

1

odnosno 

K

t

=

Y

t

−

Y

t

−

1

Y

t

−

1

=

Y

t

Y

t

−

1

-1

pomnožimo li koeficijent dinamike sa 100, dobijemo 

prvu relativnu diferenciju ili pojedinačnu stopu promjene:

S

t

=

K

t

∙

100; s obzirom da je 

verižni index

v

t

=

Y

t

Y

t

−

1

; pojedinačna stopa promjene može se pisati 

i:

S

t

=

v

t

– 100

Nivo pojave u različitim vremenskim razdobljima može da se uporedi i s nivoom pojave u 

nekom fiksnom periodu:tada se relativna promjena računa na sljedeći način:

S

t

=

Y

t

−

Y

b

Y

b

 100 =

[

Y

t

Y

b

−

1

]

∙

100

I

t

=

Y

t

Y

b

∙

100

S

t

=

I

t

−

100

Nivo pojave

Apsolutna 

promjena

Verižni indeksi

Pojedinačna   stopa 

promjene

Y

1

Y

2

ΔY

2

=

Y

2

-

Y

1

V

2

=

Y

2

Y

1

∙

100

S

2

=

I

2

−

100

Y

3

ΔY

3

=

Y

3

-

Y

2

V

3

=

Y

3

Y

2

∙

100

S

3

=

I

3

−

100

Y

4

ΔY

4

=

Y

4

-

Y

3

V

4

=

Y

4

Y

3

∙

100

S

4

=

I

4

−

100

Primjer 1:Proizvodnja pšenice u tonama u individualnim domaćinstvima opštine A.Izračunaj 

pokazatelje dinamike za podatke iz sljedeće tabele:

82

U 1993. godini proizvodnja pšenice u individualnom sektoru opštine A bila je 2337 tona 

manja od proizvodnje u 1992. godini ili za 21,3%.U 1995.godini proizvedeno je 1217 tona 

više nego u 1994. Godini ili za 14,5% i tako redom.Posmatrajući predznake pojedinačnih 

stopa promjena mogu se primjetiti godine smanjene vrijednosti proizvodnje, kao i godine 

porasta proizvodnje u odnosu na prethodne godine, dok vrijednost stope govori o intenzitetu 

tih promjena.

3.2.2. Srednje vrijednosti vremenskih serija 

Za vremenski niz od n članova ima (n-1) vrijednosti apsolutnih promjena(prvih diferencija), 

ponekad se izračunava  

prosječna  

vrijednost uzastopnih apsolutnih promjena(

prosječna prva 

diferencija):

Δ

Y

=

∑

t

=

2

N

ΔY

t

N

−

1

 =

(

Y

2

−

Y

1

)

+

(

Y

3

−

Y

1

)

+

…

..

(

Y

N

−

Y

N

−

1

)

N

−

1

Δ

Y

=

Y

N

−

Y

1

N

−

1

Primjer 2: Koristeći prethodni primjer izračunati prosječnu vrijednost uzastopnih apsolutnih 

promjena.

Δ

Y

=

Y

N

−

Y

1

N

−

1

=

7566

−

10990

9

= 

−

¿

380,4

Prosječna   vrijednost   prve   diferencije   pokazuje   da   prizvodnja   pšenice   u   opštini   A   u 

uzastopnim razdobljima smanjivao u prosjeku za 380,4 tone.

3.2.3. Relativni brojevi dinamike-indeksi

Upoređivanje dva ili više stanja jedne te iste pojave ili skupine pojava na različitim mjestima, 

ukazuje na dinamiku promjena pojave ili skupine pojava u prostoru.U deskriptivnostatističkoj 

analizi vremenske serije veoma se često upotrebljavaju relativni brojevi, koji se nazivaju 

indeksnim brojevima.

Indeksi su relativni brojevi koji pokazuju odnos stanja jedne te iste pojave ili skupine pojava 

na različitim mjestima ili u različitim vremenskim razdobljima.

83

Ako indeksima pratimo dinamiku jedne pojave oni se zovu  

individualnim indeksima,  

a oni 

koji pokazuju odnose stanja heterogene grupe pojava nazivaju se 

skupni indeksi.

Frekvencije jedne atributivne ili geografske statističke serije označimo sa:

X

1

;

X

2

...

X

n

, prije 

računanja indeksa potrebno je jedan od članova serije, odabrati kao baznu.Uzme li se veličina 

X

b

za baznu, matematički izraz za izračunavanje indeksa ima oblik:

I

i

=

X

i

X

b

∙

100

;     

i=1,2,3,....N

izračunavanje indeksa moguće je uz uslov: 

X

i

>

0

  i   

X

b

>

0

Za indekse vrijedi sljedeća relacija:

1.

X

i

>

X

b

→ I

i

>

100

Prva relacija ima značenje da je pojava u 

i

-tom modalitetu obilježja veča za (I-100)% 

nego u baznom modalitetu istog obilježja.

2.

X

i

<

X

b

→ I

i

<

100

Druga relacija ima značenje da je pojava u 

i

-tom modalitetu obilježja manja za (100-I)

%nego u baznom modalitetu istog obilježja.

3.

X

i

=

X

b

→ I

i

=

100

Treća relacija ukazuje na jednakost pojave u 

i

-tom i baznom modalitetu istog obilježja.

Indeksi 

I

 , su indeksi sa stalnom bazom.

3.2.4. Indeksi u statističkoj analizi vremenskih serija

Statistička   analiza   vremenskih   serija   predpostavlja   međusobnu   uporedivost   frekvencija 

vremenske serije, pri čemu prostorna i pojmovna definicija pojave mora u svim posmatranim 

intervalima   ili   trenucima   ostati   nepromjenjena.Intervali   posmatranja   mora   da   budu 

jednaki.Kod trenutnih vremenskih serija razmaci između vremenskih tačaka ne mora da budu 

ekvidistantni.Trenutne   i   intervalne   vremenske   serije   mogu   da   se   analiziraju   indeksnim 

brojevima.Indeksi imaju funkciju da prate dinamiku jedne pojave ili grupe pojava u vremenu , 

85

Y

2

Y

1

∙

100

Y

3

y

2

∙

100

Y

n

Y

n

−

1

∙

100

Matematički izraz za računanje lančanih ili verižnih individualnih indeksa:

V=

Y

t

Y

t

−

1

100

;  t=1,2,3,.......,N

Verižni indeks je uvijek pozitivna veličina.Za njih se upotrebljavaju sljedeće relacije:

1.

Y

t

>

Y

t

−

1

→V

t

>

100

2.

Y

t

<

Y

t

−

1

→V

t

<

100

3.

Y

t

=

Y

t

−

1

→V

t

=

100

Verižni indeks 

V

t

 pokazuje koliko jedinica pojave u vremenu t dolazi na svakih 100 jedinica 

pojave u vremenu t-1.Indeksi mogu da posluže:

-kao pokazatelji dinamike jedne pojave

-za upoređivanje dinamike dvije ili više raznorodnih pojava.

Primjer 1:

Izračunati i uporediti verižne indekse za nekoliko osnovnih podataka o razvoju 

kulture i umjetnosti na području države.

Godina

Profesionalna pozorišta

Pretplatnici u 000

Broj

Posjeti.u 000

Radija

TV

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

36

36

38

37

40

41

42

41

41

1411

1337

1053

998

778

905

1021

916

1065

1786

1738

1412

1469

1420

1284

1185

1300

1175

1624

1582

2376

2676

2664

2692

2685

2163

2257

86

Tabela verižnih indeksa izračunatih iz prethodne tabele:

Godina

Profesionalna pozorišta

Pretplatnici u 000

Broj

Posjeti.u 000

Radija

TV

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

-

100

106

97

108

102

102

98

100

-

95

79

95

78

116

113

90

116

-

97

80

104

97

90

92

110

90

-

97

150

112

99

101

99

81

104

Serija indeksa na stalnoj bazi je upravo proporcionalna seriji originalnih podataka iz kojih je 
izračunata.Iz ovog možemo zaključiti da se serija indeksa na stalnoj bazi može preračunati u 
seriju verižnih indeksa .Indeksi na stalnoj bazi:

I

1

 ; 

I

2

........

I

N

¿

¿

Lančani indeksi predstavljeni su sljedećim izrazom:

I

2

I

1

∙

100   ; 

I

3

I

2

∙

100

 ;   

I

n

I

n

−

1

∙

100

Matematički izraz za preračunavanje indeksa na stalnoj bazi u seriji lančanih indeksa glasi:

I

t

=

V

t

I

t

−

1

∙

1

100

  ;    

t=1,2,3......,N

Ako  serija indeksa na stalnoj bazi može  da se prepačuna u seriju verižnih indeksa, onda je 
moguće i obrnuto.

V

t

=

I

t

I

t

−

1

100  

t=1,2,3....n

88

-skupnih indeksa količina

-skupnih indeksa vrijednosti

-indeksa troškova života

3.2.4.3.1.Skupni indeksi cijena

Indeksima cijena mjeri se intenzitet promjena cijena tekućeg razdoblja u odnosu na bazno 
rardoblje.Bazno razdoblje je bilo koje u vremenskom nizu.Označit će se sa 

t

0

,

Individualni indeks cijena označava se :

I

i

(

p

)

=

p

¿

p

i

0

 ; 

i=1,2,....k   ;  t=1,2....n

Gdje je  

p

¿

  cijena  

i-

to npr. proizvoda u vremenu  

t,

  a  

p

i

0

  cijena  

i-

tog proizvoda u baznom 

razdoblju.Navedeni   indeksi   cijena   tumače   se   kao   indeksi   na   stalnoj   bazi.Ako   se   odredi 
jednostavna aritmetička sredina indeksa cijena, doći će se do pokazatelja promjena cijena za 
grupu.

Jednostavna sredina indeksa cijena je:

I

(

p

)

=

∑

i

=

1

k

p

¿

∑

i

=

1

k

pi

0

∙

100

Skupni indeks cijena može se definisati kao nevagani indeks odnosa zbira tekučeg i baznog 
razdoblja pomnožen sa 100.U njemu svaka cijena ima jednak ponder, što predstavlja jedan 
nedostatak.Zbog toga se umjesto nevaganog primjenjuje vagani skupni indeks.

Kako  se varijacije  cijena    i  količina  posmatraju  za  

n

  razdoblja ,  prije računanja  indeksa 

potrebno je odrediti pomoću kojih će se količina provesti postupak ponderisanja.

Ako su ponderi cijena određuju pomoću količina baznog razdoblja doći će se do Laspeyrov 
indeks cijena

P

0

t

(

q

0

)

=

∑

i

=

1

k

p

¿

q

i

0

∑

i

=

1

k

p

i

0

q

i

0

∙

 100

 ; 

t=1,2,....,n

Iz navedenog izraza se vidi da se ponderisanje cijena provodi nepromjenjenim količinama 
baznog razdoblja.Skupni indeks cijena pokazuje prosječnu promjenu cijena grupe pojava u 
vremenu 

t

u odnosu na bazno razdoblje.Laspeyrov skupni indeks cijena naziva se još i skupni 

indeks cijena postojanog sistema ili postojane strukture prometa.

89

Ako su ponderi cijena određuju pomoću količina tekućeg razdoblja doći će se do Paascheov 
indeks cijena.

P

0

t

(

q

t

)

=

∑

i

=

1

k

p

¿

q

¿

∑

i

=

1

k

p

i

0

q

¿

∙

 100

 ; 

t=1,2,....,n

Ponderi indeksa cijena se revidiraju za svaki period za koji se računa taj indeks.Ovaj indeks se 
zove   i   skupni   indeks   cijena   nepostojanog   sastava,   nepostojane   strukture   prometa   ili 
proizvodnje.Paasche   uzima   za   pondere   uvijek   količine   izvještajnog   razdoblja   tako   da 
promjena, u tom razdoblju , dovodi do promjene pondera.

Skupni   indeksi   cijena   po  

Laspeyrov   indeksu     cijena   i   Paascheova   indeksa   cijena   se 

razlikuju.

Razlika je nastala usljed različitih ponderacionih sistema jednog i drugog indeksa tj. 

razlika u sadržaju indeksa.Oba ova indeksa mjere promjene cijena.

Specifičnu sintezu ta dva indeksa čini  

Fisherov idealni indeks cijena.  

To je geometrijska 

sredina   Laspeyrov   indeksa     cijena   i   Paascheova   indeksa   cijena.On   sadrži   svojstav   oba 
indeksa.Njegovo tumačenje je komplikovano.

Primjer1

:

Date su cijene tri najčešće namirnice koje se troše na području Beograda za 2002 i 

2007. Godinu

Namirnice

Količinska

jedinica

Prosječna cijena

Potrošnja po stanov/mj

2002

(

p

i

0

)

2007 (

p

¿

)

2002(

q

i

0

)

2007(

q

¿

)

Mlijeko

Hljeb

Jaja

Litar

Kg

tucet

4,7

4,9

9,3

5,6

8,9

10,1

5,7

9,0

0,9

7,3

8,6

1,5

Izračunajte Laspeyresov skupni indeks za 2007. Godinu za tri namirnice uzevši da je 2002. 
Godina bazna.

Namirnice

Laspeyresov  indeks

Paascheova indeksa

p

¿

q

i

0

p

i

0

q

i

0

p

i t

q

¿

p

i

0

q

¿

91

Q

0

t

(

p

0

)

=

∑

i

=

1

k

q

¿

p

i

0

∑

i

=

1

k

q

i

0

p

i

0

∙

10 0

 ;   

t=1,2......n

Alternativno   taj   se   indeks   može   pisati   u   obliku   vagane   aritmetička   sredina   individualnih 
indeksa količina:

Q

0

t

(

p

0

)

=

∑

i

=

¿¿

k

q

¿

qi

0

W

i

0

∑

i

=

1

k

W

i

0

 100;    t=1,2......,n

Q

0

t

označava skupni indeks količina razdoblja t , tok 0 je oznaka za bazno razdoblje  

t

0

.U 

zagradi 

p

0

 nam govori da se ponderisanje količina vrši polazeći od cijena baznog razdoblja.

W

i

0

 su ponderi , ako su ponderi vrijednosti baznog razdoblja onda imamo izraz:

Q

0

t

(

p

0

)

=

∑

i

=

¿¿

k

q

¿

qi

0

p

i

0

∑

i

=

1

k

q

i

0

p

i

0

100

 ;   t=1,2.....,n

Ako je skupni indeks količina izračunat polazeći od stalnih cijena tekućeg razdoblja dobit će 
se 

Paascheov skupni indeks količina

 :

Q

0

t

(

p

t

)

=

∑

i

=

1

k

q

¿

p

¿

∑

i

=

1

k

q

i

0

p

¿

∙

100

 ;   

t=1,2......,n

Alternativno   taj   se   index   može   pisati   u   obliku   vagane   aritmetička   sredina   individualnih 
indeksa količina:

Q

0

t

(

p

t

)

=

∑

i

=

¿¿

k

q

¿

qi

0

W

¿

∑

i

=

1

k

W

¿

100

 ;    t=1,2...., n

Ako su ponderi vrijednosti količina obračunate po cijenama tekućeg razdoblja, indeks postaje:

92

Q

0

t

(

p

0

)

=

∑

i

=

¿¿

k

q

¿

qi

0

q

i

0

p

¿

∑

i

=

1

k

q

i

0

p

¿

100

 ;   t=1,2.....,n

Laspeyresov   skupni   indeks   količina  

pokazuje   za   koliko   se   u   prosjeku   relativno   mijenja 

vrijednost fizičkog obima heterogene grupe pojava usljed promjena količina pojedinih pojava 
uz   nepromjenjene   cijene   baznog   razdoblja.

Paascheov   skupni   indeks   količina

  izražava 

prosječnu relativnu promjenu količina grupe pojava zbog promjena količina pojedinih pojava 
u  grupi,  polazeći  od  strukture  vrijednosti obračunate  po  cijenama tekućeg  razdoblja.Ni  u 
jednom indeksu ne dolazi do izražaja varijabilnost 

cijena , jer su one stalne.

Primjer 1:

 Data su četiri najčešće proizvedena proizvoda u poljoprivrednom domaćinstvu za 

2000 i 2001. Godinu.

Proizvod

Jed. mjere

Količina

Cijena

2000

2001

2000

2001

Mlijeko

Jaja

Puter

Meso

Lit.

Kom

Kg

kg

30 000

4 000

500

1 640

36 000

5 200

480

1 200

14

6

233

534

18

7

350

620

Izračunati skupne indekse količina

Proizvod