Aksijalno opterećeni štapovi

Р

. 

Маретић

Збирка

решених

задатака

из

Отпорности

материјала

Нови

Сад

, 2008. 

II 

Предговор

Ова

збирка

решених

задатака

је

намењена

студентима

који

слушају

отпорност

материјала

на

Факултету

техничких

наука

у

Новом

Саду

, 

било

као

самосталан

предмет

, 

или

у

оквиру

неких

курсева

механике

. 

Збирка

је

предвиђена

да

употпуни

предавања

и

вежбе

, 

а

не

да

се

користи

као

самосталан

помоћни

уџбеник

. 

Збирка

садржи

изабране

задатке

из

једне

комплексније

и

свеобухватне

збирке

, 

која

још

није

завршена

и

спремна

за

штампу

, 

тако

да

има

извесне

нелогичности

 (

на

пример

задаци

нису

регуларно

нумерисани

), 

недоречености

  (

неке

области

су

слабо

, 

или

никако

обрађене

) 

и

недоследности

у

стилу

и

начину

излагања

. 

Због

свега

тога

треба

поновити

да

збирка

није

предвиђена

за

самостално

учење

без

одласка

на

предавања

и

вежбе

. 

Збирка

је

настала

у

настојању

да

се

студентима

, 

који

немају

одговарајуће

збирке

задатака

, 

омогући

да

имају

  (

макар

и

мањкав

) 

материјал

који

ће

им

помоћи

у

спремању

испита

. 

Имајући

у

виду

да

ова

збирка

представља

само

делове

једне

незавршене

збирке

, 

сасвим

је

вероватно

да

у

њој

постоје

и

грешке

у

резултатима

. 

Аутор

позива

читаоце

да

му

помогну

и

да

га

обавесте

када

открију

неку

од

тих

грешака

.  

На

крају

збирке

су

дате

и

табеле

еластичних

линија

које

су

коришћене

при

решавању

задатака

из

поглавља

 6.  

Напомена

: 

Ово

је

електронска

верзија

збирке

и

предвиђена

је

за

привремено

коришћење

само

у

току

школске

 2008/09. 

године

. 

Могу

је

користити

само

студенти

Факултета

техничких

наука

у

Новом

Саду

. 

Забрањено

је

њено

штампање

и

умножавање

без

одобрења

аутора

.  

1. 

Аксијално

оптерећени

штапови

Збирка

решених

задатака

из

Отпорности

материјала

2 

Задатак

 1.2 

Штап

дужине

  3

l

и

константног

попречног

пресека

површине

А

уклештен

је

левим

крајем

А

за

подлогу

. O

птерећен

је

силом

интензитета

  2

F

у

тачки

 B 

и

силом

интензитета

F

у

тачки

 C (

сл

. 1.2.1). 

Одредити

напонско

стање

у

штапу

. 

Одредити

промену

дужине

целог

штапа

и

дела

штапа

између

пресека

 B 

и

 C. 

Одредити

померање

тачке

 B. 

Модул

еластичности

материјала

штапа

је

Е

. 

Решење

:

Штап

ће

се

ослободити

уклештења

, 

а

као

реакција

везе

увести

само

сила

X

А

у

правцу

осе

штапа

  (

сл

. 1.2.2). 

Једначина

равнотеже

гласи

0

2

A

=

+

+

−

=

Σ

F

F

X

X

i

, 

па

је

X

A

 = 3

F

. 

На

основу

познате

реакције

везе

је

нацртан

и

дијаграм

аксијалне

силе

са

кога

се

види

да

се

аксијална

сила

мења

у

пресеку

 B. 

Будући

да

се

нормални

напон

у

пресеку

израчунава

као

preseka

pop.

povr{ina

sila

aksijalna

=

σ

, 

напон

ће

бити

различит

у

делу

штапа

између

пресека

 A 

и

 B 

у

односу

на

део

штапа

између

пресека

 B 

и

 C. 

У

делу

штапа

између

пресека

А

и

 B 

је

аксијална

сила

F

X

F

a

3

A

1

=

=

па

је

напон

A

F

A

F

a

3

1

1

=

=

σ

. 

За

део

штапа

између

пресека

  B 

и

 C 

је

F

F

X

F

a

=

−

=

2

A

2

,        

A

F

A

F

a

=

=

σ

2

2

. 

Функција

аксијалне

силе

има

прекид

у

пресеку

 B (

за

x

 = 

l

) 

тако

да

на

том

месту

ни

напон

није

дефинисан

. 

Промена

дужине

штапа

се

одређује

на

основу

∫

=

∆

l

a

dx

A

F

AE

l

3

0

1

. 

Будући

да

постоји

прекид

подинтегралне

функције

 (

то

јест

функције

аксијалне

силе

) 

да

би

се

извршила

интеграција

, 

неопходно

је

вршити

две

интеграције

, 

једну

од

x

 = 0 

до

x

 = 

l

за

део

штапа

А

B 

и

другу

од

x

 = 

l

до

x

 = 3

l

за

део

штапа

 BC. 

На

основу

тога

, 

као

и

ако

се

узме

у

обзир

да

је

A

 = const, 

што

значи

да

се

А

може

извући

испред

знака

интеграла

, 

је

E

A

l

F

E

A

l

F

dx

F

E

A

dx

F

E

A

l

a

a

l

l

a

l

a

2

1

1

2

1

3

2

0

1

+

=

+

=

∆

∫

∫

.   (1) 

Заменом

вредности

за

аксијално

оптерећење

се

добија

Збирка

решених

задатака

из

Отпорности

материјала

4 

Задатак

 1.3 

Штап

дужине

  5

l

је

на

дужини

  2

l

попречног

пресека

површине

  2

А

(

сл

. 1.3.1), 

а

преостали

део

штапа

је

површине

попречног

пресека

A

. 

Штап

је

уклештен

левим

крајем

А

за

подлогу

и

оптерећен

је

силом

интензитета

F

у

тачки

 C. 

Одредити

напонско

стање

у

штапу

. 

Одредити

промену

дужине

целог

штапа

и

дијаграм

померања

тачака

штапа

. 

Одредити

померање

тачке

 (

пресека

) 

D. 

Модул

еластичности

материјала

штапа

је

Е

. 

Решење

:

На

основу

слике

 1.3.2 

лако

је

закључити

да

је

реакција

X

A

 = 

F

, 

и

да

је

аксијална

сила

иста

у

сваком

пресеку

штапа

и

износи

F

a

 = 

F

. 

Штап

ће

се

поделити

на

више

делова

, 

тако

да

је

задовољено

да

је

сваки

од

тих

делова

константног

попречног

пресека

и

оптерећен

константном

аксијалном

силом

. 

У

овом

примеру

је

довољно

штап

поделити

на

два

дела

, 

први

AB 

и

други

 BC. 

У

првом

делу

штапа

 AB 

је

нормални

напон

A

F

A

F

a

2

1

1

=

=

σ

, 

док

је

у

другом

делу

 BC 

A

F

A

F

a

=

=

σ

2

2

. 

Промена

дужине

ових

делова

је

E

A

l

F

E

A

l

F

l

a

=

=

∆

1

1

1

,    

E

A

l

F

E

A

l

F

l

a

3

2

2

2

=

=

∆

, 

па

је

промена

дужине

целог

штапа

E

A

l

F

l

l

l

4

2

1

=

∆

+

∆

=

∆

. 

На

слици

 1.3.3 

је

на

основу

претходних

података

нацртан

дијаграм

померања

тачака

штапа

. 

На

основу

њега

се

може

закључити

да

померање

тачке

 D 

износи

δ

D

 = 3

Fl

/

AE

. 

Задатак

 1.4

За

штап

приказан

на

слици

 1.4.1 

одредити

напонско

стање

, 

максимални

напон

, 

промену

дужине

штапа

и

дијаграм

померања

тачака

штапа

. 

Одредити

која

тачка

штапа

ће

се

највише

померити

, 

као

и

ону

тачку

која

се

  (

изузимајући

уклештење

) 

уопште

неће

померити

. 

Модул

еластичности

материјала

штапа

је

Е

.