UNIVERZITET U
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET
VEROVATNOĆA
Seminarski rad iz matematike
Profesor:
Student:
Zoran
Grad, 2019.
1. Značenje verovatnoće
Prema klasičnom konceptu, verovatnoća jednog dogadaja
A
je odnos broja za njega
povoljnih dogadaja
a
, prema broju svih jednakomogućih događaja
n
. Ta verovatnoća se piše:
P(A) = a/n
Kao ilustracija može da se koristi bacanje novčića, gde je verovatnoća dobijanja
„pisma“ 1/2 = 0,5 i „glave“ 1/2 = 0,5; ili prilikom bacanja kocke verovatnoća dobijanja
„dvojke“ je 1/6 itd. U ovom konteksu „događaj“ ima jedan ili više ishoda i to se često naziva
„eksperiment“. Ova definicija pretpostavlja da se dva ili više događaja međusobno isključuju,
tj. da ako jedan nastupi, drugi ne može.
Ako za događaj
A
kod jednog bacanja kocke uzmemo dobijanje bilo kog od brojeva
1,2,3,4,5 ili 6, onda je njegova verovatnoća
P(
A
) = 1.
Dobijanje broja 7 kod tog bacanja je nemoguće i za to je verovatnoća
P(
A
) = 0.
Verovatnoća događaja
A
se prema tome nalazi u okviru
0 ≤ P(
A
) ≤ 1.
U osnovi ove klasične definicije verovatnoće nalazi se princip nedovoljnog razloga
koji je uveo još Bernuli. On je proizašao iz pitanja u vezi sa interpretacijom pojma "svih
jednako mogućih događaja" koji sadrži ova definicija verovatnoće. Po ovom principu dva
dogadaja su jednako moguća, kada je nepoznat razlog, zbog koga bi jedan imao više prednosti
od drugog. On je prihvatljiv kada se primenjuje u igrama na sreću, međutim, teškoće nastaju
izvan tog domena. Ovaj koncept verovatnoće nije proizašao iz eksperimentalnih posmatranja,
nego iz logičnog
a priori
rezonovanja.
Verovatnoća predstavlja numeričku meru mogućnosti realizacije nekog događaja.
Obeležava se najčešće sa
P
.
P(E
i
)
je verovatnoća da će se realizovati elementarni događaj
E
i
.
P(A)
je verovatnoća da će se realizovati složeni događaj
A
.
2. Aksiomatska definicija verovatnoće
Teoriju verovatnoće je moguće izraziti preko njenih aksioma. To je koncept
verovatnoće koji je razvio ruski matematičar Andrej Kolmogorov. Taj koncept uzima u obzir
različite definicije verovatnoće i na njihovoj osnovi nastoji da pruži jednu manje-više
zajedničku logičnu strukturu koja je nezavisna od bilo koje formalne definicije. U ovom
kontekstu, verovatnoća se definiše kao funkcija podskupova u prostoru događaja. Na ovaj
način probabilistička matematika se uključuje u teoriju skupova. Pri tome se pošlo od dva
bitna preduslova:
1) da teorija verovatnoće mora da bude potpuno matematička i
2) da je u skladu sa empirijskim činjenicama.
Pristup Kolmogorova obuhvatio je sve bitne eksperimentalno i intuitivno uočene
osobine funkcije
P
i prevazišao ograničenja u razvoju verovatnoće kao moderne matematičke
discipline. Uvedena aksiomatika bila je osnov za intenzivan razvoj novih pravaca u teoriji
verovatnoće koji su omogućili istraživanje veoma složenih procesa i pojava u prirodi, nauci,
tehnici i društvu.
Kod datog prostora događaja
S
, verovatnoća za svaki podskup
A
u
S
je neki realni broj.
Verovatnoća od
A
piše se
P(A)
i ona mora da počiva na sledeća tri aksioma.
Aksioma 1
. Za svaki događaj
A
, 0≤ P(
A
) ≤ 1.
Po ovom aksiomu verovatnoće, pozitivni su realni brojevi koji se kreću između 0 i 1.
Aksioma 2
. P(
S
) = 1.
Po ovom aksiomu, verovatnoća izvesnih događaja jednaka je 1. To znači da jedan od više
međusobno isključivih ishoda, koji proizilaze iz prostora događaja
S
, mora da nastupi kod
izvođenja nekog eksperimenta.
Aksioma 3
. Ako su
A
1
i
A
2
događaji (podskupovi) u
S
koji su međusobno isključivi,
