SEMINARSKI RAD
Aritmetiˇcki i geometrijski niz
Student: Andrejić Milan
Profesor: Nataša Savić
SADRZˇAJ
1.Uvod..........................................................3
1.1.Osnovni po jmovi.....................................4
1.2.Osnovne osobine niza..............................6
1.3.Aritmetiˇcki niz........................................8
1.4.Geometrijski niz.....................................12
1.5.Razni zadaci...........................................16
1.6.Literatura...............................................18
2
1.1.Osnovni po jmovi
Ograniˇci´cemo se na posmatranje beskonaˇcnih nizova,
pored ostalog i zbog toga ˇsto se, u izvesnom smislu, konaˇcan niz
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) moˇze indentifiko- vati sa beskonaˇcnim nizom
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
, 0, 0, . . .). Inaˇce pod beskonaˇcnim realnim
nizom podrazumeva se
jednoznaˇcno
preslikavanje
f skupa prirodnih brojeva N = 1,
2, . . . , n . . . u skup realnih brojeva R. (Moˇze se vrˇsiti i
preslikavanje skupa N u skup kompleksnih brojeva C , kada
govo- rimo o kompleksnim nizovima.) Kako je skup N oblast
definisanosti svakog niza, to je za poznavanje niza f dovoljno (i
potrebno) znati vrednosti koje se pribliˇzavaju brojevima 1, 2, . .
. , n, . . . , tj.
a
1
= f (1), a
2
= f (2), . . . , a
n
= f (n),
. . . ,
ili bar zakon po kome se te vrednosti formiraju. Na osnovu
toga, apostrofi- ranje nekog niza f moˇze se izvrˇsiti stavljanjem
u zagrade njegovih vrednosti a
1
, a,
2
, . . . , a
n
, . . . , kao ˇsto smo to
na pocetku ˇcinili, ili kra´com oznakom (a
n
)
n=1,2,3,...
U ovom tekstu za oznaku niza uzima´cemo ˇcesto samo (a
n
),
implicitno
podrazumevaju´ci da n uzima redom sve vrednosti iz skupa N
, a takode i
oznaku a
n
(n = 1, 2, 3, . . .). (Potpunosti radi, napominjemo da se
za oznaku niza ponekad koriste i velike zagrade,npr
{
a
n
}
.)
Vrednosti a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . nazivamo redom prvim, drugim, . . . , n-
tim, . . .
ˇclanom niza (a
n
), a brojeve 1, 2, . . . , n, . . . njihovim
indeksima.
Cˇ lan (a
n
),
tj. ˇclan sa neodredenim indeksom n (ili ˇclan iz koga variranjem
indeksa
dobijamo pojedine konkretne ˇclanove niza), naziva se ˇcesto
opstim ˇclanom niza.
Beskonaˇcni nizovi, u daljem tekstu ove glave: nizovi, sre´cu
se ˇcesto u samoj matematici. Tako nizovi se javljaju i pri
desetiˇcnom zapisivnju realnih brojeva. Naime, ako je
2
2
10
n
−
je niz donjih decimalnih aproksimacija (pribliˇznih vrednosti)
nenegativnog broja a; U isto vreme
1
1
1
a
0
, a
1
+
10
; a
0
, a
1
a
2
+
10
2
; a
0
, a
1
a
2
. . . a
n
+
10
n
; . . .
je niz gornjih decimalnih aproksimacija istog broja.
Medutim, nizovi se prirodno pojavljuju i u praksi: njih, npr,
ˇcine: brojevi novo pridoˇslih turista u neki grad (u toku dana,
recimo), brojevi proizvedenih artikala u nekoj fabrici (u
periodima odredene duˇzine) i sliˇcno. Zadavanje niza nekad
moˇze biti izvedeno u eksplicitnom obliku, tj. pomo´cu formule
tipa a
n
= f (n), koja jasno
pokazuje kako se na osnovu
vrednosti indeksa n izraˇcunava ˇclan niza sa tim indeksom (tj.
ˇclan a
n
).
−1)
n
]
Primer 1. Niz a
n
=
n[1+(
, (n = 1, 2, 3, . . .) zadat je u eksplicitnom
obliku.
Uzimaju´ci redom n = 1, 2, 3, . . . , dobijamo
a
1
=
1(1
−1)
= 0; a
2
=
2(1+1)
=
−1)
2
2
3(1+1)
2; a
3
=
3(1
= 0; a
4
=
2
= 4; . . . Medutim, zadavanje nekog niza
moˇze
biti opisano (usmeno). Tako,ako je a
n
gornja decimalna
aproksimacija broja
√
2 sa taˇcnoˇs´cu do
1
, imamo
a
1
= 2; a
2
= 1, 5; a
3
= 1, 42; a
4
= 1,
415; . . .
ili, ako je a
n
n-ti po redu prost broj,
imamo:
a
1
= 2; a
2
= 3; a
3
= 5; a
4
= 7; a
5
=
11; . . . .
U oba navedena primera nemamo formule koja bi omogu´cila
izraˇcunavanje nekog ˇclana na osnovu vrednosti indeksa n.
Uprkost tome, reˇcima opisano svojstvo ˇclanova omogu´cava
da se dode do vrednosti bilo kog ˇclana tih nizova. Napomena 1. S
obzirom na to da su nizovi funkcije (specifiˇcnog tipa), moˇze se
govoriti o njihovim graficima. Na osnovu definicije grafika
uopˇste, grafik
niza (a
n
) je skup taˇcaka (u ravni) (n, f (n))
|
n
∈
N , tj. skup (n,
a
n
)
|
n
∈
N
koji je prikazan na
slici 1.
