1
Beskonačni stepeni redovi
1.1 BROJNI REDOVI
Beskonačni brojni red predstavlja sumu svih članova nekog beskonačnog brojnog niza
:
(1.1)
Zbirove
(1.2)
nazivamo
parcijalni zbirovi.
Kažemo da je red
konvergentan
, ako
postoji granična
vrednost
:
(1.3)
koju zovemo
zbir beskonačnog reda.
U suprotnom, kažemo da je red
divergentan
.
Ostatak reda
je
razlika
njegovog
zbira i parcijalnog zbira
s
n
prvih (
n
+1) članova
(1.2) :
(1.4)
Primeri
:
Harmonijski red
je divergentan, jer je njegova suma beskonačna.
Geometrijski red
je konvergentan i njegova suma je jednaka 2 :
1
Ako je red konvergentan očigledno je da
njegov opšti
član mora da
teži nuli
kada
, pa je to
neophodan uslov
da red bude konvergentan, ali
ne i dovoljan
(uoči napr.
divergenciju harmonijskog reda) .Iz (1.3) i (1.4) proizilazi da je
potreban i dovoljan uslov
konvergencije reda da njegov
ostatak
R
n
teži nuli
kad
n
neograničeno raste
Ako je red čiji su članovi apsolutne vrednosti članova nekog konvergentnog reda (1.1):
takođe konvergentan, onda kažemo da je red (1.1)
apsolutno konvergentan
. Ako to nije
slučaj onda kažemo da je red
uslovno konvergentan
.
Kriterijumi konvergencije redova sa pozitivnim članovima
Podsetićemo se 2 kriterijuma za konvergenciju brojnih redova sa pozitivnim članovima
(
):
Dalamberov kriterijum količnika
:
Neka je
Tada, ako je :
(1.5a)
Košijev koreni kriterijum
:
Neka je
Tada, ako je :
(1.5b)
Primeri
:
2
On nije apsolutno, već samo uslovno konvergentan, jer red apsolutnih vrednosti njegovih
članova je harmonijski red, koji je divergentan.
1.2 STEPENI (POTENCIJALNI) REDOVI
Stepeni ili potencijalni redovi spadaju u
funkcijske redove
, čiji su
članovi funkcije
iste
promenljive
x
. Kod stepenog reda, opšti član je
n
– ti stepen nezavisno promenljive,
pomnožen nekim koeficijentom:
(1.4a)
ili
(1.4b)
gde su koeficijenti i vrednost konstante. Tačka se naziva
tačka razvoja
stepenog
reda. Tačka razvoja za red (1.4a) je očigledno:
.
Delimična suma
stepenog reda je
polinom
n
-tog stepena,
(1.5)
Očigledno je da stepeni red uvek konvergira za
, kada je njegova suma jednaka .
Pored toga, red
apsolutno
konvergira
u nekom
intervalu
,
a
izvan
tog
intervala divergira
. Poluširina intervala konvergencije stepenog reda,
r
se
naziva poluprečnik
konvergencije
. Na granicama intervala konvergencije
stepeni
red može da konvergira ili divergira.
Određivanje poluprečnika konvergencije
Iz Dalamberovog i Košijevog kriterijuma slede formule za određivanje poluprečnika
konvergencije:
4
