Brojni sistemi

1.

Brojni

sistemi,

prevo

đ

enje

brojeva

i

predstavljanje

podataka

u

ra

č

unaru

1.1.

Brojni

sistemi

Brojni

sistemi

(numeracije)

predstavljaju

skupove

znakova

(simbola)

kao

i

pravila

njihovog

koriš

ć

enja

za

predstavljanje

brojeva.

Možemo

re

ć

i

da

brojni

sistemi

predstavljaju

notaciju

za

predstavljanje

brojeva

odnosno

definisani

na

č

in

izražavanja

i

ozna

č

avanja.

Znaci

(simboli)

koji

se

koriste

za

prikazivanje

brojeva

zovu

se

brojke

ili

cifre.

Danas

postoji

veliki

broj

razli

č

itih

brojnih

sistema

koji

su

u

upotrebi.

U

svakodnevnom

životu

naj

č

eš

ć

e

se

koristi

dekadni

brojni

sistem

1

.

U

ovom

sistemu

svaki

broj

se

predstavlja

kao

niz

cifara

…

.

…

gde

su

 ,

 , … ,

0, 1, … , 9

i

važi:

10

10

10

10

10

Deo

broja

ispred

decimalne

ta

č

ke

…

naziva

se

ceo

deo

broja

dok

je

deo

iza

decimalne

ta

č

ke

razlomljeni

deo

broja

.

Ovaj

brojni

sistem

je

primer

pozicionog

brojnog

sistema.

Osnovna

karakteristika

pozicionih

brojnih

sistema

je

da

vrednost

(udeo)

sa

kojom

svaka

cifra

u

č

estvuje

u

ukupnoj

vrednosti

broja

zavisi

od

pozicije

na

kojoj

se

cifra

nalazi.

Ukoliko

to

nije

slu

č

aj,

brojni

sistem

je

nepozicioni.

Kao

primer

nepozicionog

brojnog

sistema

možemo

navesti

pisanje

brojeva

pomo

ć

u

rimskih

cifara.

U

opštem

slu

č

aju,

kod

pozicionih

brojnih

sistema,

za

svaku

poziciju

u

zapisu

broja

treba

zadati

težinu

sa

kojom

ta

cifra

u

č

estvuje

u

ukupnoj

vrednosti

broja.

Vrednost

broja

se

tada

ra

č

una

na

slede

ć

i

na

č

in:

…

.

…

 ,           

Naj

č

eš

ć

e

su

u

upotrebi

brojni

sistemi

kod

kojih

je

gde

je

dati

broj.

Ovakav

sistem

se

naziva

prirodni

brojni

sistem

ili

sistem

sa

osnovom

.

Dekadni

sistem

je

specijalan

slu

č

aj

ovog

sistema

i

dobija

se

za

10

.

Osim

dekadnog

u

ra

č

unarstvu

su

u

upotrebi

i

slede

ć

i

sistemi:

1.

Binarni,

2

2.

Oktalni,

8

3.

Heksadekadni,

16

Kod

heksadekadnog

sistema,

za

ozna

č

avanje

cifara

koje

imaju

vrednost

10,

11,

12,

13,

14

i

15

koristi

ć

emo

redom

slova

A,

B,

C,

D,

E

i

F.

Brojeve

predstavljene

u

sistemu

sa

osnovom

pisa

ć

emo

na

slede

ć

i

na

č

in:

…

.

…

Ovim

na

č

inom

pisanja

eksplicitno

naglašavamo

o

kojoj

se

osnovi

radi.

Za

brojeve

u

dekadnom

brojnom

sistemu

ne

ć

emo

pisati

osnovu

i

predstavlja

ć

emo

ih

na

uobi

č

ajen

na

č

in.

U

nastavku

  ć

emo

detaljnije

prou

č

avati

isklju

č

ivo

prirodne

brojne

sisteme.

Pritom

  ć

emo

naj

č

eš

ć

e

razmatrati

binarni,

oktalni,

heksadekadni

i

naravno

dekadni

sistem.

Isklju

č

ivo

ovi

brojni

sistemi

se

danas

koriste

u

ra

č

unarstvu

(a

i

ranije

su

se

isklju

č

ivo

oni

koristili)

2

.

1

Koristimo

ga

iz

istorijskih

razloga,

a

u

upotrebu

je

ušao

veoma

davno,

najverovatnije

zbog

deset

prstiju

na

rukama.

Postoje

zabeleške

i

o

brojnim

sistemima

sa

osnovom

20,

a

na

primer,

recimo

u

Mezopotamiji

su

ljudi

koristili

sistem

sa

osnovom

60.

2

1.

Brojni

sistemi,

prevodjenje

brojeva

i

predstavljanje

podataka

u

ra

č

unaru

Primer.

Broj

1234567

u

heksadekadnom

sistemu

predstavlja

se

kao

12D687

,

u

oktalnom

4553207

a

u

binarnom

100101101011010000111

.

Pravila

za

sabiranje,

množenje

i

deljenje

brojeva

mogu

se

lako

generalisati

iz

dekadnog

u

bilo

koji

prirodni

brojni

sistem.

Naravno,

odgovaraju

ć

e

tablice

sabiranja

i

množenja

moraju

se

posebno

generisati

za

svaki

sistem.

Tablice

množenja

i

sabiranja

za

binarni,

oktalni

i

heksadekadni

sistem

dati

su

u

prilogu

na

kraju

ovog

odeljka.

Zadatak

1.

Izra

č

unati:

1.

10110

10111

2.

10110

10011

3.

762

45

4.

1

2

Rešenje:

1.

2.

Prenos:101100                           Zajam:101100 
        10110                                  10110 
     +  10111                               -  10011 
       101101                                  00011 

3.

4.

762 * 45 = 4672                        1A * 2B  = 11E 
           3710                                   34  
          43772                                   45E 

1.2.

Prevo

đ

enje

brojeva

Razmotri

ć

emo

tri

na

č

ina

za

prevodjenje

broja

iz

sistema

sa

osnovom

u

sistem

sa

osnovom

.

Kod

prvog

se

operacije

izvršavaju

u

sistemu

sa

osnovom

a

kod

drugog

u

sistemu

sa

osnovom

.

Tre

ć

i

na

č

in

je

specifi

č

an,

ali

je

primenljiv

samo

kada

važi

ili

obrnuto

za

neki

ceo

broj

.

Kod

prvog

metoda,

najpre

se

sve

cifre

broja

u

sistemu

sa

osnovom

kao

i

vrednost

same

osnove

prevedu

u

sistem

sa

osnovom

.

Reprezentacija

broja

u

sistemu

sa

osnovom

dobija

se

kao

vrednost

slede

ć

eg

izraza:

Pošto

smo

navikli

da

radimo

u

dekadnom

sistemu,

ovaj

metod

se

primenjuje

kada

se

broj

iz

nekog

drugog

prevodi

u

dekadni

sistem.

Kod

drugog

metoda

na

razli

č

ite

na

č

ine

prevodimo

ceo

i

razlomljeni

deo

broja

.

Razmotrimo

najpre

prevodnjenje

celog

dela:

Ukoliko

broj

podelimo

sa

,

dobijamo

koli

č

nik:

i

ostatak

.

Ako

sada

novodobijeni

koli

č

nik

ponovo

podelimo

sa

dobijamo

koli

č

nik:

2

Prvi

elektronski

ra

č

unar,

ENIAC,

(koji

je

proradio

na

Univerzitetu

Ilinois,

SAD,

u

julu

1946.)

je

koristio

dekadni

brojni

sistem.

Za

pam

ć

enje

jedne

cifre

bilo

mu

je

potrebno

10

elektronskih

cevi,

od

kojih

je

samo

jedna

radila

u

jednom

trenutku.

4

1.

Brojni

sistemi,

prevodjenje

brojeva

i

predstavljanje

podataka

u

ra

č

unaru

Zadatak

5.

Prevesti

broj

0.312

u

oktalni

brojni

sistem.

Pritom

izvoditi

operacije

u

dekadnom

brojnom

sistemu.

Na

ć

i

prvih

7

cifara

u

reprezentaciji

broja

u

oktalnom

sistemu

Rešenje:

0.312 * 8   2.496  

2  

0.496 * 8   3.968  

3  

0.968 * 8   7.744 

7  

0.744 * 8   5.952  

5  

0.952 * 8   7.616 

7  

0.616 * 8   4.928  

4  

0.928 * 8   7.424  

7  

0.2375747 …

Zadatak

6.

Broj

534

najpre

u

binarni

a

zatim

i

u

heksadekadni

brojni

sistem.

Rešenje:

Svaku

oktalnu

cifru

datog

broja

prevedemo

u

binarni

sistem

i

dobijene

binarne

brojeve

jednostavno

nadovežemo

jedan

na

drugi.

Da

bi

preveli

broj

u

heksadekadni

sistem,

binarne

cifre

grupišemo

u

grupe

od

po

4

cifre.

Svakoj

grupi

odgovara

po

jedna

heksa

cifra.

5

101

,

3

011

,

4

100

534

101 011 100

101011100

0001 0101 1100

15

1.3.

Predstavljanje

celih

brojeva

u

ra

č

unaru

Za

predstavljanje

celih

brojeva

u

ra

č

unaru

koristimo

binarni

sistem.

Pomo

ć

u

bita

3

(binarnih

cifara),

možemo

predstaviti

sve

cele

brojeve

od

0

do

2

1

(najve

ć

i

broj

koji

možemo

predstaviti

pomo

ć

u

bita

je

11 … 11

).

Ovaj

na

č

in

koristimo

za

predstavljanje

pozitivnih

(neozna

č

enih)

brojeva.

Ukoliko

želimo

da

predstavimo

i

negativne

(ozna

č

ene)

brojeve,

prvi

bit

u

reprezentaciji

se

koristi

za

kodiranje

znaka

broja.

Postoje

ukupno

3

na

č

ina

za

predstavljanje

ozna

č

enih

brojeva.

1.3.1.

Direktno

kodiranje

bita

znaka

Kod

ovog

na

č

ina

se

na

poziciji

bita

znaka

upisuje

0

ukoliko

je

broj

pozitivan

a

1

ukoliko

je

negativan.

Ostalih

1

bitova

se

koristi

za

predstavljanje

apsolutne

vrednosti

broja

u

binarnom

sistemu.

Ovaj

na

č

in

je

sigurno

najjednostavniji

za

predstavljanje,

ali

se

osnovne

aritmeti

č

ke

operacije

nad

ovako

predstavljenim

brojevima

teško

izvršavaju.

1.3.2.

Nepotpuni

komplement

Cilj

je

izvršiti

takvo

predstavljanje

ozna

č

enih

brojeva

da

se

aritmeti

č

ke

operacije

mogu

izvršavati

na

sli

č

an

na

č

in

kao

i

kod

neozna

č

enih

brojeva.

Neka

je

dat

broj

   č

ija

se

apsolutna

vrednost

može

predstaviti

u

binarnom

sistemu

pomo

ć

u

cifara

(bitova).

Kao

i

kod

direktnog

kodiranja

i

ovde

  ć

e

biti

potrebno

ukupno

3

Fraza

“binarna

cifra”

se

u

ra

č

unarstvu

veoma

  č

esto

koristi.

Zato

je

izmišljena

sada

ve

ć 

standardna

skra

ć

enica

bit

.

Skra

ć

enica

je

nastala

od

engleskog

binary

digit

.

Ina

č

e,

bit

je

re

č 

književnog

engleskog

jezika

i

zna

č

i

deli

ć

,

par

č

ence.

Uvod

u

ra

č

unarstvo

i

digitalna

logi

č

ka

kola

5

1

binarnih

cifara.

Za

predstavljanje

bita

znaka

se

i

ovde

koristi

isti

na

č

in

kao

i

kod

direktnog

kodiranja.

Zatim

se

u

binarnoj

reprezentaciji

apsolutne

vrednosti

broja

| |

zamene

cifre

0

i

1

na

svakoj

poziciji.

Tako

dobijamo

preostalih

bita.

O

predstavlja

se

(u

binarnom

sistemu)

slede

ć

i

broj:

,

0

2

| |

1,

0

Prakti

č

no

se

dobija

tako

što

se

u

binarnoj

reprezentaciji

broja

| |

zamene

cifre

0

i

1

na

svakoj

poziciji.

Pomo

ć

u

ukupno

1

bita,

na

ovaj

na

č

in

je

mogu

ć

e

predstaviti

sve

brojeve

u

intervalu

2

1,2

1

.

Sabiranje

ovako

predstavljenih

ozna

č

enih

brojeva

se

obavlja

na

potpuno

isti

na

č

in

kao

da

su

u

pitanju

neozna

č

eni

brojevi

(pritom

i

bit

znaka

u

č

estvuje

ravnopravno

u

sabiranju)

pri

  č

emu

se

eventualni

prenos

na

najvišem

bitu

dodaje

zbiru.

Definicija

nepotpunog

komplementa

može

se

proširiti

na

bilo

koju

osnovu

.

Primer:

Izvršimo

sabiranje

brojeva

10011

i

– 10001

(u

dekadnom

sistemu

su

to

brojevi

19

i

  ‐

17).

Najpre

predstavljamo

ove

brojeve

u

nepotpunom

komplementu

a

zatim

sabiramo

ovako

dobijene

binarne

brojeve:

10011

010011 

10001

101110

    010011 
    101110 
 1  000001 
         1 
    000010

Vode

ć

i

bit

rezultata

je

0

pa

zaklju

č

ujemo

da

je

rezultat

pozitivan

i

jednak

2.

Da

se

u

predhodnom

primeru

dobio

bit

znaka

1,

bilo

bi

potrebno

prona

ć

i

apsolutnu

vrednost

rezultata,

tj.

dekomplementirati

rezultat.

Ukoliko

je

poznat

nepotpuni

komplement

broja

,

apsolutna

vrednost

| |

se

dobija

ponovnom

primenom

operacije

komplementiranja

na

broj

,

odnosno

važi

.

Zadatak

7.

Izra

č

unati

vrednost

izraza

323

14

.

Najpre

oba

broja

predstaviti

u

binarnom

sistemu,

zatim

drugi

broj

komplementirati

i

tako

dobijene

brojeve

sabrati.

Rešenje:

323 

101000011  

14

1110  

Primetimo

da

prvi

broj

ima

9

cifara

u

binarnom

sistemu

a

drugi

4.

Najpre

moramo

oba

broja

dovesti

na

isti

broj

cifara,

što

zna

č

i

da

drugom

broju

dodajemo

još

5

nula

plus

još

jednu

za

bit

znaka,

dok

prvom

broju

samo

nulu

za

bit

znaka.

Prema

tome,

oba

broja

sad

imaju

po

10

binarnih

cifara:

  0 101000011 
  0 000001110 

Sada

vršimo

komplementiranje

drugog

broja

i

sabiranje:

  0 101000011 
+ 1 111110001 
  0 100110100 
+           1 
  0 100110101