1
MATEMATI ˇ
CKA LOGIKA BEZ TABLICA ISTINITOSTI
SA UVODOM U BULOVU ALGEBRU
dr Rade Doroslovaˇ
cki i dr Radivoje Stojkovi´
c
Beograd 17.01.2010.
Saˇ
zetak
U ovom radu posebno se istiˇce da je vaˇzno tautologije dokazivati
(i) bez tablica istinitosti, odnosno prepoznavati da su to zakoni koji
postoje u ljudskoj svesti
.
Drugim reˇcima pravi se jedan konceptualno
ne
matematiˇcki prikaz,
odnosno na
ne
matematiˇcki naˇcin se dolazi do formalizacije logike.
Korektno matematiˇcko rasud¯ivanje ne mora se uˇciti prouˇcavanjem
logiˇckih formula i simbola, ve´c izvanrednim primerima iz ,,obiˇcnog”
ˇzivota, pomo´cu govornog jezika, koji su dobrog logiˇckog i metodolo-
ˇskog sadrˇzaja.
Naprimer logiˇcku operaciju konjunkciju
p
∧
q
treba ˇcitati: ,,Oba su
taˇcna” dok logiˇcku operaciju disjunkciju
p
∨
q
treba ˇcitati: ,,Bar jedan
je taˇcan” , logiˇcku operaciju negaciju
k
p
treba ˇcitati: ,,nije taˇcan p”
i logiˇcku operaciju ekvivalenciju
p
⇔
q
treba ˇcitati ,,isto je ˇsto i ” pa
onda Demorganov zakon
k
(
p
∧
q
)
⇔
k
p
∨
k
q
se ˇcita:
,,Nisu oba taˇcna isto je ˇsto i bar jedan je netaˇcan”
ili
,,Nisu (i) Pera i Steva Englezi isto je ˇsto i bar jedan od njih
nije Englez”
gde je
p
isto ˇsto i ,,Pera je Englez” a
q
je isto ˇsto i ,,Steva je Englez”
ˇsto za svako ljudsko bi´ce je oˇcevidno taˇcno! Ovo se potkrepljuje i kroz
razne konkretne primere da bi se potvrdilo gore reˇceno.
Posebno mesto u ovom izlaganju posve´ceno je
implikaciji
, jer je
ona nesporno najapstraktnija logiˇcka operacija i za nju se takod¯e kroz
razne primere obiˇcnog ˇzivota pokazuje da postoji u svesti (mozgu?)
ljudskih bi´ca tj. da nju nisu definisali matematiˇcari, ve´c samo
pre-
poznali
u svojoj svesti.
Da bi logika nastala i razvijala se, mora da postoji prirodna sredina
(medium) u kome se to deˇsava. Da bi riba nastala i razvijala se mora
da postoji prirodna sredina (medium) za to, a znamo da su to reke,
jezera, mora i okeani.
2
Osnovni medijum logike jeste maternji jezik. U ovom radu se po-
kazuje da svako ljudsko bi´ce koje je savladalo svoj maternji jezik i
nije zavrˇsilo nijedan razred ˇskole, moˇze u svojoj svesti da prepozna
sve logiˇcke operacije i sve logiˇcke zakone. Tek posle jezika pojavlju
se drugi medijumi (nauke?) za logiku, a to su matematika, fizika,
hemija, biologija, medicina, ekonomija, sociologija, psihologija, geo-
grafija, istorija, filosofija, teologija itd.
Kako je matematika zaista jedan od najlepˇsih midiuma za logiku,
tu su matematiˇcari prisvojili logiku kao svoju i nazvali je ,,Matematiˇcka
logika”
Dalje se ukazije da su kvantifikatori
∀
i
∃
uopˇstenja konjunkcije i
disjunkcije, a formule
k
(
∀
x
)
π
(
x
)
⇔
(
∃
x
)
k
π
(
x
) i
k
(
∃
x
)
π
(
x
)
⇔
(
∀
x
)
k
π
(
x
)
su uopˇstenja Demorganovih zakona.
Moˇze se pokazati da je najelegantniji i najkra´ci dolazak do svih
tautologija formiranjem Bulove algebre, a time su automatski prouˇceni
osnovni delovi teorije skupova i teorije brojeva.
Uvod
Ovaj rad jeste jedan pokuˇsaj priˇce o tome
ˇsta je to logika
?
Kako se broj novih nauˇcnih saznanja pove´cava velikom brzinom,
tada, da bi mladi istraˇzivaˇc doˇsao ˇsto pre do nivoa da moˇze ravno-
pravno uˇcestvovati u nauˇcnoj ,,trci” on mora prethodno da savlada sva
neophodna fundamentalna znanja ˇciji broj kako rekosmo raste ekpone-
ncijalnom brzinom. Zbog toga je razvoj metodike nastave matematike
4
Konjunkcija, disjunkcija, negacija i
Demorganovi zakoni
Binarna operacija konjunkcija, u oznaci
∧
med¯u iskazima
p
i
q
je
takva da je iskaz
p
∧
q
istinit ako i samo ako su oba istinita, a operacija
disjunkcija u oznaci
∨
je takva da je
p
∨
q
istinit ako i samo ako je
bar jedan istinit.
Negacija, u oznaci
k
je unarna operacija takva da ako je
p
istinit
tada je
k
p
neistinit i ako je
p
neistinit, tada je
k
p
istinit.
ˇ
Cinjenice iz prethodna dva pasusa ne mogu se dokazati, one su
plod logike ljudskoga roda (definicije?), ali se sada na primer moˇze
,,dokazati” da iskaz
k
(
p
∧
q
) ima uvek istu istinitosnu vrednost sa
iskazom
k
p
∨
k
q
, za sve vrednosti iskaza
p
i
q
tj.
k
(
p
∧
q
) =
k
p
∨
k
q
.
Dokaz sledi efektivnom proverom sva ˇcetiri mogu´ca sluˇcaja.
Med¯utim i bez te provere, nama, pripadnicima ljudskoga roda, to
je jasno i bez dokazivanja (?), jer ako konjunkciju ˇcitamo oba su taˇcna
i disjunkciju bar jedan je taˇcan sledi taˇcnost iskaza:
Nisu oba taˇcna, isto je ˇsto i bar jedan je netaˇcan!
a to je baˇs prvi Demorganov zakon.
Analogno je i sa drugim Demorganovim zakonom
k
(
p
∨
q
) =
k
p
∧
k
q
,
koji iskazan obiˇcnim reˇcima glasi:
Nije bar jedan taˇcan, isto je ˇsto i oba su netaˇcna!
ili
Nije taˇ
cno, da je bar jedno od njih dvoje lopov, isto je ˇsto i
oboje su poˇsteni.
a to je baˇs drugi Demorganov zakon.
Time prepoznajemo, da ovi logiˇcki zakoni, koji se zovu se Demo-
rganovi zakoni (tautologije) postoje u svesti svakoga ˇcoveka i nema
potrebe (?) za nekim ,,dokazivanjem” !
Logiˇcka operacija ekvivalencija je oznaˇcena sa
⇔
i iskaz
p
⇔
q
je
taˇcan ako i samo ako iskazi
p
i
q
su takvi da istovremeno su oba taˇcna
ili oba netaˇcna. I ova logiˇcka operacija je vrlo jednostavna i jasno
prepoznatljiva u naˇsoj svesti.
Sad umesto
k
(
p
∧
q
) =
k
p
∨
k
q
pisa´cemo
k
(
p
∧
q
)
⇔
k
p
∨
k
q
.
5
Kao i umesto
k
(
p
∨
q
) =
k
p
∧
k
q
pisa´cemo
k
(
p
∨
q
)
⇔
k
p
∧
k
q
.
Ilustracija prvog Demorganovog zakona na primeru:
,,Nije taˇcno da su
i
Stiven
i
Majkl belci, isto je ˇsto i
(ekvivalentno sa) bar jedan od njih nije belac”
tj.
,,Nisu oba belci, istoje ˇsto i (ekvivalentno sa) bar jedan od njih nije
belac”
i drugog:
,,Nije taˇcno da je bar neko od njih dvoje lopov, isto je ˇsto i
(ekvivalentno sa) oboje su poˇsteni”
Na taj naˇcin dalje izgrad¯ujemo naˇsu sopstvenu logiku tj.
forma-
lizujemo je
odnosno ured¯ujemo je tj. prepoznajemo da ona postoji u
naˇsoj svesti,
u svesti ovozemaljskih ljudskih bi´ca!
Generalizacije konjunkcije i
disjunkcije tj. kvantifikatori i
generalizacije Demorganovih zakona
Ako je
A
=
{
x
1
, x
2
,
· · ·
, x
n
}
neki skup bilo kakvih elemenata i ako
je
π
neka osobina koju svaki elemenat skupa
A
moˇze posedvati ili ne,
tada oznaka
π
(
x
) se ˇcita
π
od
x
odnosno
π
(
x
)
⇔
,,elemenat
x
poseduje osobinu
π
”
i naravno
π
(
x
) jeste
iskaz.
Dalje uvodimo oznake
(
∃
x
∈
A
)
π
(
x
)
(ˇcita se: Postoji
x
iz skup
A
takav da je
π
(
x
) taˇcno) i
7
gde je
A
skup ljudi, a osobina
π
- biti human.
Nije taˇ
cno, da je bar jedan okrivljen, isto je ˇsto i svi su nevini.
Ove formule u Matematiˇckoj logici zovu se valjane formule.
IMPLIKACIJA
Posebno mesto u analiziranju i prouˇcavanju logiˇcih operacija po-
sveti´cemo
IMPLIKACIJI
, ne samo zbog njene vaˇznosti, ve´c i zbog njene
velike apstraktnosti u pored¯enju sa ostalim logiˇckim operacijama.
Bez sumnje, u metodiˇckoj pedagoˇskoj obrazovnoj praksi, pokazano
je da uˇcenici i studenti najteˇze usvajaju pojam implikacije. Ovaj rad
pokuˇsava da objasni razlog te nesporne ˇcinjenice i pokuˇsava da dopri-
nese ˇsto efikasnijem savladavanju pojma implikacije tj. uveravanjem
da ona postoji u naˇsoj svesti.
Pokuˇsajmo da ovu izuzetno vaˇznu logiˇcku binarna operacija u alge-
bri iskaza
IMPLIKACIJU
, koju ˇcitamo: ,,ako je
p
, tada je i
q
” , prepoz-
namo u naˇsoj svesti, koja se inaˇce oznaˇcava sa
p
⇒
q
.
Pre toga navedimo prvo nekoliko naˇcina ˇcitanja implikacije. Znaˇci
p
⇒
q
se ˇcita:
,,
p
implicira q” ili ,,iz
p
sledi
q
” ili ,,
q
je posledica od
p
” ili ,,
p
je dovoljan
uslov za
q
” ili ,,
q
je potreban uslov za
p
” ili ,,ako je
p
, onda je
q
”
Da vidimo ˇsta logika ljudskoga roda (tj. mi) kaˇze (kaˇzemo), kada
je iskaz
p
⇒
q
taˇcan, a kada netaˇcan?
Pa kao ˇsto ose´cate i znate implikacija kaˇze da ako je
p
taˇcan, onda
mora biti i
q
taˇcan,
a ako p nije taˇ
can, onda nikom niˇsta tj.
sve je uredu!
Prema tome implikacija je netaˇcna ako i samo ako je
p
taˇcan i
q
netaˇcan i NIKAD VIˇSE
!
Drugim reˇ
cima ako je iskaz p netaˇ
can, tada je
p
⇒
q
taˇ
can iskaz bez obzira da li je iskaz q taˇ
can ili netaˇ
can!
Znaˇ
ci reˇ
cenica ,,Akoje
p
onda je i
q
” zahteva da je
q
taˇ
cno
SAMO ako je
p
taˇ
cno, odnosno ako je
p
netaˇ
cno tada se niˇsta
ne zahteva tj. sve je uredu!
