Univerzitet u Novom Sadu
Tehnički fakultet
"Mihajlo Pupin"
Zrenjanin
Seminarski rad
Predmet:
Matematika 3
Tema:
Bulova algebra
Profesor:
Prof. dr Momčilo Bjelica
Student:
Aleksandar Damljanović
br. indeksa P11/17
Zrenjanin, Jul 2018. godine
Aleksandar Damljanović
Bulova algebra
................
str. 1
SADRŽAJ
UVOD 2
1. OPŠTI POJMOVI
2
1.1. Osnovni aksiomi (postulati) Bulove algebre 3
1.2. Teoreme (zakoni) u Bulovoj algebri 4
2. PREKIDAČKA ALGEBRA
5
2.1. Prekidačke funkcije i izrazi 5
2.2. Osobine funkcija jedne i dve nezavisno promenljive
8
3. ELEMENTARNA LOGIČKA KOLA
10
3.1. AND, OR i NOT logička kola
10
3.2. Izvedena logička kola
11
3.3. Ostali tipovi logičkih kola
12
ZAKLJUČAK 14
LITERATURA
15
Aleksandar Damljanović
Bulova algebra
................
str. 3
1.1 Osnovni aksiomi (postulati) Bulove algebre
Godine 1904. je Hantington (E. V. Huntington) redukovao definiciju Bulove algebre na
minimalan skup postulata. On je ustanovio da se svi rezultati i implikacije algebre koju je opisao
Bul mogu svesti na samo šest osnovnih postulata.
Bulova algebra (
B
,
+
¿
,
⋅
,
) mora da zadovolji sledeće aksiome:
1.
Zatvorenost:
za svaki element
a i b
iz skupa
B
važi
(i)
a
+
b
je element
B
, i
(ii)
a
⋅
b
je element
B
.
2.
Postojanje neutralnih elemenata za operacije + i
⋅
(svojstva elemenata 0 i 1):
(i) postoji element
0
iz
B
takav da za svako a iz
B
važi
0
+
a
=
a
+
0
=
a
,
(ii) postoji element
1
iz
B
takav da sa svako a iz
B
važi
1
⋅
a
=
a
⋅
1
=
a
.
∃
0,1
∈
B
∴ ∀
a
∈
B
⇒
(
i
)
∧
(
ii
)
.
3.
Komutativnost:
za sve elemente a i b u skupu
B
važi
(i)
a
+
b
=
b
+
a
, i
(ii)
a
⋅
b
=
b
⋅
a .
4.
Distributivnost:
za sve elemente a, b i c u skupu
B
važi
(i)
a
⋅
(
b
+
c
)=
a
⋅
b
+
a
⋅
c
, i
(ii)
a
+(
b
⋅
c
)=(
a
+
b
)
⋅
(
a
+
c
)
.
5.
Postojanje inverznog elementa (komplementa):
Za svaki element a iz skupa
B
postoji u
B
element
a
, takav da važi:
(i)
a
+
a
=
1
,
i
(ii)
a
⋅
a
=
0.
6.
Nula i jedinica Bulove algebre su dva različita skupa
B
U skupu
B
postoje najmanje dva različita elementa, tj.
0
≠
1
.
Termini binarni operator i unarni operator odnose se na broj argumenata koji su
uključeni u operaciju: dva ili jedan.
Bulova algebra kod koje je broj elemenata u skupu
B
jednak 2 naziva se prekidačka
algebra. Binarni operatori koji se predstavljaju znacima
+
¿
i
⋅
nazivaju se ILI(OR) i (AND), dok
se unarni operator koji se predstavlaja znakom
naziva NE (NOT) ili
operator komplement. Najčešće se proizvodi tipa a
⋅
b pišu kao ab, izostavljajući ali
podrazumevajući operator
⋅
.
Aleksandar Damljanović
Bulova algebra
................
str. 4
1.2 Teoreme (zakoni) u Bulovoj algebri
Na osnovu skupa aksioma Bulove algebre izvode se sledeće teoreme.
1. Zakon idempotencije (zakon nevaženja stepenovanja)
∀
a , b
∈
B
⇒
a
+
a
=
a
i
a
⋅
a
=
a
Osobina idempotentnosti znači da elemenat koji je ima, ukoliko se operacija
primeni na njega (da on bude sa obe strane operatora), rezultat je on sam.
2. U Bulovoj algebri komplement elementa a, u oznaci
a
je jedinstven.
3. Zakon involucije operacije negacije - zakon dvojne negacije.
∀
a
∈
B
⇒
´
a
=
a
4.
Teorema bez imena
∀
a
∈
B
⇒
a
+
1
=
1
i
a
⋅
0
=
0
5. De Morganova Teorema.
∀
a , b
∈
B
⇒
a
+
b
=
a
⋅
b
i
ab
=
a
+
b
6. Opšta De Morganova teorema.
∀
x
i
∈
B ,i
=
1
, … , n
⇒
x
1
+
x
2
+
…
+
x
n
=
x
1
⋅
x
2
⋅
…
⋅
x
n
i
x
1
⋅
x
2
⋅
…
⋅
x
n
=
x
1
+
x
2
+
…
+
x
n
7. Generalisana De Morganova teorema.
Ako je A Bulov izraz u kome se pojavljuju operacije +,
⋅
i
⎯
, tada važi
A
(
x
1
, … , x
n
)=
A
¿
(
x
1
, … , x
n
)
8. Zakon apsorpcije.
∀
a , b
∈
B
⇒
a
+
ab
=
a
i
a
(
a
+
b
)=
a
