Детерминанта
У алгебри,
детерминанта
је функција која зависи од
n
, која
додељује скаларну вредност, det(
A
), свакој
n
×
n
квадратној матрици
A
.
Важно својство детерминанте је да је матрица
A
над пољем (на
пример, реална или комплекснаматрица) инвертибилна ако и само ако је
њена детерминанта различита од нуле. Отуда потиче и назив
„детерминанта“, јер ова вредност одређује (детерминише) да ли је
матрица инвертибилна или не.
Детерминанте су важне и у математичкој анализи, где су неопходне за
увођење смена код функција више променљивих, као и у мултилинеарној
алгебри.
За фиксиран позитивни цео број
n
, постоји јединствена функција
детерминанте за
n
×
n
матрице над било којим комутативним прстеном
R
.
Специјално, ова функција постоји када је
R
поље реалних или комплексних
бројева.
Нотација
Детерминанта матрице
A
се такође некада означава и као
. Ова
нотација може да буде двосмислена, јер се такође користи и за
одређене норме матрице и заапсолутну вредност. Међутим, норма
матрице се често означава са две вертикалне црте (тј.
). Стога се оваква
нотација (помоћу вертикалних црта) врло често користи. На пример, за
матрицу
1.
има детерминанту
Интерпретација када матрица има чланове који су реални бројеви је да
даје оријентисану површину паралелограмаса теменима (0,0), (
a
,
b
),
(
a
+
c
,
b
+
d
), и (
c
,
d
). (За овај паралелограм кажемо да је
разапет
над
векторима (
a
,
b
) и (
c
,
d
).) Оријентисана површина је иста као и
уобичајена површина, осим што је негативна када се темена поређају у
правцу казаљке на сату.
Формуле за веће матрице су дате доле.
Детерминанте матрица формата 3-са-3
Матрица формата 3×3
Коришћењем Лапласовог развоја по кофакторима на првој врсти матрице,
добијамо:
2.
што је једнако
Формула за детерминанту формата 3 × 3 се може лако запамтити
применом следећег „Сарусовог правила“. Детерминанта матрице формата
3 × 3 једнака је збиру производа елемената три дијагоналне линије које
воде од
северозапада
до
југоистока
, минус збир производа елемената
три дијагоналне линије које воде од
југозапада
до
североистока
, када се
