MATEMATIKA
-seminarski rad-
Tema: Diferencijalne jednačine
DIFERENCIJALNE JEDNAČINE
Pojam diferencijalnih jednačina je jedan od osnovnih matematičkih
pojmova i javlja se pri izučavanju pojava i procesa koji se mogu opisati
analitički sa zavisnošću izmedju nekih parametara i njihovih izvoda.
Izučavanje takvih diferencijalnih modela, čiji su matematički opisi
diferencijalne jednačine, podrazumeva i znanje zakona fizike, hemije,
biologije tj. znanja onih oblasti sa kojima je povezana priroda izučavanog
objekta.
Najviši red izvoda u toj jednačini se naziva red diferencijalne jednačine.
Na primer:
y"+ ky³ = 0
je diferencijalna jednačina drugog reda.
Najprostija diferencijalna jednačina je prvog reda, u eksplicitnom obliku to
je:
y' = f (x).
Svaka funkcija koja diferencijalnu jednačinu identički zadovoljava zove se
rešenje ili integral te jednačine. Opšte rešenje treba da identički
zadovoljava datu diferencijalnu jednačinu, i oblika je
y = φ(x, C
1
, C
2
, ... , C
n
),
gde su C
1
,...,C
n
proizvoljne integracione konstante.
Partikularno rešenje je svaka funkcija koja se dobija iz opšteg rešenja za
posebne vrednosti konstanti. Singularno rešenje je ono koje identički
zadovoljava datu jednačinu, a ne nalazi se u opštem rešenju.
Kad nepoznata funkcija zavisi od dveju ili više promenljivih, diferencijalnu
jednačinu nazivamo parcijalnom.
Rešiti diferencijalnu jednačinu znaci odrediti opšte rešenje, sva
singularna rešenja, i ispitati ponašanje rešenja u blizini singularnih tačaka.
Diferencijalne jednačine prvog reda:
Obična diferencijalna jednačina prvog reda u implicitnom obliku:
F : D → R, D
⊂
R3
F (x, y, y ) = 0,
Obična diferencijalna jednačina prvog reda u normalnom obliku:
(1)
f : D → R, D
⊂
R2
y = f (x, y)
