4.
DINAMIKA FLUIDA
4.1.
OSNOVNI ZAKONI KRETANJA
U prethodnom poglavlju razmatrani su kinematski elementi kretanja fluida. U ovom i slijedećim
poglavljima će biti razmatrana i njihova veza sa silama koje djeluju pri kretanju fluida. Ta veza je
data dinamičkom jednačinom ravnoteže.
Uslov ravnoteže u stanju kretanja izražen je preko dinamičke ravnoteže, odnosno inercijskim
svojstvom materije i principom ubrzanja koje je Njutn
1
formulirao kroz svoja tri zakona.
Njutnovi zakoni
(u slobodnom prevodu)
glase:
I
Tijelo će ostati u stanju mirovanja ili u postojećem, datom, stanju kretanja sve dok na njega
ne bude djelovala neka vanjska sila.
II Ubrzanje tijela će biti u pravcu i smjeru sile koja izaziva dato ubrzanje, ono je direktno
proporcijalno veličini sile i obratno proporcionalno masi tijela.
III Svaka akcija je praćena jednom reakcijom istog intenziteta i pravca, ali suprotnog smjera.
Prvi zakon opisuje karakteristike materije, a drugi u svijetlu trećeg postavlja da se ubrzavajućem
dejstvu sile suprotstavlja inercijska sila reakcije materije na koju sila djeluje.
(4.1.)
gdje su:
gustina fluida,
ubrzanje fluida.
Izraz:
predstavlja silu inercije jedinice zapremine fluida. Ona je uzeta sa negativnim predznakom zbog
njenog karaktera u odnosu na ostale sile.
Nadalje,
je sistem svih vanjskih i unutarnjih sila koje se odnose na jedinicu zapremine fluida. Primjenom
Dalamberovog
2
principa dinamička jednačina ravnoteže se može napisati kao:
1
Isaac Newton
2
Jean le Rond d'Alambert
(4.2.)
4.2.
OPŠTA JEDNAČINA DINAMIKE FLUIDA U
DIFERENCIJALNOM OBLIKU
Posmatrajmo kretanje fluidnog elementa mase
koja u trenutku vremena
zauzima zapreminu
, kao što je prikazano na slici 4.1.
Slika 4.1.: Djelovanje napona na površinama paralelopipeda
Na fluidni element djeluju zapreminske sile svedene na jedinicu zapremine, čije su komponente
u pravcima
, respektivno. Sile djeluju u težištu
posmatranog fluidnog elementa.
Dejstvo površinskih sila definisano je tenzorom napona u tački
,
Na površinama paralelopipeda djeluju naponi kao na slici 4.1., od kojih su upisani samo oni koji
djeluju u pravcu
ose. Kako je izabrani element dovoljno malen pri prelazu od tačke
u tačku
na površini paralelopipeda zanemarena je promjena napona višeg reda.
Koordinatni početak je postavljen u centar paralelopipeda, tačka
.
Radi jednostavnijeg izvođenja, osnovna jednačina kretanja:
(4.7b.)
(4.7c.)
Ove tri skalarne jednačine 4.7. predstavljaju zakon o održanju količine kretanja fluidnog
elementa, napisan u diferencijalnom obliku. Jednačine su poznate kao Sen-Venanove
3
jednačine
kretanja.
Jednačine sadrže deset nepoznatih veličina: gustinu
, tri komponente brzine
i šest
komponenti napona
( pošto su
).
Dobivene tri skalarne jednačine 4.7. se mogu napisati u obliku jedne vektorske jednačine:
(4.8.)
gdje su:
4.3.
DEJSTVO SILA NA IDEALAN FLUID
Fluid konstantne gustine, kod koga se može zanemariti dejstvo sila viskoziteta, se naziva
idealnim fluidom
. U odsustvu viskoznosti ne postoji mogućnost da se generišu površinske sile u
fluidu te je:
Sada su površinske sile određene tenzorom napona koji se pojavljuje u obliku:
(4.9.)
Već ranije je navedeno da između tri normalna napona postoji odnos:
(4.10.)
Dakle veličina normalnog napona ne zavisi od pravca te se tenzor
redukuje na skalar
, koji se
naziva
hidrostatičkim pritiskom
ili
pritiskom
u posmatranoj tački. Negativan predznak pokazuje
3
Jean Claude Barré de Saint-Venant
da je hidrostatički pritisak usmjeren u suprotnom smjeru od jediničnog normalnog vektora
vanjske površine.
4.4.
OJLEROVE JEDNAČINE KRETANJA IDEALNOG FLUIDA
U poglavlju 4.2. je izvedena opšta jednačina 4.8. dinamike fluida koja u vektorskom obliku glasi:
Obzirom da se ovdje analizira kretanje idealnog fluida, površinske sile su određene tenzorom
napona u poglavlju 4.3., jednačina 4.9.
Uvažavajući naprijed navedeno, dobiva se:
(4.11.)
gdje su:
zapreminska sila po jedinici zapremine,
gradijent pritiska koji ima prirodu vektora.
Navedena jednačina 4.11. predstavlja Ojlerovu diferencijalnu jednačinu u vektorskom obliku za
kretanje idealnog fluida.
Projekcije vektorske jednačine 4.11. na koordinatne ose su:
(4.12a.)
(4.12b.)
(4.12c.)
ili u razvijenom obliku:
(4.13a.)
(4.13b.)
(4.13c.)
Dobivene jednačine 4.12. i 4.13. predstavljaju diferencijalne jednačine u skalarnom obliku.
Ovo se je moglo pisati jer je poznato da je vektorski proizvod dvostruke vrijednosti vektora
vrtloženja i vektora brzine:
Takođe, znajući da je
, može se pisati:
Ako se analogno uradi i za komponente ubrzanja u
i
pravcima, Ojlerove jednačine se mogu
napisati kao:
(4.15a.)
(4.15b.)
(4.15c.)
Ako zapreminske sile imaju potencijal
, tada su komponente sile
mogu izraziti kao:
Ako je sila gravitacije jedina zapreminska sila, tada je:
(4.16.)
gdje je
osa usmjerena prema gore. Obzirom da je za idealan fluid gustina konstantna,
prethodne jednačine se mogu pisati kao:
(4.17a.)
(4.17b.)
(4.17c.)
