Vežbe 3 – Centralno kretanje. Vezano kretanje. Mešoviti zadaci…
FTN, Novi Sad, 2014/2015
vanr.prof. dr Miodrag Zuković
Materijalna tačka mase ? = 1kg se kreće pod
dejstvom centralne privlačne sile, čiji je
intenzitet obrnuto proporcionalan kubu
rastojanja tačke od centra dejstva sile,
? ? =
?
?
3
. Poznato je da intenzitet sile iznosi
1N kada se tačka nalazi na rastojanju 1m od
centra dejstva sile. U početnom trenutku
tačka se nalazi na rastojanju ?
0
= 2m od
centra dejstva sile i ima brzinu ?
0
=
1
2
m
s
čiji
vektor zaklapa ugao α =
π
4
rad sa vektorom
koji spaja centar dejstva sile i tačku. Odrediti
konačne jednačine kretanja tačke i njenu
trajektoriju.
Pod dejstvom centralne sile ? tačka mase ?
opisuje leminiskatu ?
2
= ? ???2? , gde je
? = ?
0
2
= ????? > 0, a ? rastojanje tačke od
centra dejstva sile. U trenutku ? = 0 tačka se
nalazi na rastojanju ?
0
od centra dejstva sile,
a brzina, čiji je intenzitet ?
0,
zaklapa sa
radijalnom osom ugao α =
π
2
. Odrediti silu ? ,
pod pretpostavkom da njen intenzitet zavisi
samo od rastojanja ?.
Zamenom poslednjeg izraza u Bineov obrazac dobija se
?
?
? = −
3??
2
?
0
2
?
0
2
?
7
= −
3??
0
6
?
0
2
?
7
odakle sledi na je u pitanju privlačna sila, čiji je intenzitet obrnuto proporcionalan sedmom
stepenu rastojanja tačke od centra dejstva sile. Konačno, vektor ove sila dat je sa
? = −
3??
0
6
?
0
2
?
7
?
0
Tačka M, mase ?, kreće se oko nepokretnog
centra O pod dejstvom centralne sile ? , čiji
intenzitet zavisi samo od rastojanja ?? = ?. Ako
se prilikom ovog kretanja intenzitet brzine tačke
menja po zakonu ? =
?
?
, gde je ? konstanta,
odrediti silu ? .
Materijalna tačka mase ? = 100kg nalazi se na visini
ℎ = 100km iznad površine Zemlje. Kolikom silom
Zemlja privlači materijalnu tačku. Poluprečnik
Zemlje je ? = 6370km, a ubrzanje sile zemljine teže
na njenoj površini iznosi ? = 9.81
m
s
2
.
Intenzitet Njutnove gravitacione sile, sile kojom Zemlja privlači materijalnu tačku je
? = ? ? = ?
??
?
2
=
??
?
2
(? rastojanje od centra Zemlje, ? masa Zemlje, ? univerzalna gravitaciona konstanta, a ? = ??)
Konstanta ? može se odrediti i iz uslova da je privlačna sila Zemlje na njenoj površini jednaka sili
težine ??):
? ? = ? =
??
?
2
= ??
odakle sledi
? = ??
2
i
? = ? ? =
???
2
?
2
Kada se tačka nalazi na visini ℎ iznad Zemlje na nju deluje sila
?
ℎ
= ? ? = ? + ℎ =
??
? + ℎ
2
=
???
2
? + ℎ
2
i za date podatke ona iznosi
?
ℎ
=
100kg 9.81
m
s
2
6370km
2
6370km + 100km
2
= 950.91 N
Ako u pravcu kretanja tačke radijalnom pravcu usvojimo osu ?, sa koordinatnim početkom u centru Zemlje,
i usmerimo je naviše, sila kojom Zemlja privlači tačku može da se zapiše u obliku
? = −
??
?
2
?
gde je ? = ??
2
.
Iz drugog Njutnovog zakona, ?? = ? , koji u ovom slučaju glasi
?? ? = −
??
?
2
?
sledi diferencijalna jednačina kretanja tačke
? = −
?
?
2
koja nakon reparametrizacije, ? = ?
??
??
, postaje
?
??
??
= −
?
?
2
Razdvajanjem promenjivih i integracijom:
? ??
? ?
1
=?
1
? 0 =0
= −?
??
?
2
? ?
1
=?
? 0 =?+ℎ
→
?
2
2
0
?
1
=
?
?
?+ℎ
?
dobijamo brzinu tačke u trenutku pada na Zemlju
?
1
= 2?
1
?
−
1
? + ℎ
=
2?ℎ
? ? + ℎ
=
2??ℎ
? + ℎ
Za malo ℎ (? + ℎ ≈ ?) imamo da je
?
1
≈ 2?ℎ
što odgovara brzini tačke pri slobodnom padu sa visine h u homogenom polju sile zemljine teže ? = −??? ).
Izrazimo brzinu tačke u polarnim koordinatama
? = ?
?
?
0
+ ?
?
?
0
= ? ?
0
+ ?? ?
0
Iz drugog Njutnovog zakona, ?? = ? , ( ? = −
??
?
2
?
0
, ? = ??
2
),
projektovanjem na radijalnu osu dobijamo jednačinu
? ? − ??
2
= −
??
?
2
Pošto se tačka kreće po kružnici važi:
? = ?
?
= ????? → ? = ? = 0
pa se iz prethodne jednačine dobija:
?
?
?
2
=
?
?
?
2
→ ? =
?
?
?
3
= ?????
odakle sledi da je brzina tačke pri kretanju oko Zemlje po kružnici radijusa jednaka:
? = ?
?
?
?
?
3
?
0
=
?
?
?
?
0
= ?
?
?
0
→ ?
?
=
?
?
?
=
??
2
?
?
=
??
2
? + ℎ
gde je ℎ visina na kojoj se tačka nalazi.
Za ?
?
= ? + ℎ ≈ ? dobija se
?
?
≈ ?
?
=
?
?
= ??
gde je ?
?
prva kosmička brzina, koja za ? = 6370km i ? = 9.81
m
s
2
iznosi
?
?
= 7.905 10
3
m
s
= 7.905
km
s
Do trajektorije kretanja materijalne tačke doći ćemo preko prvih integrala centralnog kretanja: integrala
sektorske brzine i zakona održanja mehaničke energije.
Integral sektorske brzine glasi
?
2
? = ?
gde je
? = ? 0 ? 0 ? 0 = ? 0 ?
?
0 = ?
0
?
0
,
?
0
= ? + ℎ
Potencijalne energija Njutnove gravitacione sile ? = −
??
?
2
?
0
, gde je ? = ??
2
, ima oblik
Π = −
??
?
Iz zakona održanja mehaničke energije
?
?
+ Π = ? = ?????
sledi jednačina
1
2
? ?
2
+ ?
2
?
2
−
??
?
= ?
gde je
? = ?
?0
+ Π
0
=
1
2
??
0
2
−
??
?
0
=
?
2
?
0
2
−
2?
?
0
=
?
2
?
0
2
−
2??
2
?
0
Kombinovanjem integrala sektorske brzine i zakona
održanja mehaničke energije dobija se jednačina
?
2
+
?
2
?
2
−
2?
?
=
2?
?
→ ? =
2?
?
+
2?
?
−
?
2
?
2
Uz ? =
??
??
??
??
= ?
??
??
=
?
?
2
??
??
poslednja jednačina
postaje
?
?
2
??
??
=
2?
?
+
2?
?
−
?
2
?
2
Uvođenjem smene ? =
1
?
??
??
= −
1
?
2
??
??
ona može da
se zapiše u obliku
−
??
??
=
2?
??
2
+ 2
?
?
2
? − ?
2
Integracijom ove jednačine
−
??
2?
??
2
+
?
?
2
2
− ? −
?
?
2
2
= ??
dobija se
arccos
? −
?
?
2
2?
??
2
+
?
?
2
2
= ? − ?
odnosno
? =
?
?
2
+
2?
??
2
+
?
?
2
2
cos ? + ?
Nakon vraćanja smene ? =
1
?
imamo
1
?
=
?
?
2
1 + 1 +
2??
2
??
2
cos ? + ?
odakle sledi jednačina trajektorije
? =
?
1 + ? cos ? + ?
gde je
? =
?
2
?
,
? = 1 +
2??
2
??
2
cos ? =
?
?
0
− 1
?
=
?
0
?
?
2
− 1
?
0
?
?
2
− 1
2
pa važi:
?
0
> ?
?
→ ? = 0
?
0
< ?
?
→ ? = ?
Jednačina trajektorije je jednačina konusnih preseka: kružnica, elipsa, parabola, hiperbola. Po kojoj od ovih
krivih će se tačka kretati zavisi od veličina ?, odnosno početne brzine ili od odnosa početne brzine ?
0
i
brzine ?
?
, koja odgovara kretanju po kružnici. Detaljniju analiza mogućih trajektorija u zavisnosti od
odnosa ?
0
i ?
?
prikazuje slika i sledeća tabela:
?
0
< ?
?
? < 1 elipsa
?
0
= ?
?
? = 0 kružnica
?
?
< ?
0
< 2?
?
? < 1 elipsa
?
0
= 2?
?
= ?
?
? = 1 parabola
?
0
> 2?
?
? > 1 hiperbola
Za slučaj kada je ?
0
= ? + ℎ ≈ ? dobija se:
?
?
=
??
2
? + ℎ
≈
?
?
= ?? = 7.905 10
3
m
s
= 7.905
km
s
= ?
?
što je prva kosmička brzina brzina kretanja po kružnoj orbiti , dok je
?
?
= 2?
?
≈
2?
?
= 2?? = 11.179 10
3
m
s
= 11.179
km
s
= ?
??
što je druga kosmička brzina najmanja brzina potrebna za napuštanje polja dejstva gravitacione sile
Zemlje).
Pri kretanju satelita, oko Zemlje, po kružnoj orbiti
radijusa ?
1
njegova brzina je
?
?1
= ?
1
=
?
?
1
dok pri kretanju po kružnoj orbiti radijusa ?
2
ona iznosi
?
?2
= ?
2
=
?
?
2
gde je ? = ??
?
2
(?
?
- poluprečnik Zemlje, ? - ubrzanje sile
zemljine teže na njenoj površini .
Transfer sa jedne na drugu kružnu orbitu obavlja se po
elipsi čija je poluosa ? =
?
1
+?
2
2
. Udaljenost satelita od
centra Zemlje kada se nalazi u perigeju jednaka je
?
?
= ?
1
, a kada je u apogeju ona iznosi ?
?
= ?
2
. Iz
jednačine trajektorije
? =
?
1 + ? cos ?
gde je ? =
?
2
?
(? = ?
2
? = ??
?
), dobija se:
?
?
= ?
1
= ? ? = 0 =
?
1 + ?
?
?
= ?
2
= ? ? = ? =
?
1 − ?
odakle sledi:
? =
?
2
− ?
1
?
1
+ ?
2
,
? =
2?
1
?
2
?
1
+ ?
2
pa je
? = ?? = ?
2?
1
?
2
?
1
+ ?
2
Iz zakona održanja sektorske brzine, ? = ?
2
? = ??
?
,
sledi
? = ?
1
?
?
= ?
2
?
?
odnosno:
?
?
=
?
?
1
= ?
2?
2
?
1
?
1
+ ?
2
=
?
?
1
2?
2
?
1
+ ?
2
?
?
=
?
?
2
= ?
2?
1
?
2
?
1
+ ?
2
=
?
?
2
2?
1
?
1
+ ?
2
Primetimo da je
?
?
=
?
?
1
=
?
?
1
2?
2
?
1
+ ?
2
> ?
1
=
?
?
1
To znači da satelitu treba trenutno povećati brzinu da
bi sa kružne orbite radijusa ?
1
prešao na traženu
eliptičnu orbitu, u njenom perigeju, odnosno, da je
?
?
= ?
1
+ ∆?
1
odakle je
∆?
1
= ?
?
− ?
1
=
?
?
1
2?
2
?
1
+ ?
2
−
?
?
1
=
?
?
1
2?
2
?
1
+ ?
2
− 1
što je traženi prvi priraštaj brzine satelita.
Po glatkoj horizontalnoj ploči kreće se
kuglica mase ? . Za nju je vezano
idealno uže, čiji je drugi kraj provučen
kroz mali otvor u ploči i uvlači se u
njega konstantnom brzinom ? . U
početnom trenutku uže je zategnuto, a
kuglica se nalazi na rastojanju ? od
otvora. Projekcija početne brzine na
pravac upravan na uže je ?
?0
= ? .
Odrediti kretanje kuglice i silu u užetu.
Jednačina kretanja kuglice glasi
?? = ?? + ? + ?
gde su ? i ? , reakcija užeta i glatkog stola.
Ako se vektori izraze preko projekcija na radijalni i
cirkularni pravac, kao i osu upravnu na sto, određenu
jediničnim vektorom ? , diferencijalna jednačina
kretanja ima oblik
? ? − ??
2
?
0
+ ?? + 2? ? ?
0
= −??? + −??
0
+ ??
Projektovanjem na pomenute ose dobijaju se skalarne
jednačine:
? ? − ??
2
= −?
? ?? + 2? ? = 0
0 = −?? + ?
Kretanje tačke je kretanje u ravni i određeno je sa prve
dve jednačine. Po svom obliku one su ekvivalentne
jednačinama centralnog kretanja. Iz treće jednačine
određuje se nepoznata reakcija stola, ? = ??.
Pored izvedenih jednačina kretanja potrebna je i jedna
dopunska jednačina, nepoznate su veličine :?, ?, ? i ?).
Ona se dobija iz uslova da se idealno uže, kojim je tačka
vezana, uvlači u otvor brzinom konstantnog intenziteta.
Ukupna dužina užeta, koja je konstantna, može da se
definiše kao
? = ?? + ?? = ?????
?? + ? = ?????
gde je ? dužina užeta na stolu i ujedno prva polarna
koordinata.
Ostaje još da se odredi i druga jednačina kretanja, ? ? .
Zamenom ?(?) u jednačinu po ? dobija se
? =
??
? − ??
2
Nakon razdvajanja promenjivih i integracije
?
?
0
=0
?? =
?
0
??
? − ??
2
??
sledi tražena jednačina
? ? =
??
? − ??
Eliminacijom parametra ?, iz jednačina kretanja ?(?) i
? ? , dobija se trajektorija, kretanja tačke
? =
?
1 +
?
? ?
Po glatkoj horizontalnoj ploči kreće se
kuglica mase ?. Za nju je vezano idealno
uže čiji je drugi kraj provučen kroz otvor
u ploči i uvlači se u njega konstantnim
ubrzanjem ?. U početnom trenutku uže
je zategnuto, a kuglica se nalazi na
rastojanju ? od otvora. Početna brzina
upravna je na uže i njen intenzitet je ?
0
.
Odrediti kretanje kuglice i silu u užetu.
Jednačina kretanja materijalne tačke glasi
?? = ? + ?? + ?
1
+ ?
2
gde je ?
1
+ ?
2
= ? ukupna reakcija veze.
Ako se vektori sila i ubrzanja izraze u prirodnom
koordinatnom sistemu, trajektorija kretanja tačke je
kružnica poluprečnika ? , sa centrom u tački O ,
vektorska diferencijalna jednačina kretanja ima oblik
?
??
??
? +
?
2
?
? =
−? ? sin?? − ? ? cos?? − ??? + ?
1
? + ?
2
?
gde je ? ? projekcija centralne sile na osu određenu
vektorom MC
, ? = CM rastojanje tačke od centra
dejstva sile, a ? = ∡OMC pomoćni ugao.
Projektovanjem na ose prirodnog koordinatnog
sistema dobijaju se jednačine
?
??
??
= −? ? sin?
?
?
2
?
= −? ? cos? + ?
2
0 = ?
1
− ??
Kako je
∡OCM = ∡OMC = ?
to iz jednakokrakog ?OCM, (OC = OM = ?), sledi veza
između ? = CM i ?, koja glasi
? = 2?cos? → cos? =
?
2?
Druga jednačina kretanja, sada, može se napisati u
obliku
?
?
2
?
= −? ?
?
2?
+ ?
2
Iz poslednje jednačine kretanja sledi
?
1
= ?? = ?????
Da bi intenzitet ukupne reakcije bio konstantan:
? = ?
1
2
+ ?
2
2
= ??
2
+ ?
2
2
= ?????
mora biti ispunjen uslov
?
2
= ?????
Ovo je uslov na osnovu koga će se odrediti tražena sila.
Pošto komponenta ?
2
mora biti konstantnog
intenziteta ?
2
= ?????, ova veličina će biti eliminisana
ako se diferencira, odnosno, nađe njen izvod.
Izvod, po ?, druge jednačine kretanja glasi
?
??
?
?
2
?
=
?
??
−? ?
?
2?
+
?
??
?
2
2
?
?
??
1
2
??
2
= −
?? ?
??
?
2?
−
? ?
2?
2
??
?
??
= −
?? ?
??
?
2
−
? ?
2
U slučaju centralne sile važi ??
?
= ?? = ? ? ??, odnosno
??
?
??
= ? ?
pa se jednačina svodi na jednačinu
?? ?
??
= −5
? ?
?
Nakon razdvajanja promenjivih i integracije:
?? ?
?
?
?
= −5
??
?
→ ln? ? = −5ln? + ln?
dobija se
? ? =
?
?
5
Dobijena sila, odnosno, njen intenzitet, obrnuto je
proporcionalan petom stepenu rastojanja tačke od centra
dejstva sile. Da li je u pitanju odbojna ili privlačna sila zavisi
od znaka konstante ?.
