Dinamika viskoznog fluida

148

Динамика

вискозног

флуида

Слика

 1. 

Струјни

режими

 (

лево

 – 

ламинаран

; 

десно

 – 

турбулентан

) 

Динамика

вискозних

флуида

описује

кретање

реалних

течности

и

ређе

, 

гасова

при

малим

брзинама

. 

Ојлерова

једначина

за

кретање

идеалног

флуида

проширује

се

члановима

који

обухватају

утицај

унутрашњег

трења

флуидних

слојева

који

се

крећу

различитим

брзинама

. 

Разликују

се

два

струјна

режима

: 

ламинаран

и

турбулентан

  (

слика

  1

). 

Ламинарно

струјање

карактерише

слојевито

кретање

флуидних

делића

без

њиховог

прелажења

из

слоја

у

слој

, 

а

турбулентно

 – 

интензивно

, 

хаотично

и

пулзацијско

мешање

флуидних

делића

различитих

слојева

. 

Оба

струјна

режима

за

одржавање

својих

карактеристичних

профила

брзине

одузимају

од

флуидне

струје

енергију

 (

енергија

притиска

), 

којом

се

савлађује

унутрашње

трење

између

флуидних

слојева

, 

односно

флуида

и

чврстих

граничних

површина

. 

Ламинарно

струјање

може

да

буде

потенцијално

и

вртложно

, 

док

је

турбулентно

увек

вртложно

. 

Потенцијално

струјање

подразумева

постојање

профила

брзине

у

струјном

пољу

без

вртлога

(

елементарних

или

макроскопских

). 

У

вртложном

ламинарном

струјању

најчешће

постоји

правилан

стабилан

низ

елементарних

вртлога

између

два

слоја

флуидних

делића

који

се

крећу

различитим

брзинама

или

макроскопски

вртлози

. 

Постојање

оба

струјна

режима

Рејнолдс

је

доказао

једноставним

огледом

 1883. 

године

  (

слика

  2

). 

У

хоризонталну

стаклену

цев

која

је

једним

крајем

постављена

у

суд

са

водом

, 

уноси

се

танак

млаз

обојене

течности

. 

Оба

тока

могу

да

се

регулишу

одговарајућим

славинама

. 

За

мале

брзине

струјања

нит

обојене

течности

не

меша

се

са

водом

по

целој

дужини

стаклене

цеви

, 

док

се

за

веће

брзине

интензивно

мешање

дешава

већ

на

краћем

растојању

од

улаза

у

стаклену

цев

.   

Слика

 2. 

Рејнолдсов

оглед

Рејнолдс

је

пронашао

да

су

утицајне

величине

од

којих

зависи

врста

струјног

режима

: 

v

, 

d

, 

ρ

, 

η

, 

односно

бездимензијски

критеријум

vd/

ν

, 

који

је

по

њему

добио

име

Рејнолдсов

број

  (

Re

). 

У

уобичајеним

условима

, 

када

се

не

поклања

изузетна

пажња

експерименту

, 

прелазак

из

ламинарног

у

турбулентно

струјање

дешава

се

између

Re

=2000 - 4000. 

Екстремно

добијене

границе

припротицању

кроз

цев

су

: 2000 

за

прелазак

из

турбулентног

у

ламинарно

и

 40.000 

из

ламинарног

у

турбулентно

149

струјање

. 

Вредност

Re

=2300 

често

се

употребљава

као

граница

између

ламинарног

и

турбулентног

струјања

у

цевима

кружног

пресека

.  

Гранични

Re

број

зависи

од

врсте

струјања

; 

нпр

.  

o

за

струјање

око

лопте

Re=vd/

ν

=

0,1 (

d 

је

пречник

лопте

),  

o

за

равну

плочу

Re=vl/

ν

=

500.000 (

l

је

дужина

у

правцу

струјања

). 

При

ламинарном

струјању

губитак

енергије

пропорционалан

је

средњој

брзини

, 

а

за

турбулентно

струјање

пропорционалан

је

v

1,7÷2,0

. 

Носиоци

утрошка

флуидне

енергије

су

елементарни

вртлози

када

је

у

питању

трење

при

струјању

кроз

цевоводе

и

преко

равних

танких

површина

. 

Међутим

, 

при

оптицању

тела

, 

када

долази

до

отцепљења

флуидне

струје

, 

јављају

се

вртлози

, 

многоструко

већи

и

невезани

са

елементарним

вртлозима

, 

на

чије

се

одржавање

троше

енергија

флуидне

струје

или

енергија

тела

које

се

креће

кроз

миран

флуид

. 

Отпор

трења

и

облика

је

део

који

се

односи

на

решавање

овог

питања

. 

Ламинарно

струјање

Ламинарно

струјање

потпуно

је

описано

Навије

-

Стоксовим

 (Navier-Stokes) 

једначинама

и

једначином

континуитета

. 

Векторски

и

скаларни

облик

  (

Декартов

координатни

систем

) 

Навије

-

Стоксових

диференцијалних

једначина

кретања

дат

је

са

:  

d

1

1

grad

grad div

d

3

v

f

p

v

v

t

ν

ν

ρ

= −

+ ∆ +

G

G

G

G

а

у

скаларном

облику

: 

d

1

1

div

d

3

d

1

1

div

d

3

d

1

1

div .

d

3

x

x

x

y

y

y

z

z

z

v

p

f

v

v

t

x

x

v

p

f

v

v

t

y

y

v

p

f

v

v

t

z

z

ν

ν

ρ

ν

ν

ρ

ν

ν

ρ

∂

∂

=

−

+ ∆ +

∂

∂

∂

∂

=

−

+ ∆ +

∂

∂

∂

∂

=

−

+ ∆ +

∂

∂

G

G

G

Ове

једначине

представљају

проширење

Ојлерових

једначина

кретања

за

идеалан

флуид

, 

где

је

утицај

вискозних

сила

  (

по

јединици

флуидне

масе

) 

одређен

са

последња

два

члана

на

десној

страни

једначине

. 

Вискозне

силе

одређује

производ

елементарних

напона

  (

тангенцијалних

и

нормалних

) 

услед

чисте

вискозности

, 

са

површинама

на

које

они

дејствују

  (

слика

  3

). 

Нпр

. 

вискозне

силе

у

правцу

х

осе

једнаке

су

збиру

: 

d d d

d

d d

d d

zx

yx

xx

y x

z x

z y

τ

τ

σ

+

+

где

су

:  

d

d , d

dy, d

d

yx

zx

xx

zx

yx

xx

z

x

z

y

x

τ

τ

σ

τ

τ

σ

∂

∂

∂

=

=

=

∂

∂

∂

. 

Како

су

: 

2

,

,

2

div

3

y

x

x

x

z

zx

yx

xx

v

v

v

v

v

v

z

x

y

x

x

τ

η

τ

η

σ

η

η

∂

⎛

⎞

∂

∂

∂

∂

⎛

⎞

=

+

=

+

=

−

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

⎝

⎠

G

пројекција

вискозних

сила

у

правцу

х

осе

је

: 

151

0

y

x

z

v

v

v

x

y

z

∂

∂

∂

+

+

=

∂

∂

∂

При

ламинарном

струјању

нестишљивог

флуида

Навије

-

Стоксове

једначине

разликују

се

од

Ојлерове

за

члан

v

∆

G

. 

Како

из

rot rot

grad div

v

v

v

=

− ∆

G

G

G

а

при

потенцијалном

струјању

важи

grad , rot

0, div

0

v

v

v

φ

=

=

=

G

G

G

следи

да

је

: 

0

v

∆ =

G

тј

. 

да

велика

група

проблема

из

струјања

, 

како

вискозног

тако

и

идеалног

флуида

има

заједничко

решење

, 

јер

се

описује

истим

једначинама

. 

Међутим

, 

због

различитих

граничних

услова

и

решења

су

сасвим

различита

. 

До

израза

за

распоред

притисака

и

брзине

може

се

доћи

постављањем

услова

динамичке

равнотеже

за

издвојену

елементарну

флуидну

запремину

. 

Ову

анализу

погодно

је

применити

када

инерцијске

силе

могу

да

се

занемаре

. 

Тангенцијални

напон

који

одређује

силу

трења

налази

се

посредством

Њутновог

закона

. 

Ламинарно

струјање

 – 

Хаген

-

Поазејево

струјање

кроз

кружну

цев

Посматра

се

део

хоризонталне

цеви

. 

Нека

је

струјање

развијено

  (

нема

промене

профила

брзине

у

правцу

струјања

  - 

х

осе

). 

Тиме

се

утврђује

да

је

разматрани

део

цеви

довољно

далеко

од

њеног

улаза

. 

При

слојевитом

струјању

флуида

кроз

цев

, 

притисак

је

константан

по

целом

струјном

пресеку

. 

За

одређивање

профила

брзине

примениће

се

једначина

о

промени

количине

кретања

на

коаксијални

цилиндар

, 

која

дефинише

равнотежу

између

сила

притиска

и

силе

трења

. 

Због

развијеног

струјања

нема

промене

количине

кретања

, 

те

не

постоји

резултантна

сила

количине

кретања

. 

ЈПКК

примењена

на

цилиндар

на

слици

 4

гласи

: 

2

2

1

2

2

0

p r

p r

rl

π

π

τ π

−

−

=

Слика

 4. 

Примена

ЈПКК

на

контролну

запремину

при

Хаген

-

Поазејевом

струјању

где

је

тангенцијални

напон

дефинисан

је

преко

градијента

брзине

на

следећи

начин

: 

d

d

,

0

d

d

d

d

,

0

d

d

v

v

r

r

v

v

r

r

η

τ

η

⎧−

<

⎪⎪

= ⎨

⎪

>

⎪⎩

Из

ЈПКК

следи

(

)

1

2

d

2

2

d

r

p

v

p

p

r

l

l

r

τ

η

∆

=

−

=

= −

и

види

се

да

је

тангенцијални

напон

линеарна

функција

од

r

. 

За

неку

другу

промену

брзине

, 

добија

се

иста

међусобна

зависност

, 

тј

.  

d

1

d

2

v

p

r

r

l

η

∆

= −

152

Интеграцијом

, 

са

условом

приањања

 (

нулта

брзина

на

зидовима

), 

добија

се

: 

2

2

2

2

2

( )

1

1

4

max

p R

r

r

v r

v

l

R

R

η

⎛

⎞

⎛

⎞

∆

= −

−

=

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

Добијена

је

параболична

расподела

брзине

са

максималном

брзином

у

оси

цеви

 (

слика

 5

): 

2

4

max

p R

v

l

η

∆

=

. 

Слика

 5. 

Профил

брзине

и

тангенцијалног

напона

при

ламинарном

струјању

кроз

цеви

Интеграцијом

профила

брзине

по

струјном

пресеку

добија

се

проток

који

је

једнак

производу

средње

брзине

и

површине

струјног

пресека

: 

2

2

2

0

d

1

2 d

2

2

R

max

max

sr

max

r

v

v

r

Q v A

v A

v

r r

R

A

R

π

π

=

⎛

⎞

=

=

=

−

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

∫

. 

Одавде

се

лако

закључује

да

важи

2

max

sr

v

v

=

. 

Сада

за

запремински

проток

следи

једнакост

: 

4

2

8

max

sr

v

pR

Q v A

A

l

π

η

∆

=

=

=

која

даје

следеће

пропорционалности

: 

Q

∼∆

p

, 

Q

∼

R

4

. 

Ови

закључци

позанти

су

као

Хаген

-

Поазејев

закон

. 

Он

показује

карактеристичну

зависност

запреминског

протока

. 

Нарочито

је

важно

да

се

проток

мења

као

четврти

степен

полупречника

цеви

. 

Ово

указује

да

умањење

полупречника

води

драстичном

смањењу

протока

 (

примена

у

медицини

). 

Поставља

се

питање

колики

је

пад

притиска

 (

губитак

притиска

) 

у

цеви

кружног

попречног

пресека

(

кружној

цеви

) 

при

задатом

запреминском

протоку

. 

У

паду

притиска

испољава

се

, 

у

правцу

струјања

, 

утицај

трења

. 

При

томе

профил

брзине

остаје

непромењен

. 

Из

2

4

max

p R

v

l

η

∆

=

следи

2

2

4

8

max

sr

lv

vlv

p

R

R

η

ρ

∆ =

=

Имајући

на

уму

следеће

: 

64

lam

Re

λ

=

и