EKONOMSKE FUNKCIJE
Primer:1
Odrediti cenu pri kojoj se postiže ravnoteža tražnje i ponude ako
je funkcija tražnje:
x
p
=
−
(
)
2
2
a funkcija ponude:
y
p
=
−
2
1 .
Rešenje:
Oblast definisanosti funkcije tražnje odreñuje se iz uslova:
p
x
x
p
p
p
p
p
p
p
>
>
′ <
⇒
>
−
>
⋅
−
<
⇒
>
∀
<
⇒
∈
0
0
0
0
2
0
2
2
0
0
2
0 2
2
(
)
(
)
( , )
Oblast definisanosti funkcije ponude odreñuje se iz uslova:
p
y
y
p
p
p
p
p
p
>
>
′ >
⇒
>
− >
>
⇒
>
>
∀
⇒
∈
+∞
0
0
0
0
2
1 0
2
0
0
1
2
1
2
,
Izjednačavanjem funkcije tražnje i funkcije ponude dobijamo:
x
y
p
p
p
p
p
p
p
= ⇒
−
=
− ⇒
−
+ =
− ⇒
−
+ =
(
)
2
2
1
4
4
2
1
6
5
0
2
2
2
Odavde rešavajući kvadratnu jednačinu dobijamo
p
1
1
=
i
p
2
5
=
.
Kako
p
2
5
=
ne pripada intervalu definisanosti funkcije tražnje, a
p
1
1
=
pripada intervalima definisanosti i funkcije tražnje i funkcije
ponude to za
p
=
1 se postiže ravnoteža ponude i tražnje.
Primer:2
Funkcija tražnje je
x
p
= −
+
3
48 . Odrediti količinu i cenu pri
kojima se postiže maksimalan ukupan prihod i koliko on iznosi.
Rešenje:
Iz funkcije tražnje odredimo najpre cenu:
x
p
p
x
= −
+
⇒
= − +
3
48
3
16
a kako je funkcija ukupnog prihoda
P
xp
=
to je:
P
x
x
x
x
= ⋅ − +
= −
+
3
16
3
16
2
Sada potražimo ekstremnu vrednost funkcije ukupnog prihoda:
′ = −
+
=
⇒
=
P
x
x
2
3
16
0
24
′′ = − <
⇒
P
2
3
0
Funkcija
P
ima maksimum.
P
P
max
(
)
=
= −
+
⋅
=
24
2
24
3
16 24
192
Cena pri kojoj se ostvaruje maksimalan prihod dobija se ako odredimo
cenu koja odgovara proizvodnji pri kojoj se postiže maksimalan prihod a
to je
x
=
24 , pa zamenom ove vrednosti u funkciju cene dobijamo:
p
(
)
24
24
3
16
8
= −
+
=
Primer:3
Funkcija ukupnih troškova je
C
x
=
+
3
25
2
a funkcija prosečnog
prihoda je
p
x
= −
+
2
30 .
a) Odrediti proizvodnju i cenu pri kojima se postiže maksimalna
dobit i koliko iznosi maksimalna dobit.
b) Odrediti proizvodnju pri kojoj je ukupan prihod jednak
ukupnim troškovima (gornju i donju granicu rentabilnosti).
Rešenje:
a) Izračunajmo prvo funkciju ukupnog prihoda. Kako je
P
px
x
x
x
x
=
= −
+
⋅ = −
+
(
)
2
30
2
30
2
a
D
P
C
=
−
to je:
D
x
x
x
x
x
= −
+
−
+
= −
+
−
2
30
3
25
5
30
25
2
2
2
(
)
Odredimo sada ekstremnu vrednost funkcije dobiti
D
.
′ = −
+
=
⇒
=
D
x
x
10
30
0
3
Kako je
′′ = −
<
D
10
0
znači da funkcija dobiti ima maksimum za
x
=
3 pa je:
20
25
3
30
3
5
2
)
3
(
max
=
−
⋅
+
⋅
−
=
=
D
D
