1
1)
Објаснете го Кулоновиот закон.
Основен закон преку кој е развиена теоријата на електростатичкото поле е
Кулоновиот (Coulomb) закон. Тој се дефинира за сила помеѓу пунктуални (или точкасти)
електрични полнежи. Пунктуални (или точкасти) електрични полнежи се тела со
бесконечно мали димензии, значи, кои наликуваат на точка.
Интензитетот на силата со која дејствуваат еден на друг два точкасти полнежи е
пропорционален на производот на количествата електрицитет на електричните полнежи,
а е обратно пропорционален на квадратот на нивното меѓусебно растојание.
Математички тоа може да се прикаже со следнава р-ка:
2
2
1
r
q
q
k
F
.
Во SI системот на единици
k
е усвоено да се пишува на следниот начин:
0
4
1
k
,
каде што
0
претставува диелектрична константа или диелектрична
пропустливост на средината и нејзината теориска вредност изнесува:
m
F
k
36
10
9
.
2)
Објаснете го Гаусовиот закон во интегрална и локална форма.
а) Вкупниот излезен флукс на векторот на јачина на електрично поле низ произволна
затворена површина во вакуум е еднаков на вкупниот електричен полнеж опфатен во
затворената површина поделен со пермитивноста на вакуумот.
Математички тоа може да се прикаже со следнава равенка:
0
q
S
d
E
, каде што со
q
е обележан алгебарскиот збир на количините
електирцитет на полнежите опфатени со затворената површина
S
.
б) Гаусовата теорема во интегрална форма дава само одредена збирна карактеристика
на векторот на јачината на електричното поле, односно со неа не се дефинирани
својствата во одделни точки од просторот. Поради тоа, таа форма може да се употреби
за квантитативна анализа на поле само во системи кои имаат висок степен на симетрија.
Со цел да се опишат својствата на векторот на јачината на електричното поле во секоја
точка од просторот, нека биде избран мал домен
V
кој е ограничен со затворената
површина
S
. Применувајќи ја Гаусовата теорема формулирана во изразот
S
d
E
d
E
се добива:
S
S
dV
S
d
E
0
1
(2.1)
Избирајќи го доменот ΔV да биде доволно мал за да може да се смета дека во него ф-
јата ρ е константна, од (2.1) се добива:
3
Операцијата
divgrad
се означува со симболот
, кој се вика Лапласов оператор или
лапласијан. Со воведување на оваа ознака, релацијата (2.10) може да се напише во
форма:
0
,
(2.11)
која се вика
Поасонова (Poisson)
диференцијална равенка.
Не е тешко да се провери дека во Декартовиот координатен систем лапласијанот има
форма:
2
2
2
2
2
2
z
y
x
,
(2.12)
од каде за Поасоновата равенка се добива:
0
2
2
2
2
2
2
z
y
x
.
(2.13)
Во домените каде нема распределени полнежи, Поасоновата р-ка преоѓа во хомогена
диференцијална равенка:
0
,
(2.14)
која се вика
Лапласова (Laplace)
диференцијална равенка. Очигледно е дека во
Декартовиот координатен систем таа има форма:
0
2
2
2
2
2
2
z
y
x
(2.15)
4)
Вектор на електрична индукција и Вооштена Гаусова теорема
Основните својства на векторот на јачината на електричното поле во вакуум се
резимирани во Гаусовата теорема и во теоремата за безвртложноста на електричното
поле. Како последица на овие својства произлегува дека векторот на јачината на
електричното поле може да се изрази преку електричниот скалар – потенцијал, кој од
своја страна ја задоволува Поасоновата диференцијална р-ка
0
(2.16)
чие општо решение е
dS
r
dV
r
S
V
0
0
4
1
4
1
.
(2.17)
4
Земајќи предвид дека влијанието на диелектрик може да се искаже преку врзаните
полнежи со изразот:
dS
r
dV
r
S
v
V
v
0
0
4
1
4
1
,
(2.18)
за функцијата на потенцијалот во диелектрици се добива:
dS
r
dV
r
S
v
V
v
0
0
4
1
4
1
(2.19)
каде што ρ и η се густините на слободните полнежи, додека ρ
v
и η
v
се густините на
врзаните полнежи во системот. Бидејќи изразите (2.17) и (2.19) меѓу себе се исти по
форма, може да се заклучи дека функцијата на потенцијалот во диелектрици ја
задоволува равенката
0
0
0
v
v
v
divgrad
divgrad
.
(2.20)
Поврзувајќи ја равенката (2.20) со дефиницијата на потенцијалот, се добива дека во
диелектрици Гаусовата теорема во локална форма гласи
0
v
E
div
(2.21)
Земајќи предвид дека густината на врзаните полнежи е дадена со изразот
P
div
v
,
(2.22)
од (2.21) се добива
P
E
div
0
.
(2.23)
Дефинирајќи ја величината
P
E
D
0
(2.24)
која се вика
вектор на електрична индукција или вектор на електрично
поместување
, од (2.23) се добива равенката:
D
div
,
(2.25)
со која е искажана воопштената Гаусова теорема во локална форма.
Таа е една од фундаменталните релации во електромагнетното поле, а е позната и како
Максвелов постулат.
Од локалната форма на воопштената Гаусова теорема не е тешко да се добие нејзината
интегрална форма, која е искажана со релацијата
