Euklid (330-275. g. pre n. e.) u svom čuvenom delu ,,Elementi“. Ovo delo daje prvu strogo
logičku konstrukciju geometrije koja je do nas došla. U njemu je izlaganje u tolikoj meri
besprekorno za svoje vreme, da su u toku dve hiljade godina od svoje pojave ,,Elementi“
bili jedini udžbenik za one koji su učili geometriju.

“Već više od dve hiljade godina Elementi služe kao matematička biblija, to je

zadužbina aksiomatskog metoda i izvor deduktivnog znanja. Euklidovo delo odlikuje se
lepotom ravnom onoj iz Biblije. Svojom knjigom Elementi, Euklid je otvorio prozor kroz
koji se otvorila priroda našeg sveta. Sve vreme borbe protiv petog Euklidovog postulata
(sve do XIX veka), u isto vreme se verovalo u njegovu istinitost“.

Elementi“ obuhvataju trinaest knjiga, od kojih su samo geometriji posvećene knjige

I-IV i VI, u kojima se izlaže planimetrija, i XI-XII, gde je izložena stereometrija. Ostale
knjige „Elemenata“ posvećene su aritmetici u geometrijskom izlaganju. Svaka
knjiga ,,Elemenata“ počinje definicijama pojmova koji se prvi put sretaju. Tako su, na
primer, u I knjizi navedene 23 definicije. Među njima su i:

- definicija 1. tačka je ono što nema delova;
- definicija 2. linija je dužina bez širine;
- definicija 3. prava je takva linija koja zauzima isti položaj u odnosu na sve svoje

tačke.

U prvoj knjizi „Elemenata“ za definicijama dolaze postulati i aksiome. Na primer:
- postulat I. zahteva se da se od svake tačke do svake druge tačke može povući

prava;

- postulat V. zahteva se da se, svaki put kad prava sekući se s dvema drugim pravima

obrazuje sa ovima s jedne iste strane unutrašnje uglove čiji je zbir manji od dva prava ugla,
ove dve prave seku na onoj strani gde je taj zbir manji od dva prava ugla.

Aksioma I. Jednake svaka pojedinačno trećoj jed- nake su među sobom.
Aksioma II. Ako jednakim dodamo jednake, dobi- ćemo jednake.
I postulati i aksiome su tvrđenja koja se uzimaju bez dokaza. Po kome su se načelu

jedna tvrđenja ubrajala među postulate a druga među aksiome nije poznato.

Odmah za aksiomama izlažu se teoreme i konstruktivni zadaci pod zajedničkim

nazivom ,,stavovi“, raspoređeni u strogom nizu tako da se dokaz (rešenje) svakog sledećeg
stava oslanja na prethodne stavove. Evo jednoga od tih stavova:

- ako su u dva trougla dve stranice jednoga jednake dvema stranicama drugoga i

uglovi zahvaćeni jednakim stranicama jednaki, tada je i osnovica jednoga trougla jednaka
osnovici drugoga i jedan trougao jednak je drugome, a i ostali uglovi jednog trougla
jednaki su ostalim uglovima drugoga, i to su jednaki oni uglovi koji leže naspram jednakih
stranica.

Iako su Euklidovi „Elementi“ u toku mnogih vekova bili uzor besprekornosti, oni ni

iz daleka ne dostižu nivo današnje strogosti izlaganja. Definicije geometrijskih oblika date

Grupa autora,

Osnovi geometrije

, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1980., str. 3.

u I knjizi pre su opisi ovih oblika, pa i kao takvi su daleko od savršenstva. Tako, na primer,
definicija prave linije (definicija 3) ne razlikuje ovu od kruga, a u definiciji proizvoljne
linije (definicija 2) pominju se dužina i širina, koje i same zahtevaju da najpre budu
definisane.

Euklidove definicije obuhvataju pojmove kao što su tačka, duž (koja, po njegovoj

definiciji, može biti kriva), prava, krug, prav ugao, površina i ravan. Neke od ovih pojmova
veoma je precizno definisao. Za uporedne prave napisao je da su „prave linije koje se,
budući da su na istoj ravni i da se pružaju u beskraj u oba smera, nigde ne sustiču“.

Za krug je napisao da je „geometrijski lik omeđen jednom linijom (krivom) na taj

način da su sve duži koje do nje stižu iz jedne posebne tačke unutar kruga, nazvane
središte, jednake dužine“. A evo i Euklidove definicije pravog ugla: „Kada se jedna duž
spusti na pravu i s njome obrazuje dva jednaka ugla, svaki od tih jednakih uglova jeste
prav ugao.“

Neke Euklidove druge definicije - definicija tačke, recimo, ili prave - neodređene su i

gotovo beskorisne: prava je ,,ono što se pravo pruža s tačkama na sebi“. Ovakva definicija
mogla je da potekne od građevinara koji proverava da li je neka linija prava tako što
zažmuri na jedno oko dok posmatranje obavlja samo drugim. Da biste je shvatili, morate
unapred da imate sliku prave. Tačka je ,,ono što nema delova“ - još jedna besmislena
definicija.

Euklidove očiglednosti znatno su elegantnije. Posredi su negeometrijske logičke

tvrdnje za koje je, kako izgleda, smatrao da ih nije potrebno dokazivati; one se razlikuju od
postulata samo po tome što ovi važe isključivo u geometriji. Ovakvo razlikovanje
prethodno je pravio i Aristotel. Navodeći ove intuitivne pretpostavke, Euklid je, u osnovi,
povećao broj postulata, ali je našao za shodno da ih razlikuje od čisto geometrijskih tvrdnji.
Najbolje svedočanstvo dubine njegove misli bili su upravo ovakvi iskazi:

- dve stvari koje su obe jednake nekoj trećoj stvari takođe su međusobno jednake;
- ako se zbroje iste stvari, i zbirovi su im jednaki;
- ako se oduzmu iste stvari, i razlike su im jednake;
- stvari koje se poklapaju jedna s drugom međusobno su jednake;
- celina je veća od dela.
Ostavimo li po strani ove preliminarne pripreme, Euklidova geometrija počiva na pet

postulata. Prva četiri jesu jednostavna i mogu se elegantno iskazati. Govoreći modernim
jezikom, oni glase:

- ako se imaju dve tačke, među njima se može povući duž čiji bi krajevi one bile;
- svaka duž može se beskonačno produžiti u oba smera;
- oko bilo koje tačke kao središta može se napraviti krug bilo kog prečnika;
- svi pravi uglovi su jednaki.
Postulati 1 i 2 u okvirima su našeg iskustva. Znamo kako da povučemo duž između

dve tačke i ne nailazimo ni na kakvu prepreku kojom se prostor okončava i koja bi nas
sprečila da nastavimo da produžujemo datu duž. Treći postulat nešto je istančaniji. Jednim
njegovim delom podrazumeva se da se razdaljina u prostoru definiše na takav način da se
dužina neke duži ne menja dok je premeštamo s jednog mesta na drugo, opisujući krug.
Četvrti postulat izgleda jednostavan i očigledan.

Euklidov peti postulat, nazvan postulat o paralelama, nije očigledan i intuitivan kao

ostali. ,,Euklid je sam došao do njega, odnosno postulat nije bio deo korpusa znanja koji je
on sistematizovao. Izlažemo ga ovde u obliku bliskom Euklidovom izvorniku: