Dragan Vugdelija
Otilija Sedlak
FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA
- osnovni koncept za nastavu
Subotica
2008.
4
1. PROCENTNI I PROMILNI RAČUN
Srazmerni račun pomoću koga direktan odnos dve veličine (tekuće i bazne, dela i celine) izražavamo
tako što jednu od veličina (baznu, odnosno celinu) uzimamo kao
100
odnosno
1.000
jedinica
nazivamo procentni odnosno promilni račun.
Pođimo do sledećih dogovora:
1% = 1/100 = 0,01;
6% = 6
⋅
1/100 = 6/100 = 0,06;
1
o
/
oo
= 1/1.000 = 0,001;
6
o
/
oo
= 6
⋅
1/1.000 = 6/1.000 = 0,006.
Prema ovim dogovorima odnos broja
180
i
9.000
možemo prikazati ovako:
180 : 9.000 =
=
=
=
=
20
1
:
002
,
0
000
.
1
:
20
1
:
02
,
0
100
:
2
2%:100%
20‰:1.000‰
Uopštimo ovaj primer i napišimo sledeću proporciju:
P : G = p : 1
∼
G : P = 1 : p
∼
P = pG
(1)
G je oznaka za baznu veli
č
inu, celinu ili tzv.
č
istu glavnicu;
P je oznaka za teku
ć
u veli
č
inu, deo ili tzv. procentni (promilni) prinos;
p je oznaka za tzv. procentnu (promilnu) stopu, i predstavlja teku
ć
u veli
č
inu na 1 jedinicu bazne veli
č
ine
(glavnice), p se po želji i potrebi može prikazati u obliku s/100 ili s/1.000, pa tada s predstavlja prinos (teku
ć
u
veli
č
inu) na 100 odnosno 1000 jedinica glavnice (bazne veli
č
ine).
Iz ove činjenice i dolazi naziv "procentni" odnosno "promilni" račun.
Proporcija (1) služi za tzv. procentni (promilni), račun od sto, (hiljadu) jer pretpostavlja rad sa tzv.
čistom glavnicom. Međutim, u praksi se javljaju i slučajevi kada je data ili se pretpostavlja glavnica
zajedno sa prinosom ili glavnica po odbitku prinosa. Za takve slučajeve jednostavno formiramo
izvedene proporcije (polazeći od (1)) poznate pod nazivom proporcije za procentni (promilni) račun
više i niže sto (hiljadu).
(G
±
P) : (1
±
p) =
p
:
P
1
:
G
(2)
Iz (2) se po potrebi mogu dobiti:
P =
p
1
)
P
G
(
p
±
±
(3)
G =
p
1
P
G
±
±
(4)
5
2. INTERESNI (KAMATNI) RAČUN
2.1. Pojam interesa i kapitalisanja
Interesni ili kamatni račun
je srazmerni račun zasnovan na procentnom računu, a od njega se
razlikuje po tome što uključuje i vreme kao faktor. Interesni račun se koristi u poslovima regulisanja
kreditnih odnosa koji nastaju između dužnika i poverioca.
Interes ili kamata
je naknada koju dužnik plaća poveriocu za korišćenje pozajmljenog novca na
određeno vreme. Interes se može obračunavati dekurzivno i anticipativno.
Dekurzivno obračunavanje interesa
se obavlja krajem perioda, za protekli period (unazad), na
raniju (diskontovanu) vrednost, kao čistu glavnicu, pa je stoga kasnija (ukamaćena) vrednost uvećana
glavnica.
Odnos ranije i kasnije vrednosti pri dekurzivnom obračunavanju interesa možemo, u svrhu boljeg
razumevanja, šematski prikazati na tzv. vremenskoj liniji kojom predstavljamo samo jedan
obračunski period (Slika 1).
Slika 1
Proces kama
ć
enja
Ra
č
un "od sto"
Ra
č
un "više sto"
Proces diskontovanja
G
je oznaka za
č
istu glavnicu;
I
je oznaka za interes ili kamatu;
G + I
je oznaka za uve
ć
anu glavnicu (glavnicu uve
ć
anu za interes).
Anticipativno obračunavanje interesa
se obavlja početkom perioda, za period unapred, na kasniju
vrednost kao čistu glavnicu, pa je stoga ranija vrednost umanjena glavnica (Slika 2).
Slika 2
7
I
1
= I
2
= ... =
g
I
.
Prema uvedenim oznakama i proporciji
G : P = 1 : p
, za dekurzivno obračunavanje interesa biće:
G = K,
P =
g
I
,
pa će dalje biti:
K :
g
I
= 1 : p
⇒
g
I
= Kp
, tj.
I = Kpg
(5)
Kg = K + I = K + Kpg
Kg = K (1 + pg)
(6)
Može i ovako:
I
1
= Kp, I
2
= Kp, ..., Ig = Kp
I =
∑
=
g
1
j
j
I =g
⋅
Kp = Kpg
Primer 1.
Obra
č
unati 20% interesa na iznos od 18000 din. za vreme od: a) 7 godina; b) 5 meseci; c) 73 dana; d) 7
godina i 73 dana.
Rešenje:
c)
g =
365
73
I = 18000
⋅
0,1
⋅
365
73
= 360 din.
Kamata za 1 dan je 365-ti ili 366-ti deo godišnje kamate.
Kg = K + I = 18360 din.
Kamata u jednoj godini iznosi:
g
I
=
365
73
360
= 1800 din.
d)
g = 7
365
73
I = 18000
⋅
0,1
⋅
(7 +
365
73
) = 12960 din.
Kg = K + I = 30960 din.
g
I
=
365
73
7
12960
+
= 1800 din.
Ako je obračunavanje kamate anticipativno, jednostavnije je koristiti izvedenu proporciju za
G : P = 1 : p
, tj. proporciju:
(G - P) : (1 - p) = P : p
pri čemu je, s obzirom na definiciju anticipativnog
obračunavanja interesa i uvedenih oznaka:
