SADRŽAJ:
1. Uvod.......................................................................................................1
2. Srednje vrednosti...................................................................................2
2.1. Aritmetička sredina ........................................................................3
2.2. Geometrijska sredina......................................................................6
2.3. Harmonijska sredina.....................................................................10
2.4. Modus...........................................................................................12
2.5. Medijana.......................................................................................14
3. Zaključak.............................................................................................17
1.UVOD
Obrada rezultata pedagoškog eksperimenta počinje statističkom analizom, u kojoj se
istražuje statistička masa (osnovni skup ili populacija) u stanju mirovanja, odnosno struktura
statičke mase u datom momentu, ili određenom vremenskom periodu, u kome je ona posmatrana,
s tim što se vreme kao faktor uticanja ne uzima u obzir.
Srednji statistički podaci koji su tabelarno ili grafički prikazani služe za statističku
analizu, s ciljem istraživanja pravilnosti i zakonitosti posmatranih masovnih pojava. Statistička
analiza i ima taj zadatak da primenom različitih metoda i postupaka raščlani i uporedi podatke,
otkrije i formuliše zakonitosti koje vladaju u posmatranoj masovnoj pojavi
Koristeći relativne brojeve i raspodelu frekvencija može se steći izvestan globalni utisak
o posmatranoj pojavi i posmatranom statističkom skupu. Ipak za dalju i svrsishodniju analizu
potebne su nam preciznije metode kojima ćemo masu statističkih podataka obraditi tako da
postane upotrebljiva u procesu donošenja odluka.
Analizu statističkih podataka možemo vršiti tako što ćemo definisati izvesne pokazatelje
ili parametre čije ce nam vrednosti izražavati određene sumarne karakteristike datih podataka.
Vrednost sumarnih parametara omogućiće donošenje zaključaka o određenoj pojavi ili procesu
koji su izraženi posmatranim podacima.
Prva grupa takvih parametara su tzv. srednje vrednosti ili proseci. Veoma često se koriste
i u svakodnevnom životu (npr. prosečan lični dohodak ili prosečna produktivnost itd.). Ovi
parametri pokazuju neku centralnu vrednost posmatranog obeležja X na elementima statističkog
skupa.
Srednje vrednosti ili mere centralne tendencije prezentuju sredinu statističke serije.
Najčešće se oko te srednje vrednosti grupiše najveći broj jedinica. Srednje vrednosti se nalaze
između najmanje i najveće vrednosti obeležja.
Sednja vrednost je reprezentativna vrednost, koja po datim merilima, zamenjuje sve
vrednosti obeležja u datoj seriji. U statističkoj literaturi dobila je naziv reprezentativna vrednost
zato što predstavlja i zameljuje sve vrednosti serije, jer iz njih proističe i nosi njihove zajedničke
karakteristike.
Kao reprezentativni pokazatelj serije srednja vrednost karakteriše statistički skup. Ako se
posmatra jedan statistički skup po jednom numeričkom obeležju i pođe se od individualnih
vrednosti tog obeležja, teško će se uočiti bitna i zajednička karakteristika čak i kad su
pojedinačni podaci, grupisanjem u serije, svedeni na manji broj. Zato se nastoji da se ta serija
zameni jednim brojem koji omogućava da se uoči karakteristika posmatranog skupa.
Srednje vrednosti: aritmetička, harmonijska i geometrijska sredina, zatim modus i
medijana.
U zavisnosti od načina definisanja, srednje vrednosti se dele na izračunate i pozicione.
2.1.ARITMETIČKA SREDINA
Ovo je najpoznatija srednja vrednost. U svakodnevnom životu najviše se koristi
aritmetička sredina kao srednja vrednost. Zato se pod pojmom prosek misli na aritmetičku
sredinu. Aritmetička sredina niza brojeva je broj koji se dobije kada se njihov zbir podeli sa
ukupnim brojem članova tog niza.
Aritmetička srednja vrednost ili prosečna srednja vrednost ili samo srednja vrednost ima
najširu primenu u statistici. Ponaša se kao ”ravnotežna tačka” u skupu, a nedostatak joj je što na
njenu vrednost utiču ekstremne vrednosti (”outliers”). Srednja vrednost se izražava u istim
jedinicama kao i osnovni podaci.
Najčešće upotrebljivana mera centralne tendencije jeste aritmetička sredina. Ona je
ujedno i najlakša za razumevanje obzirom da se neretko koristi u svakodnevnom životu (najčeće
koristimo reč ‘prosek’ da izrazimo upravo aritmetičku sredinu). Aritmetička sredina predstavlja
prosečnu vrednost nekog kontinuiranog niza brojeva.
U statističkoj analizi aritmetička sredina najčešće se izračunava za vrednosti numeričkog
obeležja, pa je polazna veličina za izračunavanje aritmetičke sredine je zbir vrednosti
numeričkog obeležja elemenata osnovnog skupa.
Neophodan uslov za pravilnu primenu aritmetičke sredine jeste da podaci u seriji pokazuju
dovoljan stepen homogenosti a kriterijum za određivanje te homogenosti zavisi od prirode i vrste
pojave koja je prikazana u seriji kao i da znamo suštinu i smisao rezultata kojeg želimo da
dobijemo. Aritmetička sredina ima dva osnovna načina izračunavanja.
Prema tome da li su podaci grupisani ili ne, razlikuju se:
prosta aritmetička sredina ,
ponderisana (složena, vagana) aritmetička sredina.
Prvi način odnosi se na izračunavanje iz prostih serija, tj. iz onih serija u kojima se svaki
podatak javlja samo po jedanput. Ako se aritmetička sredina određuje za jedan običan statistički
niz, onda se ona naziva prosta ili jednostavna aritmetička srednja vrednost. Jednostavna
aritmetička srednja vrednost izračunava se tako što se zbir svih podataka podeli njihovim
brojem.
Drugi način izračunava aritmetičke sredine primenjuje se kod sređenih serija (serije
distribucije frekvencija), tj. kod onih serija u kojima se pojedini podaci (modaliteti) javljaju u
nejednakim frekvencijama, i tu se uzima i obzir veličina frekvencije svakog modaliteta. Svaki
modalitet se ponderiše, vaga, svojom frekvencijom pa se ova aritmetička sredina naziva
ponderisana (vagana) aritmetička sredina.
Ponderisana aritmetička srednja vrednost izračunava se tako što se zbir svih proizvoda
numeričkih podataka i odgovarajućih frekvencija podeli ukupnim zbirom frekvencija,odnosno
ukupnim brojem podataka.
Aritmetička sredina može se računati i za više skupova i to je aritmetička sredina
aritmetičkih sredina.
Najširu upotrebu u statističkoj analizi, a i šire, ima aritmetička sredina. Izračunava se tako
što se zbir svih vrednosti obeležja podeli njihovim brojem. Ako posmatrano obeležje označimo
sa X, njegove vrednosti sa
x
1
,
x
2
,....
x
i
,....
x
n
, imaćemo:
µ
=
x
1
+
x
2
+...+
x
n
= 1
∑
x
i
ili prostije
µ
=
∑
x
N N
i
=1
N
Ako, primera radi, pet slučajno anketiranih turista dnevno troše: 320, 330, 360, 380 i 410
dinara, prosečna dnevna potrošnja, odnosno aritmetička sredina iznosiće:
µ
=
∑
x
= 320 + 330 + 360 + 380 + 410 = 1800 = 360
N 5 5
U ovom prostom primeru uočljivo je da se svaka vrednost javlja jedanput (sa
frekvencijom 1). Za sve ovakve negrupisane serije prosek se, kao što vidimo, utvrđuje
jednostavno, reč je o tzv.prostoj aritmetičkoj sredini.
Znatno češće imamo posla sa grupisanim podacima u vidu rasporeda frekvencija, tj.sa
skupovima unutar kojih se svaka vrednost obeležja može javiti više puta. Ako, u opštem slučaju,
vrednosti obeležja označimo sa
x
1
,
x
2
,....
x
i
,....
x
n
, a odgovarajuće frekvencije sa
f
1
, f
2
, ...
f
i
, ... f
n
, aritmetička sredina će biti:
µ
=
f
1
x
1
+
f
2
x
2
+
...
+
f
n
x
n
, tj.
N
n
µ
= 1
∑
f
i
x
i
ili prostije
N
i
=1
µ
=
∑
f x
, gde je
N
n
N =
f
1
+
f
2
+ ... +
f
n
=
∑
f
i
=
∑
f.
i
=1
Ovako utvrđena prosečna vrednost poznata je kao
ponderisana aritmetička sredina
jer se
sve vrednosti uzimaju u zbir onoliko puta koliko se one i javljaju unutar rasporeda. Ponderacioni
faktor je, dakle, frekvencija (
f
).
Posmatrajmo, na primer, dnevnu potrošnju jednog skupa slučajno anketiranih domaćih
turista. Rezultat ankete u vidu rasporeda frekvencija dat je u tabeli 1.
Tabela 1
.
Struktura skupa stranih turista prema iznosu dnevne potrošnje
