Za hitac navi{e (vertikalan hitac) (usporenog kretanje) je:
gt
v
v
−
=
0
;
2
2
0
gt
t
v
h
−
=
;
ah
v
v
2
2
0
2
−
=
.
Kinematika rotacionog kretanja
Ako se materijalna ta~ka (telo) kre}e po krugu, to u svakoj ta~ki kru`ne putanje linearna brzina
v
je
u pravcu tangente, a ubrzanje
a
c
u pravcu radijusa R i naziva se radijalno ili
centripetalno ubrzanje.
U tom slu~aju je
T
R
t
l
v
π
2
=
=
;
R
v
a
c
2
=
,
gde je
l
- obim kruga, R - polupre~nik kruga a T - period rotacije.
Jedna~ine koje opisuju rotaciono kretanje tela mogu se izvesti iz jedna~ine translacionog kretanja
stavljanjem umesto puta s - ugao obrtanja
ϕ
(rad), brzine v - ugaona brzina
ω
(rad/s) i ubrzanja a -
ugaono ubrzanje
α
(rad/s
2
).
U tom slu~aju za ravnomernu rotaciju (
ω
= const) bi}e:
t
ω
ϕ
=
;
t
ϕ
ω
=
,
a za ravnomerno promenljivu rotaciju (ubrzanu
α
> 0 i usporenu
α
< 0) je:
t
α
ω
ω
±
=
0
;
2
2
0
t
t
α
ω
ϕ
±
=
;
αϕ
ω
ω
2
2
0
2
±
=
;
gde znak (+) odgovara ubrzanoj, a znak (-) usporenoj rotaciji. Kod ubrzane rotacje bez po~etne
brzine je
ω
0
= 0.
Ugaona brzina
ω
, period rotacije T i frekvencija
ν
povezane su izrazom
πν
π
ω
2
2
=
=
T
.
Ugaone veli~ine
ϕ
,
ω
i
α
povezane su sa odgovaruju}im linijskim veli~inama s, v i a slede}im
odnosima:
R
s
R
s
=
⇒
=
ϕ
ϕ
,
,
R
v
R
v
=
⇒
=
ω
ω
,
R
a
R
a
t
=
⇒
=
α
α
,
R
T
R
R
R
v
a
c
2
2
2
2
2
2
4
4
ν
π
π
ω
=
=
=
=
,
(a
t
je projekcija vektora linearnog ubrzanja na pravac tangente u datoj ta~ki, a a
c
- projekcija tog
ubrzanja na pravac radijusa.
Ukupno ubrzanje je
4
2
2
4
2
2
2
2
ω
α
ω
α
+
=
+
=
+
=
R
R
R
a
a
a
c
t
.
RE[ENI ZADACI
1. Iz dve ta~ke A i B, postavljene na rastojanju s
o
= 90 m jedna od druge istovremeno u istom
pravcu po~inju kretanje dva tela. Telo koje se kre}e iz ta~ke A ima brzinu 5 m/s, a telo koje se
kre}e iz ta~ke B - brzinu 2 m/s. Posle koliko vremena prvo telo dostigne drugo telo? Koliki su
pre|eni putevi svakog od tela?
Dato:
Odrediti:
s
o
= 90 m
t - ?
v
1
= 5 m/s
s
1
- ?; s
2
- ?
v
2
= 2 m/s
Re{enje: Do ta~ke gde se tela sustignu prvo telo je pre{lo put s
1
= s
o
+ s
2
= v
1
t, a drugo put s
2
= v
2
t.
Iz ovih jedna~ina sledi da je v
1
t = s
o
+ v
2
t, odnosno
s
v
v
s
t
30
2
1
0
=
−
=
.
2. Jedan automobil, kre}u}i se ravnomernom brzinom 12 m/s, pre{ao je za 10 s isti put kao i drugo
telo za 15 s. Kolika je brzina drugog tela?
Dato:
Odrediti:
v
1
=
12
m/s
t
1
=
10
s v
2
- ?
t
2
= 15 s
Re{enje: Po{to oba automobila pre|u isti put razli~itim brzinama za razli~ita vremena, to je: v
1
t
1
=
v
2
t
2
odnosno,
s
m
t
t
v
v
8
2
1
1
2
=
=
.
3. Iz ta~ke A kre}e se ka ta~ki B automobil brzinom 20 m/s. Istovremeno, nasuprot njemu, iz ta~ke
B polazi autobus brzinom 54 km/h. Rastojanje izme|u ta~aka A i B je 17,5 km. Na kom
rastojanju od ta~ke A se automobil susretne sa autobusom? Koliki je pre|eni put autobusa?
Dato:
Odrediti:
s
= 17,5 km = 17,5x10
3
m
v
1
=
20
m/s
s
1
- ?; s
2
- ?
v
2
= 54 km/h = 15 m/s
Re{enje: Do ta~ke susreta automobil je pre{ao put s
1
a autobus put s
2
, pa je s = s
1
+ s
2
= v
1
t + v
2
t =
(v
1
+ v
2
)t. Odavde je vreme susreta
s
v
v
s
t
500
2
1
=
+
=
.
Pre|eni put automobila je s
1
= v
1
t = 10 km, a autobusa s
2
= v
2
t = 7,5 km.
4. Prvu polovinu puta automobil pre|e srednjom brzinom 15 m/s, a drugu polovinu puta srednjom
brzinom 10 m/s. Kolika je srednja brzina automobila na celom putu?
Dato:
Odrediti:
v
1
=
15
m/s
v
sr
- ?
v
2
= 10 m/s
s
1
= s
2
= s/2
Re{enje: Kako su vremena prelaska prve, odnosno druge polovine puta
1
1
1
2
v
s
v
s
t
=
=
i
2
2
2
2
2
v
s
v
s
t
=
=
, to je
s
m
v
v
v
v
v
s
v
s
s
v
sr
12
2
2
2
2
1
2
1
2
1
=
+
=
+
=
.
Re{enje:
Za kretanje broda uzvodno je s = (v - v
R
)t
1
a nizvodno s = (v + v
R
)t
2
. Izjedna~avanjem ovih
jedna~ina sledi da je
h
km
t
t
t
t
s
v
R
5
,
4
2
)
(
2
1
1
2
=
−
=
. Brzina broda u odnosu na vodu je
h
km
t
t
v
s
v
R
5
,
13
1
1
=
+
=
.
9. Materijalna
ta~ka
kre}u}i
se ravnomerno po krugu polupre~nika 0,2 m na~ini 300 obrtaja za
vreme 1 min. Kolika je ugaona brzina, frekvencija, period oscilovanja i linijska brzina?
Dato:
Odrediti:
r = 0,2 m
v - ?;
ω
- ?; T - ?;
ν
- ?
t = 1 min = 60 s
n = 300 obrta
Re{enje:Frekvencija obrtanja je
Hz
t
n
5
=
=
ν
. Ugaona brzina je
πν
ω
2
=
=31,4 rad/s, a period
rotacije
s
T
2
.
0
1
=
=
ν
. Linijska bzina je
s
rad
T
R
v
28
,
6
2
=
=
π
.
10. Kotur pre~nika 20 cm rotira ravnomerno i na~ini 360 obrtaja za 3 minuta. Odrediti period
rotacije, ugaonu brzinu i linijsku brzinu ta~ke na obodu kotura.
Dato:
Odrediti:
d = 20 cm; r = 10 cm
v - ?;
ω
- ?; T - ?
t = 3 min = 180 s
n = 360 obrta
Re{enje:
s
n
t
T
5
.
0
=
=
;
s
rad
T
56
,
12
2
=
=
π
ω
;
s
rad
r
v
25
,
1
=
=
ω
.
11. Odrediti radijus rotiraju}eg to~ka, ako je linijska brzina ta~ke na obodu to~ka dva puta ve}a od
ta~ke koja le`i za 5 cm bli`e osi to~ka.
Dato:
Odrediti:
v
1
= 2v
2
r - ?
∆
r= 5 cm = 5 x 10
-2
m
Re{enje:
Linijske brzine tih ta~aka su:
r
v
ω
=
1
i
)
(
2
r
r
v
∆
−
=
ω
. Uz dati uslov, sledi da je
)
(
2
r
r
r
∆
−
=
ω
ω
, odnosno r = 2
∆
r = 10 cm.
12. Kolike su ugaone brzine sekundne, male i velike kazaljke ~asovnika?
Odrediti:
ω
s
- ?
ω
m
- ?
ω
v
- ?
Re{enje:
