Problem brahistohrone u neviskoznoj i viskoznoj sredini

Univerzitet u Novom Sadu 

Prirodno-matematički fakultet 

Departman za fiziku 

Problem brahistohrone u 

neviskoznoj i viskoznoj sredini 

-diplomski rad- 

Mentor: prof. dr Dušan Zorica 

Student: Nikola Vujadinović 

FDI 532/17 

Novi Sad, 2022. 

1 

3 

1

Uvod 

Metode  varijacionog  računa  i  analitičke  mehanike  imaju  veliku  primenu  u  rešavanju 

problema optimizacije. Osnovna ideja varijacionog računa u primeni na fizičke procese je u 
tome  da  tokom  procesa  neki  od  fizičkih  parametara  imaju  stacionarnu,  a  često  i  ekstremnu 
vrednost. Taj parametar se naziva dejstvom. Zahtev varijacionog računa je i da od svih mogućih 
procesa  koji  se  odvijaju  u  zadatom  intervalu  vremena  samo  stvarni  proces  dejstvu  zadaje 
optimalnu  vrednost.  Principi  na  kojima  se  zasniva  optimizacija  ovakve  vrste  se  nazivaju 
varijacioni principi. Možda najpoznatiji od varijacionih principa je Hamiltonov princip. 

Jedan  od  problema  klasične  mehanike,  koji  se  definiše  preko  svojstva  koje  izražava 

minimalnost fizičke veličine, u konkretnom slučaju vremena, je problem brahistohrone. Ime 
nosi  iz  grčkog  jezika: 

βραχιστος

  što  znači  najkraće  i 

χρονος

  što  znači  vreme.  Problem 

brahistohrone je predstavio Johan Bernuli 1696. godine u naučnom časopisu 

Acta Eruditorum 

(videti [4])

. 

On je pozvao sve matematičare sveta da reše sledeći problem: „

Ako su date tačke 

A i B u vertikalnoj ravni, kakvu trajektoriju opisuje materijalna tačka koja kreće iz tačke A i 
stiže  u  tačku  B  za  najkraće  vreme,  ako  na  nju  deluje  samo  gravitaciona  sila?

“  Dobio  je 

odgovore od Njutna, Lajbnica, Lopitala i svog brata Jakoba Bernulija. Svi su došli do istog 
rešenja,  da  je  kriva  segment  cikloide,  prikazane  na  slici  1.1,  koja  se  dobija  kao  trajektorija 
fiksirane  tačke  na  kružnici  koja  se  kotrlja.  Jakob  je  kasnije  formulisao  i  teži  problem 
brahistohrone i u njegovom rešavanju koristio nove metode, koje su kasnije Ojler i Lagranž 
obradili i uobličili u varijacioni račun. 

sl. 1.1 Cikloida 

Johanovo rešenje je bilo posebno interesantno. Zasnovao ga je na Fermaovom principu, koji 

kaže da svetlost između dve tačke putuje tako da stigne za najkraće vreme.  Umesto da posmatra 
kretanje fizičkog tela, pitao se kako bi se umesto njega kretala svetlost koja prolazi kroz mnogo 
sredina  sa  različitim  indeksima  prelamanja  (sl.  1.2),  tako  da  pri  svakom  prelamanju  dobije 
drugačiju brzinu, slično kao i telo koje ubrzava u gravitacionom polju. Korišćenjem Snelovog 
zakona i zakona održanja energije došao je do jednačine cikloide. 

sl. 1.2 Metoda Johana Bernulija 

4 

U ovom radu biće predstavljene metode za rešavanje problema brahistohrone u neviskoznoj 

i  viskoznoj  sredini.  U  neviskoznoj  sredini  biće  razmatran  problem  koji  je  formulisao  Johan 
Bernuli,  kao  i  kretanje  tačke  po  površini  cilindra.  Tražiće  se  rešenje  Bernulijevog  problema 
direktnom  metodom  u  implicitnom  i  parametarskom  obliku,  kao  i  korišćenjem  Hamilton-
Jakobijeve metode. U viskoznoj sredini će se razmatrati problem brahistohrone u vertikalnoj 
ravni. 

6 

što  se  u  vektorskom  obliku  predstavlja  kao 

?⃗

?

= ?⃗

?

(?

1

, ?

2

, … , ?

?

, ?)

  gde  je 

? = 1, 2, … , ?

. 

Položaj  svake  čestice  sistema  je  u  svakom  trenutku  potpuno  određen  skupom  nezavisnih 
veličina 

?

1

, ?

2

, … , ?

?

  i  one  se  tako  definisane  nazivaju  generalisanim  koordinatama. 

Generalisane koordinate se ne odnose na pojedinačne čestice u sistemu, već određuju položaj 
sistema kao celine. 

Kao što je već rečeno, čestice sistema kreću se u skladu sa vezama (2.1). Takva kretanja se 

nazivaju mogućim i ne moraju se nužno poklapati sa stvarnim kretanjima. Razlika dva moguća 
elementarna pomeranja čestice, koja se odvijaju za isto vreme, naziva se virtuelno pomeranje. 
Ako  su  dva  elementarna  moguća  pomeranja  čestice 

?

  data  sa 

??⃗

?

  i 

?′?⃗

?

  tada  je  virtuelno 

pomeranje 

??⃗

?

= ?

′

?⃗

?

  − ??⃗

?

.

(2.6) 

Dalamber-Lagranževog  princip  se  izvodi  polazeći  od  osnovne  jednačine  dinamike  za 

prinudno kretanje 

??⃗

?

= ?⃗

?

+ ?⃗⃗

?

,

(? = 1, 2, … , ?),

(2.7) 

gde 

??⃗

?

  predstavlja  fiktivnu  silu  inercije, 

?⃗

?

  predstavlja  aktivnu,  a 

?⃗⃗

?

  reaktivnu  silu. 

Množenjem obe strane prethodnog izraza sa 

??⃗

?

 i sumiranjem po broju čestica se dobija 

∑(?⃗

?

− ?

?

?⃗̇

?

)

?

?=1

∙ ??⃗

?

= − ∑ ?⃗⃗

?

?

?=1

∙ ??⃗

?

.

(2.8) 

Ukoliko su veze holonomne, tada su reakcije idealne, a za idealne reakcije važi da je izraz sa 
desne  strane  jednačine  (2.8)  jednak  nuli  (videti  izvođenje  jednačine  (6.16)  u  [1]),  pa  je 
Dalamber-Lagranžev princip okarakterisan izrazom  

∑(?⃗

?

− ?

?

?⃗̇

?

)

?

?=1

∙ ??⃗

?

= 0.

(2.9) 

Jednačina (2.9) u suštini znači da se svako kretanje koje proizvodi idealne reakcije vrši tako da 
je  ukupni  rad  svih,  kako  aktivnih  sila,  tako  i  fiktivnih  sila  inercije  na  bilo  kojim  virtuelnim 
pomeranjima čestica sistema uvek jednak nuli. 

Elementarni rad na virtuelnim pomeranjima dat je jednačinom 

?? = ∑ ?⃗

?

?

?=1

∙ ??⃗

?

.

(2.10)