NEZAVISNI UNIVERZITET BANJA LUKA
STUDIJSKI PROGRAM: MENADŽMENT I ORGANIZACIJA
TEMA: FUNKCIJE
Seminarski rad iz matematike
Mentor: Student:
Prof. dr. Marinko Markić Njegoš Krejić
Banja Luka, decembar 2017.
SADRŽAJ
FUNKCIJE
UVOD
...................................................................................................................................................... 1
POJAM I DEFINICIJA FUNKCIJE
............................................................................................................. 1
VRSTE PRESLIKAVANJA
………………………………………..…………………………………………………………………….……….2
Surjektivno preslikavanje………………………………………………………………………………………………….………..2
Injektivno preslikavanje ………………………………………………….………………………………………………………...3
Bijektivno preslikavanje………………………………………………………………………………………………………………3
ISPITIVANJE FUNKCIJE
……………………………………………………….……………………………………………………………….4
Domen (oblast definisanosti) funkcije ……………………………………………………………………….……….……..4
Nule i znak funkcije………………………………………………………………………………………………………..…………..5
Parnost funkcije………………………………………………………………………………………………………………..………..5
Asimptote……………………………………………………………………………………………………………………..……………6
Monotonost i ekstremne vrednosti……………………………………………………………………………………………8
Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke………………………………………………………………………….…….9
Grafik funkcije………………………………………………………………………………………………………………………..…10
Primjer ispitivanja funkcije……………………………………………………………………………….……….….………….11
LITERATURA
…………………………………………………….………………………………………………………………..………………14
Funkcije
2
Relacija je neprazan podskup Dekartovog proizvoda skupova , a funkcija je jedna vrsta
relacije.
Definicija 1:
Neka su
A
i
B
neprazni skupovi. Tada se binarna relacija
f
⊆
A × B
zove funkcija ili
preslikavanje
A
u
B
ako važi:
(
∀
x
∈
A
)(
∃
! y
∈
B
)
y
=
f
(
x
)
,
odnosno ako za svaki element iz skupa
A
postoji tačno jedan element iz skupa
B
tako da je
element iz
B
slika elementa iz
A
.
Definicija 2
(ekvivalentna prethodnoj):
Binarna relacija
f
iz
A
u
B
je funkcija ako je
(
(
x , y
)
∈
f
∧
(
x , z
)
∈
f
)
⇒
(
y
=
z
)
,
tj. ako su originali jednaki i slike moraju biti jednake.
Jednakost funkcija
Funkcije
f
i
g
su jednake, što zapisujemo sa
f
=
g
, ako vrijedi:
1. imaju jednake domene, tj.
D
f =
D
g
:
2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj.
f(x) = g(x)
,
∀
x
∈
A
Na primjer, funkcije
f(x) =
x
2
x
i g(x) = x
nisu jednake, jer funkcija
f(x)
nema vrijednost za
x
= 0.
Dijeljenje sa nulom nije definisano, pa je domen
D
f =
R{0}
, skup realnih brojeva bez
nule. Domen
D
g
= R
,
cijeli skup realnih brojeva.
VRSTE PRESLIKAVANJA
Surjektivno preslikavanje
Definicija
Funkcija
f
:
A
→
B
zove se
surjekcija
, ili
"na"-preslikavanje, ako je
K ( f )=B,
što se može zapisati i kao:
(
∀
y
∈
B
)(
∃
x
∈
A
)
y
=
f
(
x
)
,
Funkcije
3
Odnosno, funkcija je surjekcija ako i samo ako su svi elementi kodomena nečije slike.
Surjekcija po definiciji dozvoljava „duple kopije“, tj. da se više elemenata iz domena
preslikavaju u isti element kodomena.
Injektivno preslikavanje
Definicija
Funkcija
f
:
A
→
B
zove se
injekcija
, ili
"1-1"-preslikavanje
, ako važi
(
∀
x
1
, x
2
∈
A
)
(
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
)
⇒
(
x
1
=
x
2
)
Dakle, ista kopija ne može biti rezultat kopiranja različitih originala. Injekcija po definiciji
dozvoljava da u skupu kopija postoje elementi koji uopšte nisu rezultat preslikavanja.
Bijektivno preslikavanje
Definicija
Funkcija koja je surjekcija i injekcija zove se
bijekcija
.
Bijekciju nazivamo i
obostrano jednoznačno
preslikavanje.
