Matemati~ka gimnazija Beograd
MATURSKI RAD
GDE SE SASTAJU GEOMETRIJA I
POLINOMI?
Kandidat:
Igor Spasojevi},
IV
D
Mentor:
or|e Barali}
jun 2012. Beograd
Sadr`aj
1 Uvod
2
2 Algebarske krive
4
2.1 Ravne algebarske krive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.1
Kompleksne projektivne krive . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2 Konike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.1
Paskalova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Kubike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Teorema o kavezu
15
3.1 Teorema o
3
×
3
kavezu za kubike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1
Grupni zakon na kubici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2
Generalna teorema o kavezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Bezuova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Primene teoreme o kavezu
23
4.1 Paposova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Paskalova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1
Degenerisani slu~ajevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Misti~ni osmougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.1
Paskalova konfiguracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.2
Paposova konfiguracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Misti~ni
2
n
-touglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
geometrija. Na ovaj na~in je se rodila jedna od najizazovnijih grana matematike - al-
gebarska geometrija. U ovoj oblasti je ura|eno mnogo, ali i danas je mnogo otvorenih
pitawa u algebarskoj na koje poku{avaju da re{e matemati~ari, pa je ovo sigurno od
jedna od disciplina koja }e se aktivno razvijati u
XXI
veku.
Ovde }emo govoriti o ne~emu {to slobodno mo`emo nazvati elementarnom alge-
barskom geometriji. Najpre }emo definisati ravne algebarske krive, sa akcentom
na konike i kubike kao objekte sa kojim se sre}emo i tokom gimnazijskog obrazovawa.
Zatim}emopokazatiteoremuokavezu
(Katz)
kojajespecijalanslu~aj~uveneBezuove
teoreme. Primenom ove teoreme dokaza}emo teoreme vezane klasi~ne Paposove i
Paskalove teoreme za misti~ne {estouglove upisane u konike. Dokaza}emo neke
poznate i nekoliko novih rezultata za misti~ne osmouglove i
2
n
-touglove upisane u
konike koji }e dati potpuno novu sliku na ova tvr|ewa. To je slika koja }e otkriti
duboku vezu izme|u ovih tvr|ewa. Na kraju }emo se dotaknuti i nekih otvorenih i
ozbiqnih problema za strukture Paposovog i Paskalovog tipa.
Od velike pomo}i u nastajawu ovog rada bio je i programski paket
Cinderella
koji
jerazvio
J¨
urgen Richter-Gebert
jedanoddanasvode}ihnema~kihmatemati~ara. Ova
tema je veoma aktuelna danas i wom se bave neki od svetskih poznatih matemati~ara,
kao {to je
S. Tabachnikov, L. Evans, G. Katz, R. Swartz
i drugi. Nedavno je
iza{la i kwiga
Roberta Bixa,
Conics and cubics: an elementary introduction to
the algebraic geometry
Konike i kubike: elementaran uvod u algebarsku geometriju
koja pokazuje da ova elementarna pri~a i te kako privla~i pa`wu nau~ne javnosti.
J¨
urgen Richter-Gebert
Robert Bix
Gdesesastajugeometrijaipolinomi? Tamogdepo~iwejednalepaijo{nedovoqno
istra`ena matematika.
3
2
Algebarske krive
2.1 Ravne algebarske krive
U ovom delu }emo se upoznati sa realnim i kompleksnim algebarskim krivama.
Definicija 2.1.1. Realna algebarska kriva
C
je podskup od
R
2
=
R
×
R
koji je
geometrijsko mesto ta~aka nula polinoma dve promenqive
P
(
x, y
)
sa realnim ko-
eficijentima, tj.
C
=
{
(
x, y
)
∈
R
2
|
P
(
x, y
) = 0
}
.
Definicija 2.1.2. Kompleksna algebarska kriva
C
je podskup od
C
2
=
C
×
C
koji je
geometrijsko mesto ta~aka nula polinoma dve promenqive
P
(
x, y
)
sa kompleksnim
koeficijentima, tj.
C
=
{
(
x, y
)
∈
C
2
|
P
(
x, y
) = 0
}
.
Na o~igledan na~in se svakoj realnoj algebarskoj krivoj mo`e pridru`iti kom-
leksna algebarska kriva. Realne algebarske krive su izu~avane hiqadu godina ranije
nego {to su kompleksne algebarske krive priznate kao matemati~ki objekat iako
kada su se pojavile postalo je jasno da su one i jednostavnije i interesantnije za
prou~avawe. Na primer mnogo je lak{e polinom sa realnim koeficijentima pos-
matrati kao polinom sa kompleksnim koeficijentima jer se u
C
svaki polinom
faktori{e i jednostavnije je uzeti samo realne nule i odbaciti ostale. Kompleksne
algebarske krive se mogu prou~avati sa stanovi{ta nekoliko matemati~kih disci-
plina od kojih se izdvajaju algebra, topologija i kompleksna analiza.
Realne algebarske krive su prou~avali u staroj Gr~koj. Oni nisu znali za
jedna~ine kruga, parabole, elipse, hiperbole, ali su poznavali ove objekte kao
geometrijska mesta ta~aka. Npr. elipsa je geometrijsko mesto ta~aka ~iji je zbir
rastojawa od dve unapred zadane ta~ke koje nazivamo `i`ama konstantan. Prave i
krugove je mogu}e konstruisati pomo}u {estara i lewira, dok ostale krive drugog
reda nije mogu}e. Stari Grci su re{avaju}i probleme duplirawa kocke i trisekcije
ugla konstruisali instrumente kojima su konstruisali parabole, jer se uo~ili da
se ovi problemi mogu re{iti konstruisawm ovih krivih. Tek sa razvitkom teorije
Galoa mnogo godina kasnije dokazano je da su ove konstrukcije ne mogu re{iti pomo}u
{estara i lewira.
Primer 2.1.1.
Na slici 2.1 }emo prikazati nekoliko algebarskih krivi sa wihovim
jedna~inamaiodgovaraju}omslikomkaorelnomodnosnokompleksnomkrivom. Slike
kompleksne krive zapravo `ive u projektivnom prostoru
C
P
2
o kome }emo ne{to
kasnije detaqnije govoriti.
4
Definicija 2.1.3.
Ta~ka
(
x, y
)
∈ C
algebarske krive
C
definisane polinomskom
jedna~inom
P
(
x, y
) = 0
je singularna (singularitet) ukoliko je
∂P
∂x
(
x, y
) =
∂P
∂y
(
x, y
) = 0
.
Izu~avawe sigulariteta algebarskih krivi je posebna oblast - teorija singu-
lariteta koja ima veliku primenu u mnogim oblastima kao {to je teorija ~vorova,
topologija, kompleksna analiza i dr.
Kako realne algebarske krive mogu biti jako degenerisane kao npr. kriva
x
2
+
y
2
= 0
koja je samo ta~ka
(0
,
0)
∈
R
2
i
x
2
+
y
2
=
−
1
koja predstavqa prazan skup u
R
2
do{lo je do ideje da se umesto realnih posmatraju
kompleksna re{ewa jedna~ine
P
(
x, y
) = 0
. Krive se u
C
2
mnogo boqepona{aju,
jer kriva
x
2
+
y
2
= 0
predstavqa par kompleksnih pravih koje se seku dok je kriva
x
2
+
y
2
=
−
1
kompleksna kru`nica.
U
XIX
veku se uo~ilo da dodavawem odgovaraju}ih ta~aka u beskona~nostialge-
barske krive postaju kompaktni topolo{ki prostori. Tako se i do{lo i na ideju
da se krive posmatraju u projektivnim prostorima. Na kompaktnim prostorima
je mogu}e definisati meromorfne i holomorfne funkcije pa je se na kompleksne
algebarske krive mogla primeniti i kompleksna analiza na
C
. Odavde se razvila
teorija Rimanovih povr{i, koje su nazvane po Berhardu Rimanu (1826-1866). Riman je
bio izuzetan matemati~ar
XIX
veka koji je mnogo uticao na ideje da geometrija ne
treba izu~avati samo euklidske prostore, ve} i mnogo generalnije prostore.
Dedekind i Veber su 1882. pokazali da ve}i deo teorije algebarskih krivih ostaje
na snazi i nad bilo kojim poqem
F
, tj. krive se vi{e ne prou~avaju samo nad poqima
kompleksnih i realnih brojeva. Tako npr. u re{avawu diofantove jedna~ine
P
(
x, y
) = 0
u teoriji brojeva ~esto se posmatra ova jedna~ina po
mod
p
gde je
p
prost broj.
Ali ovo nije ni{ta drugo do posmatrawe algebarske krive nad poqem
F
p
=
Z
/p
Z
ili wegovim algebarskim zatvorewem. Ova duboka veza izme|u algebarskih krivih
i teorije brojeva poslu`ila je i Endriju Vajlsu u dokazu ~uvene Velike Fermaove
teoreme da jedna~ina
x
n
+
y
n
=
z
n
nema celobrojna re{ewa u skupu prirodnih brojeva kada je
n
≥
3
.
Danasdostaznamooalgebarskimkrivama. Algebarskivarijetetisudefinisani
kaoskupovizajedni~kihnulakona~nogbrojapolinomaukona~nomnogopromenqivih
i izu~avawe ovih objekata dovelo je do novih ideja i ra|awe jedne nove matemati~ke
discipline - algebarske geometrije.
Prirodno je postaviti pitawe kada dve algebarske krive defini{u isti ge-
ometrijski skup ta~aka. Za polinom ka`emo da je ireducibilan ako se ne mo`e
zapisati kao proizvod dva polinoma koji su oba razli~ita od konstante. Odgovor na
to pitawe daqe ~uveni Hilbertov Nul{tele`ac.
Teorema 2.1.1
(Hilbertov Nul{telen`ac).
P
(
x, y
)
i
Q
(
x, y
)
su polinomi takvi da
je
{
(
x, y
)
∈
C
2
|
P
(
x, y
) = 0
}
=
{
(
x, y
)
∈
C
2
|
Q
(
x, y
) = 0
}
ako i samo ako postoje prirodni brojevi
m
i
n
takvi da
P
|
Q
m
i
Q
|
P
n
tj. ako i
samo ako
P
i
Q
imaju iste ireducibilne faktore.
6
