Универзитет у Београду, Математички факултет
Семинарски рад из предмета Одабрана поглавља геометрије
Геометријски приступ алгебри
Професор: Мирјана Ђорић
Асистент: Милош Ђорић
Невена Милетић 119/2012
2
Увод
Постојање ирационалних бројева довело је до развоја једне врсте алгебре, а то је
алгебра дужи, односно њихових мера. Да сваком броју одговара дуж, евидентно је,
међутим не може се свака дуж измерити датом дужи, као што су ивица и дијагонала
квадрата несамерљиве дужи. Друга књига Еуклидових Елемената говори управо о
геометријској алгебри
, споју вавилонске аритметике и египатске геометрије, развијеној у
питагорејској школи. У другој књизи Елемената алгебарске формулације и докази ставова
јесу геометријски. Назив геометријска алгебра потиче од данског математичара Сојтена.
Геометријски приступ алгебри поникао је од старих Грка, међутим Арапи су
посветили више пажње бројевима и аритметици. Грчка мисао довела је до арапских
достигнућа у геометријској албегри, пре свега код Ал Хорезмија
1
. Поред тога што је
саставио најстарије астрономске таблице, у преводу је сачуван његов трактат о алгебри,
инспирисан и поткрепљен грчким и индијским знањима. Трактат о алгебри носи назив
„Хисаб ал џабр вал мукабала“
2
и заиста је корак напред у алгебри.
У даљем тексту дајемо описе неких ставова из Елемената и решавања једначина
другог и трећег степена.
1
Абу Џафар Мухамед Ибн Муса Ал Хорезми ( око 780-850 год. ). Његова лична биографија је мало позната.
2
Из израза „ал џабр“ настао је назив за алгебру.
4
Нека је дуж АВ подељена тачком С произвољно. Квадрат над АВ једнак је збиру
квадрата над АС и ВС и двоструког правоугаоника обухваћеног дужима АС и ВС.
Конструише се квадрат над АВ и споје се тачке В и Е. Затим из С конструишемо праву СI,
паралелну ма којој од AE или BD. У пресеку СI и ВЕ означимо тачку F. Конструишемо
праву која садржи тачку F и паралелна је са АВ. Означимо пресеке праве са АЕ и ВD са H
и G. Угао ﮮСFB = ﮮAEB, јер је CF паралелно са AE и FB паралелно са EB. Углови ﮮAEB
и ﮮAВЕ су једнаки јер је АЕ=АВ. Следи да је ﮮСFB = ﮮAВЕ, па је СF=СВ. Из тога следи
да је CFGB „једнакостран“ четвороугао. Потребно је још доказати да је и правоугли.
АBDE је квадрат, па је угао ﮮGBC прав. СF је паралелно са BG и СВ=СВ, па следи да је и
ﮮFCB такође прав. Можемо закључити да је четвороугао CFGB квадрат. Из истих разлога
је и HEIF квадрат. Означимо АС са
а
, а СВ са
b
. Како је CFGB квадрат то је СВ= FG=
b
и
СВ=СF=
b
, а самим тим је АС=GD. Следи да је правоугаоник HFCA подударан
правоугаонику FIDG, оба ивица
а
и
b
. ■
II.5
: Ако се дата дуж подели двема тачкама и на једнаке и неједнаке делове, биће збир
правоугаоника обухваћеног неједнаким деловима целе дужи и квадрата на дужи између
деоних тачака једнак квадрату на половини дужи. Ово тврђење може се записати и овако:
AD∙DB+CD
2
=CB
2
.
Доказ
:
5
Нека је дуж АВ подељена на једнаке делове тачком С и на неједнаке делове тачком D.
Збир правоугаоника обухваћеног дужима АD и DB и квадрата над CD. Над СВ
конструишемо квадрат, затим праве ВF и DI, DI паралелно BE. Означимо тачку М у
пресеку ових двеју правих. Конструишемо праву GH која садржи тачку М и паралелна је
АВ. Аналогно доказу става II.4 уочимо подударне четвороуглове, а то су у овом случају
NMCD и MIEG. Ако сваком од њих додамо DMGB, онда ће бити подударни и CNGB и
DIEB, а како је CNGB такође подударан са AHNC, то је CNGB подударан са AHNC. Ако
свакој од њихових површина додамо површину CNMD, биће да је површина
правоугаоника AHMD једнака збиру површина четвороуглова CNMD, DMGB и MIEG.
Када збиру површина ових четворуглова додамо квадрат MNFI, то је управо површинa
квадрата FEBC, што је и требало доказати. ■
У вези са ставом II.4, уколико одредимо АВ =
а
, BG =
х
, односно АD =
a-x
. Нека је
збир површина четвороуглова CNMD, DMGB и MIEG једнако неком броју нпр.
b
2
. Тада би
запис тврђења изгледао овако: (
a-x
) ∙
х
=
b
2
. Ову квадратну једначину решавамо сада
алгебарски. Одређивањем вредности
х
, јесте одређивање положаја тачке D на правој АВ.
(
a-x
) ∙
х
=
b
2
, што је даље еквивалентно са
х
2
-
ах
+
b
2
=0 , што је даље еквивалентно са
х
=
а
±√
а
2
−4?
2
2
, што је даље еквивалентно са
х -
а
2
=
√
а
2
−4?
2
2
, еквивалентно
х -
а
2
=
√(
?
2
)
2
− ?
2
, што кад квадрирамо даје
(
х
−
а
2
)
2
= (
а
2
)
2
− ?
2
, a то је
(
а
2
)
2
= (
а
2
−
х
)
2
+ ?
2
.
