Gerberovi nosaˇ
ci (1)
V. S. & K. F.
1.
Znaˇ
cajke
Statiˇcki odredeni ravninski ravni nosaˇci horizontalno poloˇzeni iznad dva ili viˇse otvora
nazivaju se
Gerberovim nosaˇ
cima
ili
nosaˇ
cima sa zglobovima
. U osnovnom obliku ti nosaˇci
imaju samo zglobne leˇzajeve, pri ˇcemu je jedan, bilo koji, nepomiˇcan, dok su ostali uzduˇzno
pomiˇcni — omogu´cuju pomake usporedno s osi nosaˇca. K tomu joˇs, na krajevima nosaˇcˆa
nema prepustˆa (slike 1.a., b. i c., primjerice). No, Gerberovim ´cemo nosaˇcima nazivati i
razne varijacije s prepustima i upetim leˇzajevima poput onih na slikama d. i e.
a.
b.
c.
d.
e.
Slika 1.
Pogodnim se razmjeˇstajem zglobova intenziteti momenata savijanja u pojedinim po-
ljima mogu osjetno smanjiti u odnosu na intenzitete momenata u nizu prostih greda nad
istim otvorima. (Poljem nazivamo dio nosaˇca izmedu dva leˇzaja.) Kao primjer uzmimo
polaganje statiˇcki odredenoga nosaˇca preko tri otvora/ˇcetiri leˇzaja. Ograniˇcimo li se samo
na zglobne leˇzajeve i pretpostavimo li da nije vaˇzno koji je od njih nepomiˇcan, taj se za-
datak moˇze rijeˇsiti na beskonaˇcno mnogo naˇcina koje ´cemo svrstati u devet skupina ˇciji su
”
predstavnici” skicirani na slici 2. Trivijalno rjeˇsenje sa slike a. sastavljeno je od tri proste
grede. Nosaˇci sa slika f. do i.
”
pravi” su Gerberovi nosaˇci; u pojedinim se skupinama pri-
tom zglobovi mogu pomaknuti u druge poloˇzaje unutar polja u kojima se nalaze, ˇsto u
1
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Slika 2.
svakoj skupini otvara beskonaˇcno mnogo mogu´cnosti. Napokon, za ostale nosaˇce — slike b.
do e.— moˇzemo re´ci da su
”
negdje izmedu”: dio je svakoga od njih prosta greda, a dio
”
pravi” Gerberov nosaˇc.
Usporedba momentnih dijagrama za, primjerice, jednoliko distribuirano optere´cenje na
nizu prostih greda i na jednom od mogu´cih Gerberovih nosaˇca (slike 3.a. i b.) pokazuje
da su intenziteti momenata u poljima Gerberova nosaˇca manji nego na prostim gredama.
(Postupci izraˇcunavanja vrijednostˆı i crtanja tih dijagrama bit ´ce uskoro opisani.)
Inˇzenjeri, koji su u prvoj polovini devetnaestoga stolje´ca projektirali ˇzeljezniˇcke mosto-
ve, znali su da to, neprijeporno statiˇcki povoljno, svojstvo imaju
kontinuirani nosaˇ
ci
— no-
saˇci preko viˇse otvora, ali bez zglobova. No, isto su tako znali da su kontinuirani nosaˇci
statiˇcki neodredeni i da su zbog toga neprikladni za sluˇcajeve u kojima se mogu pojaviti
nejednolika slijeganja leˇzajeva — primjerice, na loˇsem tlu — ili ve´ce, nejednolike promjene
temperature, jer takva djelovanja u neodredenim sistemima uzrokuju pojavu znaˇcajnih
unutraˇsnjih sila i reakcija. Da to izbjegnu, gredne su mostove ponajˇceˇs´ce oblikovali kao
jednostavne nizove prostih greda, ˇzrtvuju´ci time mogu´cnost smanjivanja momenata savija-
nja u poljima. Njemaˇcki inˇzenjer Heinrich Gerber (1832.–1912.) uoˇcio je da se ugradnjom
2
2.
Raspored zglobova
Raspored zglobova u Gerberovu nosaˇcu vrlo je vaˇzan. (Govore´ci o
”
rasporedu zglobova”
mislimo na to u kojim se poljima i, u graniˇcnim sluˇcajevima, nad kojim se leˇzajevima
zglobovi nalaze — geometrijska nepromjenjivost ovisi samo o tome, dok poloˇzaji zglobova
unutar tih polja nisu bitni.) Osnovni je zahtjev da broj zglobova i njihov raspored moraju
osigurati geometrijsku nepromjenjivost sistema i njegovu statiˇcku odredenost. Sluˇcajevi
skicirani na slici 2. iscrpljuju mogu´cnosti ispravnih rasporeda zglobova u Gerberovu nosaˇcu
s tri polja. Isto tako, kod svih je primjera na slici 1. raspored zglobova ispravan (za te
su nosaˇce, naravno, mogu´ci i drugi ispravni rasporedi). Dva jednostavna pravila koja
osiguravaju ispravan raspored zglobova prikazat ´cemo i obrazloˇziti s pomo´cu primjera na
slici 4.
Lako je vidjeti da je kontinuirani nosaˇc sa slike 4.a. ˇcetiri puta statiˇcki neodreden:
S
n
D
3
n
L
1
3
7
4
.
Prema tome, ˇzelimo li ga
”
pretvoriti” u statiˇcki odredeni Gerberov nosaˇc, moramo
”
ubaciti”
ˇcetiri zgloba. O njihovu ´ce ispravnu rasporedu ovisiti geometrijska nepromjenjivost nosaˇca.
Kako ´ce nakon ubacivanja ˇcetiri zgloba nuˇzdan uvjet za statiˇcku odredenost,
S
0, biti
ispunjen, geometrijska ´ce nepromjenjivost znaˇciti i statiˇcku odredenost. Pet je primjera
ispravnih rasporeda zglobova skicirano na slikama b.– f. (Time nisu iscrpljene sve ispravne
mogu´cnosti.) Kao ˇsto skice mogu´cih pomaka sistemˆa na slikama g.– l. pokazuju, rijeˇc je o
primjerima pogreˇsnih rasporeda zglobova: dijelovi tih sistema su mehanizmi. (Ni spektar
neispravnih mogu´cnosti nismo iscrpili.)
Na temelju slika g.– i. moˇzemo zakljuˇciti da u jednom polju ne smiju biti viˇse od dva
zgloba. Drugo pravilo slijedi iz slika j.– l.: u dva susjedna polja ne smiju biti po dva zgloba.
Oba pravila obuhva´caju i graniˇcne sluˇcajeve kad su zglobovi nad leˇzajevima. [Pokuˇsajte
prona´ci sve mogu´cnosti ispravnih rasporeda zglobova koje daju
”
prave” Gerberove nosaˇce!
Vratimo se joˇs na trenutak na primjer sa slike 2.: koji su rasporedi zglobova neispravni?]
Vidjeli smo da je pri neispravnom rasporedu zglobova dio sistema mehanizam — na tom
je dijelu, prema tome, raskinuto previˇse veza. Kako je ubaˇceno upravo onoliko zglobova
koliko je potrebno za zadovoljenje nuˇznoga uvjeta za statiˇcku odredenost, jasno je da je
na dijelu sistema raskinuto premalo veza pa je taj dio statiˇcki neodreden. U sistemu sa
slike g. statiˇcki je neodreden dio izmedu drugoga i ˇcetvrtog leˇzaja, u sistemima sa sli-
ka h.– j. neodredeni su dijelovi izmedu tre´cega i petog leˇzaja, a u sistemima sa slika k. i l.
neodredeni su dijelovi izmedu ˇcetvrtoga i ˇsestog leˇzaja. [Pronadite joˇs nekoliko neispravnih
mogu´cnosti te oznaˇcite statiˇcki neodredene dijelove i skicirajte mogu´ce pomake dijelova koji
su mehanizmi!]
4
a.
ispravno
b.
ispravno
c.
ispravno
d.
ispravno
e.
ispravno
f.
pogreˇsno
g.
pogreˇsno
h.
pogreˇsno
i.
pogreˇsno
j.
pogreˇsno
k.
pogreˇsno
l.
Slika 4.
5
Za jednadˇzbe ravnoteˇze nosaˇca kao cjeline (slika 5.b.) moˇzemo uzeti, primjerice, jed-
nadˇzbu ravnoteˇze projekcija sila na osi
x
i jednadˇzbe ravnoteˇze momenata u odnosu na
toˇcke
A
i
H
:
AH
F
x
0
,
AH
M
A
0
i
AH
M
H
0;
s
AH
pored znakova sumacije oznaˇcili smo da zbrajamo po cijelom nosaˇcu. Tri su dodatne
jednadˇzbe: jednadˇzba ravnoteˇze momenata oko zgloba
B
za dio
AB
(slika c.), jednadˇzba
ravnoteˇze momenata oko zgloba
F
za dio
FH
(slika d.) i jednadˇzba ravnoteˇze momenata
oko zgloba
E
za dio
EH
(slika e.):
AB
M
B
0
,
FH
M
F
0
i
EH
M
E
0;
AB
,
FH
i
EH
uz znakove sumacije oznaˇcavaju da sada u te zbrojeve ulaze samo momenti sila
koje djeluju na pojedinim dijelovima.
Ponavljamo: iako su sile
B
h
,
B
v
,
F
h
,
F
v
,
E
h
i
E
v
na slikama 5.c., d. i e. nacrtane, njihove
vrijednosti nisu uˇsle ni u jednu jednadˇzbu ravnoteˇze. Jedine nepoznanice su vrijednosti
reakcija.
Rijeˇc je o razmjerno velikom sustavu jednadˇzbi, ali ga moˇzemo lako
”
ruˇcno” rijeˇsiti.
Neke su jednadˇzbe u stanovitom smislu neovisne: tako jednadˇzba ravnoteˇze projekcija sila
na os
x
odmah daje vrijednost
C
h
(ta je jednadˇzba zaista neovisna), a jednadˇzba ravnoteˇze
momenata oko zgloba
B
za dio
AB
daje vrijednost
A
(kako se
A
pojavljuje u joˇs nekim
jednadˇzbama, ta je jednadˇzba tek uvjetno neovisna). Jednadˇzbe ravnoteˇze momenata oko
zglobova
F
i
E
za dijelove
FH
i
EH
ˇcine (uvjetno) neovisni sustav od dvije jednadˇzbe s
nepoznanicama
G
i
H
. I na kraju, uz poznate
A, G
i
H
preostale dvije jednadˇzbe ˇcine
sustav od dvije jednadˇzbe s nepoznanicama
C
v
i
D
. ˇ
Stoviˇse, akoli jednadˇzbe ravnoteˇze
momenata oko toˇcaka
A
i
H
(za cijeli nosaˇc) zamijenimo jednadˇzbama ravnoteˇze momenata
u odnosu na toˇcke
C
i
D
,
AH
M
C
0
i
AH
M
D
0
,
prva ´ce od njih neposredno dati
D
, a druga
C
v
.
U svim se primjerima Gerberovih nosaˇca sliˇcnim izdvajanjem pogodnih dijelova i od-
govaraju´cim redoslijedom rjeˇsavanja ve´ci sustavi jednadˇzbi mogu
”
razbiti” na niz manjih
sustava i
”
neovisnih” jednadˇzbi. Na sljede´cim ´cemo stranicama prikazati moˇzda joˇs jedno-
stavniji, a za dalji proraˇcun svakako pogodniji postupak izraˇcunavanja vrijednosti reakcija
Gerberova nosaˇca. Dosadaˇsnja priˇca o neraˇsˇclanjenu naˇcinu proraˇcuna stoga ima viˇse
uvodnu i teorijsku negoli praktiˇcnu vrijednost.
Naglasit ´cemo joˇs jednom da su dodatne jednadˇzbe jednadˇzbe ravnoteˇze momenata u
odnosu na zglobove za izdvojene dijelove nosaˇca, a ne jednadˇzbe ravnoteˇze momenata za
cijeli nosaˇc.
7
