ЈУ СШЦ. „Алекса Шантић” Школска година
Невесиње 2013/2014
Матурски рад из предмета: Математика
МЕНТОР: КАНДИДАТ:
Мирјана Цвијетић Милица Пиљевић
Невесиње, мај 2014. године
УВОД
1. Појам низа
Често наилазимо на такве скупове у којима елементи слиједе један за другим по
устаљеном правилу (закону), тако да се за сваки елемент може рећи који је по реду (на
које мјесто долази). Скупови који имају то својство зову се још и низови или сљедови. Да
бисмо задани скуп могли назавти низом, треба да утврдимо поредак међу његовим
елементима.
Један поредак у низању не искључује могућност и других поредака. Некад је згодно (па
чак и потребно) да се узме овај, а некад онај поредак. На примјер, згодно је ( а и природно)
да се хемијски елементи поредају према броју протона у језгру овако:
(1) H, He, Li, Be, ..., No, Lw.
Знамо шта значе три тачке (...): није увијек потребно (а у неким случајевима чак ни
могуће) да се испишу сви чланови низа. Низ (1) зове се природни низ хемијских елемента.
Водоник (елемент с једним протоном) долази у том низу први по реду (то је први члан
низа), хелијум (елемент с два протона) долази други по реду (то је други члан низа),
литијум долази трећи по реду, берилијум четврти, ..., нобелијум сто други, ловренцијум
(елемент са 103 протона) сто трећи по реду. То је последњи члан низа (1).
Како видимо, разлика између обичног скупа и низа је у томе што у скупу, уопште узевши,
није важан поредак чланова, а у низу је он битан. Желимо ли да од скупа добијемо низ,
морамо дакле, утврдити поредак међу елементима, тј. извршити нумерацију скупа:
елементима скупа по реду придружити природне бројеве. Онај елемент којему је
придружен број 1 постаје први члан низа; онај елемент којем је придружен број 2 постаје
први члан низа итд.
Природни број који придружујемо неком елементу скупа што га нумеришемо зовемо
редни број или индекс тог елемента. Да означимо којем је елементу придружен број 1,
којем број 2, итд., елементе обиљежавамо припадајућим индексима. Када се ради о неком
уопштеном разматрању, обиљежавање се врши на тај начин да се онај члан скупа којему је
придружен број 1 означи, рецимо са а
1
; онај члан скупа којему је придружен број 2 означи
се са а
2
, итд. Дакле,
а
1
, а
2
, а
3
,..., а
n
значи уопштено низ од n чланова. Чланови
а
1
, а
2
, а
3
,..., а
n
могу да значе најразличитије
предмете. Говори се, нпр., о низу оловака, о низу бројева, о низу тачака, итд. Узмимо као
примјер низ бројева:
4, -7, 0, 5, 9, -3, 2, 25.
Тај низ има осам чланова (број 4 је први члан, број -7 други). Ево и један низ тачака:
B, P, R, A, C, N, D.
Поједине смо тачке означили још и словима. Тачка В долази прва по реду, тачка P друга,
итд.
2. Члан низа је функција свог индекса
За сваки низ је битна веза између појединих предмета које нижемо и припадајућих
индекса (редних бројева). О индексу сваког члана зависи који ће он бити по реду. Према
томе, сваки је члан низа функција свог индекса. Познајемо ли ту функцију, низ је одређен.
Често је довољно да се зада члан а
n
, тзв. општи члан низа, као функција индекса n.
Илустровати ћемо то с неколико примјера.
Примјер 1.
Узмимо да је а
n
=
1
n
и да n иде од 1 до 8.
Лако се налази да се ту ради о низу 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8.
Kaко видимо, ту је а
1
=1, а
2
=1/2, ..., а
8
=1/8.
Примјер 2.
Чланом а
n
=
n
−
1
n
+
1
, гдје n иде од 1 до 12 дат је низ
(1) 0, 1/3, 1/2, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 7/9, 4/5, 9/11, 5/6, 11/13.
У оваквим случајевима не треба увијек испитивати све чланове низа. Обично се напишу
прва три члана, затим три тачкице, па општи члан, иза њега опет три тачкице и напокон,
последњи члан. Нпр., низ (1) можемо краће овако написати:
(2) 0, 1/3, 1/2, ...,
n
−
1
n
+
1
, ..., 11/13.
чланова посебно истакнут, ако и низу (2), гдје одмах видимо да n иде од 1 до 12, тј. да је
број чланова посебан број. Исто тако, на примјер, низ
1,
х
1
!
,
х
²
2
!
, ..., x
n
/n!
,
значи да је низ који има коначан број чланова, а општи члан му је дат изразом
а
n
= x
n
/n
!.
Дакле, низ
а
1
, а
2
, а
3
,..., а
n
је низ који има коначан број чланова.
3. Бесконачни низови
Низови које смо до сада посматрали били су коначни; сваки од њих је имао
коначан број чланова. Уопштено, кажемо да је низ коначан ако има коначно много
чланова. У крајњем случају можемо говорити и о низу
а
1
,
који има само један члан.
Дефиниција 1.
Низ од једног члана је сваки могући предмет (стваран или имагинаран). На
примјер, кућа, књига, број, слово, ... низови су од једног члана.
Међутим, постоје и тзв.
бесконачни низови
. Бесконачи низови су низови који имају
бесконачан број чланова. То су такви низови у којима иза сваког члана долази члан, што
значи да низању нема краја. Тако је, на примјер, низ природних бројева
1, 2, 3, ..., n, ...
бесконачан, тј. нема посљедњег члана. Броју n увијек можемо додати 1, тако да добијамо
већи број n + 1. За разлику од коначних низова гдје иза оне три тачке можемо ставити
посљедње члан, овдје то није могуће.
Навести ћемо још неколико низова:
1,
х
1
!
,
х
²
2
!
, ..., x
n
/n!,
х
1
!
, -х
3
/3!, х
5
/5!, ..., (-1)
n-1
x
2n-1
/(2n-1), ...
1, -
х
²
2
!
, x
4
/4!, ..., (-1)
n
x
2n
/2n
!, ...
Општи облик бесконачног низа је
