3
Uvod :
Funkcija
Pojam funkcije
Neka su A i B dva neprazna skupa . ako je nekim propisom f svakom element x
skupa A pridružen samo jedan element y skupa B, onda kazemo da je time zadata
funkcija na skupu A sa vrednostima u skupu B.
Polazni skup A zovemo domen ili područje definisanosti funkcije f, a dolazni skup
B zovemo kodomenom ili područjem vrednosti funkcije f.
Ako je element xεA pridružen element yεB , posredstvom funkcije f, to simbolčki
oznacavamo sa f : x
y ili f(x)=y .
Element x je nezavisno promenljiva , a y je zavisno promenljiva ili slika elementa
x u odnosu na funkciju f. Skup svih slika f(x) zovemo skupom vrednosi funkcije f
ili njenom slikom u skupu B. Taj skup obeležavamo simbolički sa f(A) I precizno
ga definišemo sa :
f(A)={y=f(x)εB:xεA}
Funkcije može biti zadata eksplicitno:
y=f(x), xε
D
kada je zavisno promenljiva direktno izražena preko nezavisno promenljive, ili
implicitno
f(x,y)=0, xε
D
kada je veza između nezavisno i zavisno promenljive zadata navedenom
jednačinom. U oba slučaja kazemo da je funkcija zadata analitički.Drugi na čin
zadavanja funkcije je tabelarni i on je najčešći kod ispitivanja, kada od podatka o
funkciji imamo samo konačan skup uređenih parova (x,f(X)), dobijenih merenjem ,
prebrojavanjem i tako dalje. Funkciju možemo zadati i preko njenog grafikona.
4
Rešavanje funkcije je slozena matematička radnja koja se sastoji iz nekoliko etapa
ili tačaka. Najbitnije je tačno odrediti domen funkcije,oblast definisanosti, jer od
nje zavisi ceo ishod zadate funkcije. Svaka funkcija ima svoj grafik,zato je bino
odrediti granične vrednosti i neprekidnosti funkcije koja je zadata.
Granične vrednosti funkcije
Pojam limesa(granična vrednost) je onaj granični pojam koji razdvaja “višu“
matematiku od “elementarne“, i spada među najvažnije pojmove mnogih
matematičkih disciplina, specijalnog diferencijalnog i integralnog računa.
Pomoću granične vrednosti funkcije definišu se
pojmovi neprekidnosti, izvoda i određenog integrala. Pored toga značaj granične
vrednosti se ogleda u tome što je pomoću nje moguće analizirati ponašanje i
vrednost funkcije u okolini neke tačke čak i kada funkcija u samoj toj tački nije
definisana.
Neformalno rečeno, funkcija ima graničnu vrednost
L
u tački
p
kada je vrednost
funkcije „blizu“
L
kad god je vrednost nezavisne promenljive „blizu“
p
. Drugim
rečima, kada se funkcija primeni na vrednost
dovoljno blizu
vrednosti
p
, rezultat
je
proizvoljno
blizu vrednosti
L
. Ukoliko se vrednosti funkcije za tačke u
okolini
p
veoma razlikuju (ako se ne „stabilizuju“ oko neke određene vrednosti)
kaže se da funkcija nema graničnu vrednost.
Neka je
f
funkcija
realne
promenljive sa vrednostima u skupu realnih brojeva i
neka je tačka
a
iz proširenog skupa realnih brojeva (skup realnih brojeva koji
uključuje negativnu i pozitivnu beskonačnost)
tačka nagomilavanja
nekog
podskupa realnih brojeva
A
, a
b
takođe tačka iz proširenog skupa realnih brojeva.
Tačka
b
je granična vrednost funkcije
f
u tački
a
(tj. kada
argument
funkcije teži
vrednosti
a
), što se označava kao
f(x)
l, kada x
a ili lim(kada x tezi ka a) f(x)=l
ako za svaku okolinu
V
(
l
) tačke
b
postoji okolina
U
(
a
) tačke
a
takva da se
vrednost funkcije za svaku tačku iz
U
(
a
) nalazi u
V
(
l
).
definicija limesa iskazana posredstvom limesa: broj l je limes funkcije f kada x teži
ka
a
, ako za svau ɛ okolinu N(l,ɛ) broja l postoji δ okolina N(a,b) broja
a
takva da
je iz x єN(a,b), (x≠a) sledi f(x)єN(l,ɛ).
6
Limes kada x
∞
Definicija 1. Kažemo da je f(x) ima lim l kad x teži beskonačnosti ako za svako
ɛ>0 postoji pozitivan broj A takav da je │f(x)-l│<ɛ za svako x>A piše se lim
f(x)=l
Ovde imamo tri mogućnosti:
1. f(x)=1/x teži ka 0 kad x
∞
2. f(x)=x-1/x+1 za svako x≠-1
3. f(x)=cosx/x za svako x≠0 I za x>0
definicija 2.limf(x)=l
za ɛ>0 postoji A<0 tako da je │f(x)-l│<ɛ za x<A.
Beskonačni limes
Limes teži beskonacno ako je x=0. Takođe limes moze da teži
∞
i
−
∞
.
Slika. Primer kako izgleda grafik kada limes teži
−
∞
ili
∞
.
