Greške merenja

Greške prilikom merenja

Uvod

Dublje   poznavanje   i   objašnjenje   osobina   pojava   i 

procesa u prirodi moguće je samo ako se, pored njihovog 

opisivanja   i   kvalitativnog   karakterisanja,   oni   ispituju   i 

kvantitativno.   Za   karakterisanje   većine   procesa   u   prirodi 

koriste   se   fizičke   (dužina,   vreme,   masa,   toplotna 

provodljivost, gustina...) ili hemijske (koncentracija, aktivnost, 

rastvorljivost,....) veličine. Fizičke i hemijske veličine su sve 

one   osobine   objekata   ili   procesa   u   prirodi   koje   se   mogu 

izmeriti

. 

Merenje   je   operacija   kojom   se   neka   nepoznata 

veličina, posredno ili neposredno, upoređuje sa veličinom iste 

vrste koja je izabrana za jedinicu te veličine. Dakle, merenjem 

se određuje koliko puta se odabrana jedinica sadrži u veličini 

koja   se   meri,   a   kao   rezultat   merenja   se   dobija   brojna 

vrednost.   Da   bi   se   merenje   moglo   izvršiti,   potrebno   je 

definisati   jedinicu   (etalon)   za   datu   veličinu   i   utvrditi   način 

upoređivanja date veličine sa jedinicom. 

Samo   mali   broj   fizičkih   veličina   se   može   izmeriti 

neposrednim upoređivanjem sa etalonom ili kopijom etalona. 

Te fizičke veličine su dužina i masa. Za merenje ostalih fizičkih 

i hemijskih veličina, potrebne su specijalne sprave za merenje 

koje se zovu 

merni instrumenti

. 

Merenja koja se mogu izvršiti pomoću mera ili mernih 

instrumenata   neposrednim   upoređivanjem   se   nazivaju 

direktna merenja

. Primeri direktnih merenja su: određivanje 

dužine   metrom,   merenje   vremena   hronometrom,   merenje 

mase vagom itd. Međutim, najveći broj fizičkih i hemijskih 

veličina se ne može direktno meriti, već se njihova brojna 

vrednost određuje pomoću drugih veličina koje se direktno 

mere. Ovakav tip merenja se naziva  

indirektnim merenjem

. 

Jedan   primer   indirektnog   merenja   je   merenje   brzine.   Pri 

merenju brzine se direktno meri pređeni put (dužina) i vreme 

za koje je taj put pređen, a brzina se (po formuli) izračunava 

kao   količnik   pređenog   puta   i   vremena   za   koje   je   taj   put 

pređen. 

Jedna   od   najvažnijih,   ako   ne   i   najvažnija,   osobina 

rezultata merenja je da se oni ne mogu dobiti sa proizvoljno 

velikom   tačnošću.   Vrednosti   koje   se   dobijaju   kao   rezultati 

merenja su 

 približne 

 vrednosti i one se mogu izraziti samo 

ograničenim brojem cifara čija je tačnost zagarantovana. 

Primer:

  Merenjem mase dva tela je dobijeno da je 

masa tela A m

A

=23,2 g, a masa tela B je m

B

=34,6 g. Medjutim, 

kada   su   oba   tela   stavljena   na   isti   tas   terazija   i   izmerena, 

dobija se da je m

A+B

  =57,9 g! Ovaj rezultat se razlikuje od 

rezultata za masu tela koji se dobija prostim sabiranjem masa 

m

A

 i m

B

! Prema klasičnoj mehanici, masa je aditivna veličina te 

m

A+B

 mora biti jednako m

A

+m

B

. U čemu je problem?

Ako   se   opisana   merenja   ponove   precizinijim   terazijama, 

dobija se da je m

A

=23,23 g,  m

B

=34,62 g, a m

A+B

=57,87 g. Vidi 

se da je razlika između m

A

+m

B

  i m

A+B

  sada svega nekoliko 

stotih delova grama, dok je u prethodnom slučaju bila 0,1 g. 

Interesantni rezultati se dobijaju i ako se masa jednog tela 

(recimo tela A) izmeri nekoliko puta na preciznijim terayijama. 

Dobijaju se rezultati: 23,21 g, 23, 23 g, 23, 21g, 23, 24 g.... Ovo 

je posledica ograničene tačnosti merenja mase upotrebljenim 

terazijama jer se stoti delovi grama ne mogu ustanoviti sa 

sigurnošću.   Dakle,   relacija   m

A

+m

B

=m

A+B

  je   tačna   samo   u 

granicama   eksperimentalne   greške.   Posledica   je   da 

eksperimentalni   rezultati   (merenja)   imaju   manje   ili   veće 

greške.   Greške   su   posledica   nesavršenosti   i   ograničene 

tačnosti instrumenata, mernih metoda, nepotpunosti znanja, 

nepripremljenosti eksperimentatora, itd. 

Opisani primer pokazuje da rezultat merenja (u ovom 

slučaju mase) nije potpun ukoliko se napiše samo kao jedan 

broj,   već   je   potrebno   napisati   i   u   kom   intervalu   se   može 

očekivati rezultat merenja. Na primer, ako se terazijama koje 

posledica   zanemarivanja   spoljašnjih   faktora   (temperatura 

okoline,   vibracije,   atmosferski   pritisak,   strujanje   vazduha, 

nekontrolisana   električna   ili   magnetna   polja...).   Iskusan   i 

sposoban   eksperimentator   može   otkloniti   većinu 

sistematskih greški ili bar može da oceni njihovu veličinu. 

Slučajne   (neizbežne)   greške   se   javljaju   kod   svih 

merenja i ne mogu se ni na koji način izbeći. Karakteristika 

slučajnih grešaka je da se njihova veličina i znak menjaju od 

merenja do merenja. Ako je osetljivost instrumenta ili metode 

pri   merenju   mala,   slučajne   greške   nisu   primetne,   ali   sa 

porastom   osetljivosti   metode,   slučajne   greške   postaju 

dominantni izvor neslaganja merenog i tačnog rezultata. 

Nepoznate promene temperature, vlažnosti vazduha, 

atmosferskog   pritiska,   napona   mreže,   mehaničke   vibracije 

usled   uličnog   saobraćaja   itd.   su   najčešći   izvori   slučajnih 

grešaka. Analiza konkretnih uslova merenja može pomoći da 

se slučajne greške svedu na najmanju meru, ali ne i da se u 

potpunosti otklone. 

Brojnim ponavljanjem merenja iste veličine dobijaju se 

rezultati   koji   variraju   od   jednog   merenja   do   drugoga,   a 

isključivi   uzrok   tome   su   slučajne   greške,   odnosno   velika 

osetljivist instrumenta ili metode. Empirijski je utvrđeno da se 

ove greške pokoravaju statističkim zakonima, te je moguće 

koristiti statističke metode zasnovane na teoriji verovatnoće. 

Tretiranjem   rezultata   merenja   statističkim   metodama, 

dobijaju   se   vrednosti   koje   su   pouzdanije   od   bilo   kog 

pojedinačnog   rezultata   merenja.   Pomoću   ovih   metoda   se 

može proceniti i veličina slučajne greške, o čemu će biti reči 

kasnije u ovom poglavlju. 

Apsolutna i relativna greška merenja

Kao što je već napomenuto, rezultati merenja imaju 

ograničenu   tačnost.   Usled   nesavršenosti   ljudskih   čula, 

postupaka,   mernih   instrumenata   i   metoda   merenja, 

eksperimentalni rezultati su uvek približne vrednosti. U kojoj 

meri će rezultati biti pouzdani zavisi od tačnosti upotrebljenih 

metoda   merenja   i   instrumenata   i   od   ličnih   sposonosti 

eksperimentatora. 

Pri   korišćenju   eksperimentalnih   rezultata   uvek   se 

mora   znati   stepen   njihove   pouzdanosti,   odnosno   veličina 

neizvesnosti (neodređenosti) tih brojeva. Ranije je naglašeno 

da   se   merenjem   ne   dobija   samo   jedna   oštro   definisana 

vrednost, već ceo niz brojeva koji čine širi ili uži interval oko 

izmerene vrednosti. Što je ovaj interval uži, tačnost merenja 

je veća. Ako se prilikom merenja ne odredi ovaj interval, onda 

je tačnost merenja nepoznata i sam rezultat nema nikakvu 

vrednost. Prema tome, da bi se odredila pouzdanost nekog 

rezultata, mora se proceniti veličina greške (neodređenosti) 

koju   sadrži   rezultat.   Dakle,   pod   greškom   nekog   rezultata 

merenja   podrazumeva   se   veličina   koja   pokazuje   kolika   je 

neodređenost tog rezultata.

Greška rezultata se kventitativno izražava na različite 

načine,   koji   zavise   od   toga   koja   je   matematička   definicija 

neodređenosti rezultata usvojena. Iako ima nekoliko različitih 

definicija koje su u upotrebi, uglavnom sve greške mogu biti 

izražene u  

apsolutnom  

  ili  

relativnom

  iznosu ili u  

procentima

. 

Stoga se najčešće koriste 

apsolutna

, 

relativna

 i 

procentna 

greška. 

Apsolutna   greška   (greška   u   apsolutnom   iznosu) 

direktno   predstavlja   procenjenu   vrednost   neizvesnosti 

rezultata merenja, to je imenovan broj, ima iste dimenzije i 

izražava se istom jedinicom kao i merena veličina. Relativna 

greška   (frakciona   greška)   predstavlja   neizvesnost   rezultata 

izraženu   kao   deo   merene   veličine.   Relativna   greška   je 

kvantitativno definisana kao količnik apsolutne greške  



A i 

vrednosti A dobijene merenjem:

Prema tome, relativna greške je brojno jednaka apsolutnoj 

greški čija je je vrednost jedinica ili, rečeno na drugi način, 

Greška   indirektno   merene   veličine   (veličine   koja   se 

računa   iz   formule)   zavisi   kako   od   veličine   greški   direktno 

merenih veličina, tako i od oblika zavisnosti te veličine od 

direktno merenih veličina. Ukoliko se merenje ponavlja mali 

broj puta (što je najčešće i slučaj), pri ovakvim merenjima je 

dominantna uloga sistematskih grešaka. 

Kao   što   je   ranije   rečeno,   svaka   direktno   merena 

veličina   je   jednoznačno   povezana   sa   greškom   merenja. 

Ukoliko merimo više od jedne direktno merene veličine, a 

veličinu koja nas interesuje računamo po formuli, postavlja se 

pitanje kako se može izračunati (proceniti) greška indirektno 

merene veličine. 

Najjednostavniji način za određivanje greške rezultata 

indirektnog   merenja   je   preko   relativne   greške   direktnih 

merenja.   Naime,   ukoliko   se   izraz   koji   predstavlja   relaciju 

između indirektne i direktno merenih veličina logaritmuje, a 

potom   diferencira,   dobija   se   formula   kojom   se   može 

izračunati   zavisnost   relativne   greške   indirektno   merene 

veličine od direktno merenih veličina

1

. Pošto je u uvodnom 

delu   ovog   poglavlja   merenje   brzine   navedeno   kao   primer 

indirektno   merene   veličine,   na   ovom   primeru   će   biti 

objašnjeno računanje greške indirektno merene veličine. 

Brzina v se računa po formuli  

, 

(1)

gde je S – pređeni put (direktno merena veličina), a t – vreme 

za koje je taj put pređen (takođe direktno merena veličina). 

Primenom   gorenavedenog   recepta,   prvo   ćemo   da 

logaritmujemo i levu i desnu stranu jednačine (1) i dobijamo

. 

(2)

1

 V. Vučić i M. Todorović, «Osnovna merenja u fizici», Nauka, 

Beograd, 2000