MATEMATIČKI FAKULTET - BEOGRAD
SEMINARSKI RAD IZ METODIKE
NASTAVE MATEMATIKE 2
Tema:
Greške velikih matematičara
Student:
Profesor:
Jovanović Iva 232∕03 Zoran Lučić
B e o g r a d
Jun 2008.
Sadržaj
Greške .……………………………………………………………….. 3
Aristotelova greška ....…………………………………………... 3
Greške u oblasti teorije brojeva .....………………………………....... 3
Fermaov propust ..........…………………………………………. 3
U suprotnom smeru obavezno (ne)važi ..……………………….. 4
Ilustracija pogrešnog zaključivanja ...……………………..……. 5
Mersenovi brojevi .....…………………....…………………....... 6
Savršeni brojevi, ali samo parni ...........………………………… 6
Od 0 do 9 ......................………………………………............... 8
(Ne)rešivi problem …….………………………………………. 9
Neka rešenja se (ne) mogu zanemariti ...……………...……….. 9
Brojevi iz mašte …..………………....………………………. 10
Greške u oblasti teorije verovatnoće .…….………………………. 11
Glava, pismo, glava ... pojavilo se STOP! .....……………..... 11
Zanimljivi problemi praćeni greškama ....….…………….………. 13
Literatura ……….………………….............................................…. 16
1
G r e š k e
Aristotelova greška
Jedan od najstarijih i najtežih matematičkih problema, iz geometrije, je popunjavanje
prostora spajanjem poliedara bez praznina ( „pukotina“ ). Ovaj problem ima dugu i zanimljivu
istoriju koja vuče korene od naroda starog veka i Platonove teorije materije.
Aristotel je prvi proučavao ovaj problem. On je tvrdio da i tetraedar, a ne samo kocka,
popunjava prostor. Ovo tvrđenje je netačno, mada je greška otkrivena mnogo posle Aristotela.
slika 1. pravilni tetraedar ne popunjava prostor u potpunosti
M. Senechal je proučavao problem popunjavanja prostora i pokazao da pravilni tetraedri ne
mogu da popune prostor bez pukotina. Četiri strane tetraedra su jednakostranični trouglovi iz
čega sledi da je njihov diedarski ugao ( ugao između susednih strana )
jednak arccos (1 / 3), ili
70
32
. Ako bi se pet tetraedara postavilo oko jedne ivice, pojaviće se pukotina čija je
ugaona mera
manja od
, iz čega sledi da pravilni tetraedri ne popunjavaju prostor kada se
postave „licem u lice“. Ako bi uređenje bilo drugačije vrednost diedarskog ugao bi bila
–
, a
tu pukotinu ponovo ne bi mogli da popunimo pravilnim tetraedrom.
Greške u oblasti teorije brojeva
Fermaov propust
Veliki francuski matematičar Pjer Ferma dao je neke od najznačasjnijih doprinosa
matematici u oblasti teorije brojeva. On je obogatio matematiku sa dosta novih teorema. Sve
njegove teoreme su do sada dokazane, tj. potvrđene, uključujući i
Fermaovu poslednju teoremu
.
Ipak postoji jedan izuzetak, a to je Fermaova
teorema o binarnim stepenima
.
3
U pismu Kenelenu Digbiju 1658. godine, Ferma je dao pretpostavku da su brojevi oblika
F
n
=
,
danas poznati kao Fermaovi brojevi, prosti brojevi.
F
0
= 3,
F
1
= 5,
F
2
= 17,
F
3
= 257,
F
4
= 65 537 i pretpostavka je tačna za
n
= 0, 1, 2, 3, 4. Međutim, švajcarski matematičar Ojler je
1732. godine pokazao da za
n
= 5 Fermaova formula daje sledeći rezultat:
F
5
= 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417,
što znači da
F
5
nije prost broj. Do sada nije pronađen nijedan novi Fermaov prost broj. Svi
dosadašnji rezultati ukazuju na pretpostavku da je
F
n
složen broj za
n
> 4.
Interesantna stvar vezana za Fermaov broj
F
5
tiče se Zire Kolberna, čoveka koji je
posedovao neverovatnu sposobnost da vrlo brzo računa napamet. Kada su mu postavili pitanje
da li je Fermaov broj
F
5
= 4 294 967 297 prost, odgovorio je da nije jer ima delilac 641. Ovaj
čovek iako dajući tačne odgovore nije umeo da objasni na koji način je dobijao rezultate.
Maren Mersen je takođe tvrdio da Fermaovi brojevi uvek daju proste brojeve.
Nemački matematičar Karl Fridrih Gaus je pokazao da se pravilni
n
– tostrani poligon
može konstruisati Euklidovim alatom, samo pomoću šestara i lenjira, ako i samo ako je broj
n
oblika
n
= 2
m
p
1
p
2
· · · p
k
,
gde je
m
nenegativan ceo broj a
p
1, . . . ,
p
k
različiti Fermaovi prosti brojevi, ili je
n
= 2
m
(
m
> 1).
To znači da se pravilni poligoni sa 3, 5, 17, 257 i 65 537 stranica mogu konstruisati pomoću
šestara i lenjira. Ovo Gausovo otkriće povećalo je opšte interesovanje za Fermaove proste
brojeve. Gaus je u 19. godini konstruisao pravilan poligon sa 17 stranica. Postoji i veliki broj
Euklidovih konstrukcija poligona od 17 ( =
F
2
) staranica. 1832. godine F. J. Rihelot iz
Keninsberga je proučavao konstrukciju pravilnog poligona od 257 stranica. Na
najkomplikovaniji slučaj, konstrukciju pravilnog poligona od 65 537 stranica, matematičar
Osvald Hermes je potrošio deset godina svog živata.
U suprotnm smer obavezno (ne)važi
1640. godine Pjer Ferma je otkrio, a Leonard Ojler je 1736. godine dokazao svojstvo
danas poznato kao
Mala Fermaova teorema
:
„Ako je p prost broj i a proizvoljan prirodn broj, tada je a
p
– a deljivo sa p.“
Ovo dokazujemo na sledeći način. Neka je
p
prost broj. Za
a
= 1 tvrđenje je tačno.
Pretpostavimo da je
p
delilac broja a
p
– a i dokažimo da je
p
takođe delilac broja
(a + 1)
p
– (a +1). Korišćenjem binomne formule dobija se
(a + 1)
p
– (a +1) = (a
p
– a) +
,
4
