INTEGRALNI RAČUN
5.1 Neodređeni integrali
Ranije smo videli da je osnovni zadatak diferencijalnog računa bio da
se od date funkcije
F x
nađe izvod te funkcije
'
F x
odnosno
'
.
F x
f x
U integralnom računu jedan od osnovnih zadataka je upravo obratan
prethodnom, tj. da se od poznate funkcije
f x
nađe takva funkcija
F x
čiji će izvod biti jednak poznatoj funkciji
.
f x
Funkcija
F x
čiji je izvod jednak poznatoj funkciji
f x
nazivamo
primitivna funkcija u značenju “prvobitni” (lat.
primitivus
).
Prema tome, određivanje primitivne funkcije
F x
čiji je izvod
poznata funkcija
f x
predstavlja matematičku operaciju koju
nazivamo integracija, a tako definisanu funkciju
F x
nazivamo
neodređeni integral i simbolički označavamo sa
.
f x dx
F x
Simbol
liči na izduženo slovo S (prvo slovo reči suma). Kasnije
ćemo videti i vezu neodređenog integrala sa sumom.
Tablica osnovnih integrala
U nekim slučejevima integrali pojedinih funkcija lako se određuju na
osnovu pravila izvoda. Imajući to u vidu, možemo sastaviti sledeću
tablicu osnovnih integrala:
1.
c
x
dx
2.
c
n
x
dx
x
n
n
1
1
za
1
n
3.
c
x
x
dx
ln
4.
c
e
dx
e
x
x
5.
c
a
a
dx
a
x
x
ln
0
a
6.
c
x
xdx
cos
sin
7.
c
x
xdx
sin
cos
8.
c
tgx
x
dx
2
cos
9.
c
ctgx
x
dx
2
sin
10.
2
2
1
dx
x
arctg
c
x
a
a
a
,
0
a
11.
c
a
x
a
x
a
a
x
dx
ln
2
1
2
2
,
0
a
Funkcija
f x
ima beskonačno puno primitivnih funkcija, koje se
razlikuju za konstantu
c
. Ta konstanta c zove se aditivna ili “dodatna”
(lat.
addere
). Upravo je to I razlog što se rezultat integracije naziva
neodređeni integral.
Osobine neodređenih integrala
a)
( )
( )
d
f x dx
f x dx
;
ili izraženo rečima:
jednakost
3 2
t
x
, pa je
2
dt
dx
, odakle je
1
2
dx
dt
kao što
je urađeno između uglastih zagrada.
10
9
9
10
3 2
1
1
1
3 2
2
(3 2 )
2
2 10
20
1
2
x
t
t
x dx
dx
dt
t dt
C
x
C
dx
dt
Metoda delimične (parcijalne) integracije
Poznato nam je da je diferencijal proizvoda funkcija u=
u(x)
I v=
v(x)
jednak
:
udv
vdu
v
u
d
)
(
,
odakle je
(
)
udv
d u v
vdu
integracijom obe strane jednakosti dobija se:
.
udv
uv
vdu
udv
vdu
v
u
d
)
(
.
Na ovoj formuli se zasniva metod delimične integracije. Funkciju
( )
f x dx
u integralu
( )
f x dx
napišemo u obliku ( )
( )
u x dv x
, pri čemu
smo funkcije
u
i
v
pogodno odabrali, odnosno tako da je integral
( )
( )
v x du x
jednostavniji za izračunavanje od polaznog integrala.
Izbor zamene bitan je preduslov za efikasno rešavanje integrala
metodom delimične integracije.
