SADRŽAJ:
TEMA
: IZBOR FUNKCIJE TRENDA NA PRIMJERU
Strana:
1. UVOD.................................................................................................................................. 2
1.1 PROBLEM, PREDMET I OBJEKAT ISTRAŽIVANJA........................................... 2
2. TREND................................................................................................................................ 3
3. LINEARNI TREND............................................................................................................ 4
4. PARABOLIČNI TREND.................................................................................................... 7
5. EKSPONENCIJALNI TREND........................................................................................... 9
6. STANDARDNA GREŠKA KOD TRENDA..................................................................... 10
7. IZBOR FUNKCIJE TRENDA NA PRIMJERU................................................................ 12
7.1 PRIMJER 1.................................................................................................................. 12
7.2 PRIMJER 2.................................................................................................................. 23
7.3 PRIMJER 3.................................................................................................................. 26
7.4 PRIMJER 4.................................................................................................................. 29
7.5 PRIMJER 5.................................................................................................................. 31
8. ZAKLJUČAK..................................................................................................................... 34
9. LITERATURA................................................................................................................... 35
izbor funkcije trenda na primjeru
diplomski rad
2
1. UVOD
1.1. Problem, predmet i objekat istraživanja
U okviru diplomskog rada obrađena je tema „ Izbor funkcije trenda na primjeru“. Od
svih statističkih metoda dinamičke analize masovnih pojava metod trenda je najkompleksniji,
pa se može reći i da je to najznačajniji metod analize vremenskih serija. Naziv trend potiče iz
engleskog jezika i u nešto pojednostavljenom prevodu znači ¨nešto što se kreće¨ Metod kojim
se prikazuje tendencija razvoja posmatrane pojave u posmatranom vremenskom periodu
naziva se Trend. On je linija osnovne tendencije kretanja neke pojave u određenom
vremenskom periodu. Obzirom da se to kretanje iskazuje prosječnim vrijednostima može se
kazati da je trend dinamička srednja vrijednost.
U prvom dijelu diplomskog rada obuhvaćena je problematika trenda, gdje je istaknuta
definicija trenda kao linija osnovne tendencije kretanja neke pojave u određenom vremenskom
periodu. Obzirom da se to kretanje iskazuje prosječnim vrijednostima može se kazati da je
trend dinamička srednja vrijednost. U okviru trenda obradila sam vrste trenda.
U drugom dijelu obrađen je linearni trend, koji pokazuje tendenciju kretanja pojave
gdje se u različitim vremenskim razdobljima javlja razlika koja je konstantno ista. Ako je ova
razlika iz perioda u period približno ista tada je opći oblik funkcije koja odgovara tome
kretanju.
U trećem dijelu prikazana je važnost krivolinijskog trenda, koji se još zove i nelinearni
trend.
Kada nam dijagram rasturanja pokaže da se kretanje posmatrane pojave ne odvija
pravolinijski, onda metod pravolinijskog trenda neće biti podesan za izražavanje centralne
tendencije toka i razvoja te pojave. U takvim slučajevima treba da odaberemo neku od
krivolinijskih funkcija. Najčešće su to parabolična ili eksponencijalna funkcija.
U četvrtom dijelu diplomskog rada govori se o paraboličnom trendu. On se koristi u
slučajevima kada pojava u koordinatnoj ravni pokazuje tendenciju zauzimanja krivolinijskog
izbor funkcije trenda na primjeru
diplomski rad
4
vrijednosti linearno u odnosu na ose koordinatnog sistema, koristi se linearni trend.
2
U
drugom slučaju, kada se podaci kreću slično paraboli, primijenit će se parabolični trend, itd.
Naravno, podaci nisu uvijek dati eksplicite, tako da se može bez poteškoća donijeti zaključak
o vrsti modela. Zato se često donosi zaključak na osnovu standardne greške trenda koja
upućuje na reprezentativnost modela. Male vrijednosti standardne greške govore o visokoj
reprezentativnosti pojave, i obratno.
Kada te nove teorijske podatke unesemo između originalnih podataka serije, vršimo
operaciju
interpolaciju
trenda. Za razliku od ovoga,kad na bazi tih novih, ispravljenih
podataka i matematičke funkcije pomoću kojih smo te podatke izračunali vršimo
izračunavanje budućih kretanja posmatrane pojave izvan vremenskog raspona u kome je data
serija originalnih podataka, kažemo da je to
ekstrapolacija trenda.
Prema tome, pod pojmom ekstraolacija podrazumevamo svako procenjivane nivoa
posmatrane pojave izvan vremenskog raspona u kome je data serija osnovnih podataka,bilo da
je to procenjivanje za buduće ili prošlo vreme.
Na osnovu operacije ekstrapolacije trenda vršimo, procenjivanje, predviđanje prognozu
kretanja pojave za one periode za koje najčešće nemamo originalnih podataka. To se vrši
najčešće za neki budući period, pa se odatle i najznačajnija karakteristika trenda kao metoda
za procenu budućih kretanja.
3. LINEARNI TREND
Kada vremenska serija pokazuje pravolinijsku tendenciju, najbolje će je reprezentovati
linearni trend, odnosno funkcija prave.
Teorijska funkcija linearnog trenda je
:
2
Dr. Mileva Žižić, dr. Miodrag Lovrić, dr. Dubravka Pavilišić, Metodi statističke analize, drugo izdanje,
Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet, Beograd, 1993
izbor funkcije trenda na primjeru
diplomski rad
5
a ocjenjena
,
Ovde se kao nezavisna promjenljiva uzima i posmatra vrijeme, označava se sa x, dok je
kao njegova funkcija sa oznakom y izražena vrijednost trenda za svaki period ili vremensku
jedinicu. Parametri
a
i
b
predstavljaju veličine koje trba da se izračunaju za svaki konkretni
slučaj kao karakteristični elementi koji određuju položaj i nagib linije trenda. Parametar a
pokazuje vrijednost trenda u ishodištu (tj. kada je X=0), dok parametar b kao koeficijent
pravca pokazuje stalnu veličinu porasta ili opadanja trenda od jednog perioda do drugog.
3
Metod trenda se često naziva metodom najmanjih kvadrata. Ovo je zato što je zbir
kvadratnih odstupanja empirijskih podataka od linije trenda jednak minimumu:
Slično se može iskazati osobina da je zbir odstupanja empirijskih vrijednosti od
vrijednosti trenda jednak nuli:
Ako uvrstimo u prethodni izraz vrijednosti
dobija se:
.
Računajući prvu parcijalnu derivaciju po prvoj a zatim drugoj varijabli, dobit ćemo:
3
Dr. Branislav Ivanovi, Teorijska statistika, drugo izdanje, Beograd, 1979. Godine
izbor funkcije trenda na primjeru
diplomski rad
7
Iz čega se dobijaju, koeficijenti a i b
Za izračunavanje trenda potrebne su tri faze koje su nedjeljive i to: analitičko
određivanje funkcije trenda; računsko izračunavanje elemenata i vrijednosti trenda i grafičko
prikazivanje rezultata.
Kada nam dijagram rasturanja pokaže da se kretanje posmatrane pojave ne odvija
pravolinijski, onda metod pravolinijskog trenda neće biti podesan za izražavanje centralne
tendencije toka i razvoja te pojave. U takvim slučajevima treba da odaberemo neku od
krivolinijskih funkcija. Najčešće su to parabolična ili eksponencijalna funkcija.
4. PARABOLIČNI TREND
Parabolični trend se koristi u slučajevima kada pojava u koordinatnoj ravni pokazuje
tendenciju zauzimanja krivolinijskog rasporeda. Na primjer: kretanje pojave u okviru
posmatranog perioda odvija se u početku brže a zatim sporije ili obrnuto.
Teorijska funkcija paraboličnog trenda je:
a ocjenjena
,
čije koeficijente a, b i c treba odrediti metodom najmanjih kvadrata i sistema normalnih
jednačina:
