ANALIZA 1 – Izvod funkcije
Izvod funkcije
Pojam izvoda funkcije
Pojam izvoda nastao je iz problema tangente krive linije i problema brzine kretanja. Prvi
problem doveo je Lajbnica (1646-1716), a drugi problem doveo je Njutna (1642-1727), do
pojma izvoda, gotovo u istom vremenskom periodu, mada su radili nezavisno jedan od
drugoga.
Mnogi matematičari pre Lajbnica su pokušavali da reše problem
tangente. Karakteristično za njih je to, da su sadržali takve
analitičke i geometrijske postupke koji pokazuju da u nastojanju
rešavanja ovog problema tangente, nužno se rađa pojam izvoda.
U takvim pokušajima se često javlja ideja da se tangenta linije
shvati kao granična kojoj teži sečica krive, kada se jedna od
presečnih tačaka po krivoj, drugoj presečnoj tački. Osnovni
problem na koji su prethodnici Lajbnica nailazili, kada su pokušali
da reše problem tangente ili kada su ga delimično rešili (kao
Dekart za algebarske krive) ležala je u prirodi računa sa
beskrajno malim veličinama.
Shvativši duboko značaj i smisao Dekartove promenljive, a pri tom ovladavši zakonitostima
računa sa beskonačno malim veličinama, Lajbnicu je definitivno pošlo za rukom da reši
problem tangente uvodeći pojam izvoda odnosno diferencijala (Nova Methodus pro maximus
itenigue tangetibus et singulare pro illis calculi genus 1684).
Dok se Lajbnic bavio problemom tangente, Njutn se bavio problemom
brzine koji ga je doveo do pojma izvoda funkcije. U svojoj raspravi Metod
fluxia i beskrajnih redova, Njutn se najpre bavi rešavanjem problema
pronalaženja brzine kretanja u datom trenutku vremena kada je pređeni
put poznat kao funkcija vremena. Veličina koja, za njega, neprekidno
zavisi od vremena Njutn naziva fluentom (fluere=teći), a brzinu kojom se
menja fluenta u toku vremena fluxia (fluxio=strujanje, tečenje). Kao
tipičan primer, Njutn uzima put pokretne tačke. Dakle, Njutn je došao do
pojma fluksije, odnosno izvoda, studirajući problem kretanja, što je
odigralo značajnu ulogu u razvoju mehanike tokom XVII i XVIII veka.
1
ANALIZA 1 – Izvod funkcije
Priraštaj funkcije
Posmatrajmo (neprekidnu) krivu u
xOy
ravni, zadatu jednačinom
y
=
f
(
x
)
. Neka je
M
0
(
x
0
,
y
0
)
proizvoljna fiksirana tačka na toj krivoj .
Da bismo definisali pojam tangente date krive u tački
M
0
, posmatrajmo još jednu tačku
M
1
(
x
,
y
)
te krive, različitu od
M
0
. Pravu
M
1
M
0
zvaćemo
sečicom
date krive. Nagib te krive,
određen je njenim
koeficijentom pravca
koji je jednak:
Ako uzmemo u obzir da je
y
0
=
f
(
x
0
)
i
y
=
f
(
x
)
, prethodnu formulu možemo napisati u obliku
Izraz u imeniocu ovog razlomka označavaćemo sa
Δ
x
i zvaćemo priraštajem nezavisne
promenljive,
Δ
x
=
x
−
x
0
, a izraz u brojiocu označavaćemo sa
Δ
y
ili
Δ
f
(
x
)
i zvaćemo
2
ANALIZA 1 – Izvod funkcije
onda kažemo da je funkcija f
diferencijabilna u tački
x
0
, a taj limes nazivamo
izvodom
funkcije
f
u tački
x
0
i označavamo sa
Neprekidnost funkcije
Funkcija
f
je neprekidna u
x
0
ako i samo ako važi:
u tački neprekidnosti
x
0
. Na drugi način zapisano,
Navedeni uslov je očigledno neophodan da bi mogla da postoji (konačna) granična vrednost
Δ
f
(
x
0)/Δ
x
koja definiše izvod funkcije
f
u tački
x
0
. Na taj način, važi:
Teorema 1.
Ako je funkcija
f
diferencijabilna (ima izvod) u tački
x
0
, tada je ona neprekidna u
toj
tački.
Neprekidnost je neophodan uslov diferencijabilnosti. Da taj uslov nije i dovoljan, pokazuje
sledeći primer:
Funkcija
f
(
x
)=|
x
|
je neprekidna u tački
x
0
=0
. Količnik priraštaja funkcije
f
i argumenta
x
u
toj tački iznosi
={1 za Δ
x
>0; −1 za Δ
x
<0
pa ne postoji njegova granična vrednost kad
Δ
x
→0
, jer je
Dakle, ova funkcija nema izvod u tački
x
0
=0
. Geometrijski to znači da njen grafik nema
tangnetu u tački
(0,0)
- može se reći da on ima levu i desnu polutangentu.
4
