INTERNACIONALNI UNIVERZITET U GORAŽDU
FAKULTET DRUŠTVENIH NAUKA
STUDIJSKI PROGRAM: MENADŽMENT
PREDMET: MATEMATIKA
SEMINARSKI RAD
TEMA: IZVOD FUNKCIJE
MENTOR: STUDENT:
Dr.Prof.Marinko Markić Kurtović Nedim
Ass.Amina Fejzić
Goražde , decembar 2016.g.
1. POJAM IZVODA
Potreba za izvodom funkcije javila se prilikom pokušaja da se pronađeuniverzalni način za
određivanje tangente krive u geometriji i brzine kretanja u mehanici10. U daljem tekstu će
pojam izvoda biti definisan kroz ova dva problema, a zatim će slediti objašnjenje osnovnih
operacija sa izvodom, izvoda složene i inverzne funkcije, elementarnih funkcija, drugog
izvoda i izvoda višeg reda.
1
Problem aproksimacije funkcije polinomom prvog stepena, problem brzine i problem
tangente, upucuje nas na pitanje sta se dogadja sa kolicnikom kada se x neograniceno
priblizava prema x0. Pretpostavimo, sada, je funkcija
y
=
f
(
x
)
definisana na intervalu
I
⊆
R , x
0
∈
I
.
Definicija 1.
Ako postoji granicna vrednost :
lim
x
→
x
0
f
(
x
) −
f
(
x
0
)
x
−
x
0
,
tada taj limes nazivamo prvi izvod funkcije
y = f(x)
u tacki
x0
i oznacavamo sa
f
,
(
x
0
)
ili y
,
(
x
0
)
.
Operaciju izracunavanja izvoda funkcije nazivamo diferenciranje.
f
,
(
x
0
) =
def
lim
x
→
x
0
f
(
x
) −
f
(
x
0
)
x
−
x
0
.
1
Matematike za ekonomiste, Dr Nikola Tomašević, Dr Radič Vučićević, Viša poslovna škola Beograd, Beograd, 2000.
Prirastaj argumenta, tj. razliku
x – x0
oznacavamo sa Δ
x
, a razliku
f(x) - f(x0)
(prirastaj funkcije) oznacavamo sa
Δy
. Sa ovako uvedenim oznakama izraz (4.1.)
mozemo zapisati u obliku:
f
,
(
x
0
) =
lim
Δx
→
0
Δy
Δx
=
lim
Δx
→
0
f
(
x
0
+
Δx
)
−
f
(
x
0
)
Δx
.
Primjer 1
Neka je data linearna funkcija f
(
x
)=
ax
+
b , gde su a ,b
∈
R
.
Tada je
f
,
(
x
) =
lim
Δx
→
0
f
(
x
+
Δx
) −
f
(
x
)
Δx
=
lim
Δx
→
0
a
(
x
+
Δx
) +
b
− (
ax
+
b
)
Δx
=
a
.
Dakle , f
,
(
x
) =
a
.
Ako za
lim
o da izracunamo vrednost prvog izvoda , na
primer , u tacki x
0
=
1
,tada je f
,
(
x
0
)
=
f
,
(
1
)
=
a
.
Ovaj primer pokazuje da se vrednost prvog izvoda funkcije u tacki
M(x0, y0)
dobije tako
sto se u izraz prvog izvoda uvrsti vrednost apcise
x = x0
tacke u kojoj trazimo prvi izvod.
Ako je interval
I
zatvoren, tj.
I= [a, b]
, tada po formuli (4.1.) u krajevima toga intervala
x0= a i x0 = b
imamo jednostrane limese, tj. desni limes u kraju
a
iznosi
f
,
(
a
) =
lim
x
→
a
f
(
x
) −
f
(
a
)
x
−
a
=
lim
x
→
a
+
f
(
x
) −
f
(
a
)
x
−
a
.
Slicno ako je
x0 = b
, imamo levi limes u kraju
b
:
f
,
(
b
) =
lim
x
→
b
f
(
x
) −
f
(
b
)
x
−
b
=
lim
x
→
b
−
f
(
x
) −
f
(
a
)
x
−
b
.
Dakle, ako postoje limesi
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
) −
f
(
x
0
)
x
−
x
0
i
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
) −
f
(
x
0
)
x
−
x
0
,
tada ih nazivamo
levi i desni prvi izvod funkcije
y = f(x)
u tacki
x
0
∈
I
i oznacavamo ih redom sa
f
−
,
(
x
0
)
odnosno
f
+
,
(
x
0
)
. Ako postoji levi i desni prvi izvod i ako je
f
−
,
(
x
0
)
=
f
+
,
(
x
0
)
tada
ocigledno postoji izvod
f
,
(
x
0
)
i vazi
