IZVODI ZADACI (I deo)
Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:
1.
C`=0
2.
x`=1
3.
(x
2
)`=2x
4.
(x
n
)`=nx
n-1
5.
(a
x
)`=a
x
lna
6.
(e
x
)`=e
x
7.
(log
a
x)`=
a
x
ln
1
(ovde je x >0 i a >0)
8.
(lnx)`=
x
1
(x>0)
9.
2
`
1
1
x
x
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
)
0
(
≠
x
10.
x
x
2
1
`
=
(x>0)
11.
(sinx)`=cosx
12.
(cosx)`= - sinx
13.
(tgx)`=
x
2
cos
1
π
π
k
x
+
≠
2
14.
(ctgx)`=
x
2
sin
1
−
π
k
x
≠
15.
(arcsinx)`=
2
1
1
x
−
1
<
x
16.
(arccosx)`= -
2
1
1
x
−
17.
(arctgx)`=
2
1
1
x
+
18.
(arcctgx)`= -
2
1
1
x
+
www.matematiranje.com
1.
[cf(x)]`=cf `(x)
Kad je konstanta vezana za funkciju, nju prepišemo a tražimo izvod samo od
funkcije. A kad je konstanta sama, izvod od nje je 0.
2.
[f(x)
±
g(x)]` = f `(x)
±
g`(x)
Od svakog sabirka tražimo izvod posebno.
3.
(u
ο
v)`=u`v+v`u izvod proizvoda
4.
2
`
`
`
v
u
v
v
u
v
u
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
izvod koli
č
nika
Zadaci:
1.
Na
đ
i izvode slede
ć
ih funkcija:
a)
y = x
5
b)
y = 10
x
c)
f(x) =
x
d)
y = log
3
x
e)
f(x) =
3
5
x
f)
f(x) =
7
1
x
g)
y =
8
5
1
x
h)
y = x
x
i)
y =
2
3
2
x
x
x
Rešenje:
a) y = x
5
⇒
y` = 5x
4
kao 4-ti tabli
č
ni
b) y = 10
x
⇒
y` = 10
x
ln10 kao 5-ti tabli
č
ni
c) f(x) =
x
⇒
x
x
f
2
1
)
`(
=
kao 10-ti tabli
č
ni
d) y = log
3
x pa je y` =
3
ln
1
x
kao 7-mi tabli
č
ni
e) f(x) =
3
5
x
Pazi: Ovde funkciju moramo prvo “pripremiti” za izvod. Iskoristi
ć
emo pravilo vezano za
stepenovanje:
n
m
m
n
x
x
=
. Dakle
3
5
3
5
x
x
=
pa dalje radimo kao (x
n
)`=nx
n-1
f `(x) =
1
3
5
3
5
−
x
=
3
2
3
5
x
f) f(x) =
7
1
x
I ovde moramo “pripremiti” funkciju. Kako je
n
n
a
a
−
=
1
to je
7
7
1
−
=
x
x
pa je izvod
f `(x)= -7 x
-7-1
= -7x
–8
www.matematiranje.com
f) f(x) = - a ctgx f `(x) = -a (
x
2
sin
1
−
)=
x
a
2
sin
g) y = 10 Pazi: kad je konstanta sama izvod od nje je 0. Dakle y`=0
h) y = -2abx Ovde je –2ab konstanta, akako je od x izvod 1 to je : y` = -2ab
3.
Na
đ
i izvode:
a)
y = 5x
6
– 3x
5
+4x – 8
b)
f(x) = 3sinx -
2
1
e
x
+ 7arctgx – 5
c)
y =
4
5
1
3
2
3
2
3
+
−
+
−
x
x
x
x
Rešenje:
a) y = 5x
6
– 3x
5
+4x – 8 Iskoristi
ć
emo pravilo
[f(x)
±
g(x)]` = f `(x)
±
g`(x)
i od svakog
č
lana tražiti izvod
posebno, naravno prepisuju
ć
i konstantu ispred funkcije.
y` = 5(x
6
)` – 3(x
5
)` +4(x)` – 8`
y` = 30x
5
– 15 x
4
+4 – 0
Pazi još jednom, kad je konstanta sama izvod je 0.
y` = 30x
5
– 15 x
4
+4
b) f(x) = 3sinx -
2
1
e
x
+ 7arctgx – 5
f `(x) = 3(sinx)` -
2
1
(e
x
)` + 7(arctgx)` – 5`
f `(x) = 3 cos x -
2
1
e
x
+ 7
2
1
1
x
+
- 0 = 3 cos x -
2
1
e
x
+
2
1
7
x
+
c) y =
4
5
1
3
2
3
2
3
+
−
+
−
x
x
x
x
Najpre
ć
emo koriste
ć
i ve
ć
pomenuta pravila za stepenovanje i korenovanje,
“pripremiti” funkciju, a zatim tražiti izvode u tablici...
y =
3
1
x
- 2
2
1
−
x
+ 3x
-2
-
5
1
x
-3
+4
y` =
3
2
3
1
−
x
-2
)
2
1
(
−
2
3
−
x
+3(-2)x
-3
–
5
1
(-3)x
-4
+ 0 =
3
2
3
1
−
x
+
2
3
−
x
- 6 x
-3
+
5
3
x
-4
www.matematiranje.com
4.
Na
đ
i izvode slede
ć
ih funkcija:
a)
f(x) = x
3
sinx
b)
f(x) = e
x
arcsinx
c)
y = (3x
2
+1)(2x
2
+3)
d)
y = x – sinxcosx
Rešenje:
Kao što prime
ć
ujete, u ovom zadatku moramo koristiti pravilo za izvod proizvoda:
(u
ο
v)`=u`v+v`u
a) f(x) = x
3
sinx Ovde je x
3
kao funkcija u, dok je sinx kao funkcija v
f `(x) = (x
3
)`
sinx + (sinx)`x
3
f `(x) = 3x
2
sinx + cosx x
3
= x
2
(3sinx+xcosx)
b) f(x) = e
x
arcsinx Ovde je e
x
kao funkcija u, dok je arcsinx kao funkcija v
f `(x) = (e
x
)`arcsinx + (arcsinx)`e
x
f `(x) = e
x
arcsinx +
2
1
1
x
−
e
x
= e
x
( arcsinx +
2
1
1
x
−
)
c) y = (3x
2
+1)(2x
2
+3) Naravno ovde možemo sve pomnožiti pa tražiti izvod od svakog posebno, ali malo je
lakše upotrebiti izvod proizvoda.
y` = (3x
2
+1)`(2x
2
+3)+ (3x
2
+1)(2x
2
+3)`= 6x (2x
2
+3)+ 4x (3x
2
+1)= 2x[(6x
2
+9)+ (6x
2
+2)]=2x[12x
2
+11]
d) y = x –sinxcosx
Od x je izvod 1 a sinxcosx moramo kao izvod proizvoda
y` = 1 –[ (sinx)`cosx + (cosx)`sinx]
y` = 1 –[ cosx cosx - sinx sinx] Znamo da je sin
2
x + cos
2
x = 1
y` = sin
2
x + cos
2
x - cos
2
x + sin
2
x = 2 sin
2
x
www.matematiranje.com
2
2
2
)
sin
1
(
cos
sin
sin
`
x
x
x
x
y
−
+
+
−
=
kako je sin
2
x + cos
2
x = 1 to je
2
)
sin
1
(
sin
1
`
x
x
y
−
−
=
skratimo 1 – sinx, naravno postavimo uslov da je to razli
č
ito od 0
x
y
sin
1
1
`
−
=
i evo kona
č
nog rešenja!
c)
2
5
+
−
=
x
x
e
e
y
2
)
2
(
)
5
)`(
2
(
)
2
)`(
5
(
`
+
−
+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
y
2
)
2
(
)
5
(
)
2
(
`
+
−
−
+
−
=
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
y
izvla
č
imo e
x
kao zajedni
č
ki ispred zagrade
2
)
2
(
)
5
2
(
`
+
−
+
+
−
=
x
x
x
x
e
e
e
e
y
malo sredimo...
2
)
2
(
7
`
+
−
=
x
x
e
e
y
kona
č
no rešenje
d)
x
x
y
ln
1
ln
+
=
x
x
x
x
x
y
2
ln
)
1
)`(ln
(ln
)`ln
1
(ln
`
+
−
+
=
x
x
x
x
x
y
2
ln
)
1
(ln
1
ln
1
`
+
−
=
x
x
x
x
x
x
y
2
ln
1
ln
1
ln
1
`
−
−
=
x
x
y
2
ln
1
`
−
=
pa je
x
x
y
2
ln
1
`
−
=
kona
č
no rešenje
www.matematiranje.com
