247
Izet Bijelonja, Mašinski fakultet Sarajevo
U Glavi 2 (Elastostatika 1) date su jedna
č
ine ((2.7) i (2.9)) koje zajedno s konstitutivnim
relacijama opisuju stanje napona i deformacija
č
vrstog tijela izloženog dejstvu optere
ć
enja.
Problem je što su ove jedna
č
ine složene i komplikovane da bi se analiti
č
ki riješile tako da
danas postoji ograni
č
en broj prakti
č
nih problema za koje postoji analiti
č
ko rješenje ovih
jedna
č
ina. To su po pravilu problemi s prostom geometrijom i jednostavnim grani
č
nim
uslovima. Zato se kod konkretnih problema ove jedna
č
ine danas uglavnom rješavaju
numeri
č
ki uz upotrebu elektronskih ra
č
unara.
Danas egzistira nekoliko razli
č
itih, veoma mo
ć
nih, numeri
č
kih metoda koje su u stanju da
efikasno riješe ve
ć
inu problema mehanike
č
vrstih tijela. Ove metode razlikuju se prema
komplikovanosti matematskog aparata koji koriste, efikasnosti po pitanju brzine (utroška
ra
č
unarskog vremena) i potreba za memorijom ra
č
unara, mogu
ć
nosti primjene na široku
klasu inženjerskih problema, fizikalnoj interpretaciji, itd. Najpoznatije su metoda kona
č
nih
razlika i metoda kona
č
nih elemenata koja je danas dominantna metoda u ra
č
unskoj
mehanici
č
vrstih tijela. U posljednjih desetak godina sve se više u mehanici
č
vrstog tijela
primjenjuje metoda kona
č
nih volumena koja je vode
ć
a metoda u ra
č
unskoj mehanici fluida.
U narednim poglavljima pokazat
ć
e se osnovne ideje metode kona
č
nih volumena i metode
kona
č
nih elemenata. Metoda kona
č
nih volumena je izabrana radi njene jasne fizikalne
interpretacije i jednostavnog matematskog aparata na kojem je zasnovana. Metoda
kona
č
nih elemenata važi za trenutno najmo
ć
niju metodu u oblasti ra
č
unske mehanike
č
vrstog tijela. Metoda ima relativno složen matematski aparat i zahtijeva predznanje
Numeri
č
ko rješavanje problema
linearne teorije elasti
č
nosti
248
varijacionog ra
č
una tako da joj se obi
č
no posve
ć
uju cijele knjige. Zato je nemogu
ć
e u
okviru jednog poglavlja obraditi sve bitne aspekte jedne numeri
č
ke metode, kao što su
numeri
č
ka efikasnost, stabilnost ili ta
č
nost. Osnovni cilj ove Glave je da se
č
itaocu pokažu
osnovni principi, ideje i mogu
ć
nosti numeri
č
ke analize problema teorije elasti
č
nosti bez
optere
ć
ivanja novim teorijama i pojmovima. Za šire znanje o metodi kona
č
nih volumena
č
italac se upu
ć
uje na literaturu [18,39] koja se detaljnije bavi ovom oblasti, a metoda
kona
č
nih elemenata detaljno je obra
đ
ena u [5,28,49].
16.1. Metoda kona
č
nih volumena
Na slici 16.2 dato je naponsko stanje elementa
A
tanke plo
č
e optere
ć
ene kao na slici 16.1.
Ako se pretpostavi da su normalni i tangencijalni naponi konstantni u ravni na koju djeluju,
jednostavno se mogu dobiti rezultuju
ć
e sile u ovim ravnima. Na primjer, sile u vertikalnoj
ravni odre
đ
enom ta
č
kom
e
su,
,
,
e
xye
ye
e
xe
xe
A
F
A
F
τ
σ
=
=
(16.1)
gdje je
A
e
površina elementa na koju djeluju naponi
σ
xe
i
τ
xye
. Sistem rezultuju
ć
ih sila koje
djeluju na element
A
prikazan je na slici 16.3, na osnovu koje se sada može provesti
stati
č
ka analiza ravnoteže elementa. Na element na slici 16.3 dodate su i zapreminske sile
F
bx
i
F
by
koje se mogu javiti usljed dejstva, na primjer, sile inercije ili sile usljed sopstvene
težine tijela.
n
s
w
e
σ
xe
σ
yn
σ
ys
σ
xw
τ
yxn
τ
yxs
τ
xye
τ
xyw
Slika 16.2 Naponsko stanje u elementu
A
tanke plo
č
e.
Slika 16.1 Tanka plo
č
a izložena optere
ć
enju
A
x
y
F
1
F
2
F
xe
F
yn
F
ys
F
xw
F
xn
F
xs
F
ye
F
yw
F
by
F
bx
e
w
n
s
P
Slika 16.3 Sile koje djeluju na elementu
A tanke plo
č
e
Slika 16.4 Plo
č
a podijeljena mrežom
kona
č
nih volumena
P
S
W
E
N
F
1
F
2
B
250
,
x
u
u
x
u
P
E
e
δ
−
≈
∂
∂
(16.6)
odakle se vidi da je parcijalni izvod aproksimiran (centralnim diferenciranjem) uvode
ć
i kao
nepoznate varijable komponente vektora pomjeranja u geometrijskim središtima kontrolnih
volumena (ra
č
unske ta
č
ke). Me
đ
utim, ako bi na isti na
č
in bio aproksimiran drugi parcijalni
izvod u jedna
č
ini (16.5),
,
y
v
v
y
v
se
ne
e
δ
−
≈
∂
∂
(16.7)
bile bi uvedene kao nepoznate varijable komponente vektora pomjeranja koje nisu
smještene u ra
č
unskim ta
č
kama. Jedan od na
č
ina da se prevazi
đ
e ovaj problem je da se, na
primjer, parcijalni izvod u ta
č
ki
e
ra
č
una interpolacijom preko parcijalnih izvoda u
susjednim ra
č
unskim ta
č
kama P i E,
−
+
−
≈
∂
∂
+
∂
∂
≈
∂
∂
y
v
v
y
v
v
y
v
y
v
y
v
SE
NE
S
N
E
P
e
δ
δ
2
2
2
1
2
1
,
(16.8)
gdje sada u aproksimaciji parcijalnog izvoda egzistiraju samo vrijednosti komponenti
vektora pomijeranja u ra
č
unskim ta
č
kama. Na isti na
č
in mogu se aproksimirati i ostali
parcijalni izvodi u konstitutivnim jedna
č
inama (16.4) u odgovaraju
ć
im ta
č
kama
e
,
w
,
n
i
s
kontrolnog volumena:
,
2
2
2
1
,
−
+
−
≈
∂
∂
−
≈
∂
∂
y
v
v
y
v
v
y
v
x
u
u
x
u
SW
NW
S
N
w
W
P
w
δ
δ
δ
(16.9)
,
2
2
2
1
,
−
+
−
≈
∂
∂
−
≈
∂
∂
x
u
u
x
u
u
x
u
y
v
v
y
v
NW
NE
W
E
n
P
N
n
δ
δ
δ
(16.10)
,
2
2
2
1
,
−
+
−
≈
∂
∂
−
≈
∂
∂
x
u
u
x
u
u
x
u
y
v
v
y
v
SW
SE
W
E
s
S
P
s
δ
δ
δ
(16.11)
P
E
W
N
S
NE
NW
SW
SE
W
δ
y
δ
y
δ
y
δ
x
δ
x
δ
x
e
n
w
s
ne
se
Slika 16.5 Dvodimenzionalni kontrolni volumen
251
,
2
2
2
1
,
−
+
−
≈
∂
∂
−
≈
∂
∂
x
v
v
x
v
v
x
v
y
u
u
y
u
NW
NE
W
E
n
P
N
n
δ
δ
δ
(16.12)
,
2
2
2
1
,
−
+
−
≈
∂
∂
−
≈
∂
∂
x
v
v
x
v
v
x
v
y
u
u
y
u
SW
SE
W
E
s
S
P
s
δ
δ
δ
(16.13)
,
2
2
2
1
,
−
+
−
≈
∂
∂
−
≈
∂
∂
y
u
u
y
u
u
y
u
x
v
v
x
v
SE
NE
S
N
e
P
E
e
δ
δ
δ
(16.14)
.
2
2
2
1
,
−
+
−
≈
∂
∂
−
≈
∂
∂
y
u
u
y
u
u
y
u
x
v
v
x
v
SW
NW
S
N
w
W
P
w
δ
δ
δ
(16.15)
Uvštavanjem konstitutivnih jedna
č
ina (16.4) u jedna
č
ine ravnoteže (16.3) i korištenjem
aproksimacija parcijalnih izvoda datim jedna
č
inama (16.6) i (16.8-15) dobija se sljede
ć
i
sistem algebarskih jedna
č
ina:
0
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
=
+
−
+
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
−
−
+
−
+
−
−
bx
s
SW
SE
W
E
S
P
n
NW
NE
W
E
P
N
w
SW
NW
S
N
W
P
e
SE
NE
S
N
P
E
F
A
x
v
v
x
v
v
y
u
u
G
A
x
v
v
x
v
v
y
u
u
G
A
y
v
v
y
v
v
x
u
u
E
A
y
v
v
y
v
v
x
u
u
E
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
ν
δ
ν
δ
δ
ν
δ
ν
(16.16)
0
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
=
+
−
+
−
+
−
−
−
−
+
−
+
−
−
+
+
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
by
s
SW
SE
W
E
S
P
n
NW
NE
W
E
P
N
w
W
P
SW
NW
S
N
e
P
E
SE
NE
S
N
F
A
x
u
u
x
u
u
y
v
v
E
A
x
u
u
x
u
u
y
v
v
E
A
x
v
v
y
u
u
y
u
u
G
A
x
v
v
y
u
u
y
u
u
G
δ
δ
ν
δ
ν
δ
δ
ν
δ
ν
δ
δ
δ
δ
δ
δ
(16.17)
Sistem od dvije jedna
č
ine (16.16) i (16.17) predstavlja algebarsku formu stati
č
kih uslova
ravnoteže elementa A. Dakle, umjesto da se uslov ravnoteže elementa A opiše, na primjer,
sistemom parcijalnih diferencijalnih jedna
č
ina (jedna
č
ine (2.7)) ravnoteža elementa A je
(približno) opisana sistemom algebarskih jedna
č
ina. Uslov ravnoteže mora biti ispunjen za
svaki od kontrolnih volumena na prostornom domenu, tako da se za svaki kontrolni
253
odnosno za aproksimaciju drugog parcijalnog izvoda koristi
ć
e se centralno diferenciranje,
.
2
y
v
v
y
v
SB
NB
B
δ
−
≈
∂
∂
(16.20)
Može se desiti da je, na primjer,
v
SB
nepoznato, što je slu
č
aj kada je u ta
č
ki SB, odnosno
ravni koja sadrži ta
č
ku SB zadat grani
č
ni uslov po silama, odnosno naponima. Ovaj
problem se obi
č
no rješava uvo
đ
enjem takozvanih linijskih elemenata, što se u principu
svodi na uvo
đ
enje dodatnih nepoznatih (ra
č
unskih ta
č
aka) na granicama domena, i
korištenje konstitutivnih relacija za normalne i tangencijalne napone koji su sada poznati.
Aproksimacijom parcijalnih izvoda u ovim konstitutivnim relacijama uvode se kao
nepoznate komponente vektora pomjeranja na granicama domena.
Na granicama domena može osim vektora napona ili vektora pomjeranja biti zadat i
takozvani mješoviti grani
č
ni uslov. Na primjer, u ta
č
ki B na granici domena može biti
zadato pomjeranje u pravcu normale na ravan, a u ravni može biti zadata sila. Ovo je veoma
č
est slu
č
aj kada se u analizu uklju
č
uju i sile trenja. Na primjer, pri obradi deformacijom, u
pravcu kretanja alata zadato je pomjeranje, a u ravni kontakta alata i obratka javljaju se sile
trenja. Specijalan slu
č
aj mješovitog grani
č
nog uslova je ravan simetrije. Na slici 16.9a data
je plo
č
a s rupom u sredini koja je optere
ć
ena na krajevima. Problem se može uprostiti
korištenjem simetrije geometrije i optere
ć
enja, tako da je dovoljno analizirati samo
č
etvrtinu plo
č
e (slika 16.9b). U ravni simetrije su pomjeranja materijalnih ta
č
aka u pravcu
normale na ovu ravan jednaka nuli, a u samoj ravni je tangencijalni napon jednak nuli,
dakle rije
č
je o mješovitom grani
č
nom uslovu.
16.1.2. Diskretizacija prostornog domena
Mreža kona
č
nih volumena kojom je diskretizovana plo
č
a na slici 16.4 o
č
igledno nije
sposobna da na zadovoljavaju
ć
i na
č
in prati geometriju tijela na granicama domena. U
slu
č
aju da se prostorni domen podijeli s finijom mrežom, situacija bi bila bolja, ali još
uvijek data uniformna i ortogonalna mreža nije u stanju da diskretizuje prostorni domen s
krivolinijskom konturom. Numeri
č
ki postupak opisan u prethodnom poglavlju može se
jednostavno generalisati na neuniformne i neortogonalne mreže [18]. Primjeri diskretizacije
prostornog domena s mrežom kona
č
nih volumena razli
č
itih oblika date su na slikama 16.8 i
16.9b.
Slika 16.8 Diskretizacija prostornog domena trougaonim
KV (lijevo) i poligonalnim KV (desno)
