Ukoliko se zadržimo samo na planimetriji, ulogu vektora može preuzeti i
kompleksan broj, smatran kao dvodimenzionalni vektor, sa kojim je lakše operisati, jer,
za razliku od trodimenzionalnih vektora, skup komlpeksnih brojeva sa
č
injava brojno telo
u kome je definisana i operacija deljenja. Dakle, ako nai
đ
emo na planimetrijski zadatak
bez vidljivog rešenja, pokušajmo da ga sra
č
unamo.
Kompleksni brojevi jesu brojevi oblika
ib
a
z
+
=
,
gde je
i
imaginarna jedinica
za koju važi
, a brojevi
a
i
b
su realni. Ovaj oblik je algebarski oblik
kompleksnog broja. Broj zove se realni deo broja
z
, a
b
je njegov imaginarni deo,
što, tako
đ
e, ozna
č
avamo s
a
1
2
−
=
i
a
a
z
=
Re
i
b
z
=
Re
.
Svakom kompleksnom br
oju
ib
a
z
+
=
odgovara jedna ta
č
ka u komlpeksnoj ravni sa koordinatama
( )
b
,
1
a
a
i obratno, gde je x-osa
realna i y-osa imaginarna osa. Dva kompleksna broja
1
1
ib
z
+
=
i
su
jednaka ako su im jednaki odgovaraju
ć
i realni i imaginarni delovi:
2
2
ib
a
+
2
1
a
a
2
z
=
2
z
1
z
=
⇔
=
i
.
Na komlpleksnim brojevima
č
etiri osnovne ra
č
unske operacije izvode se na
slede
ć
i na
č
in:
2
1
b
b
=
i
b
b
a
a
z
z
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
+
+
+
=
+
i
b
b
a
a
z
z
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
−
+
−
=
−
i
b
a
b
a
b
b
a
a
z
z
)
(
)
(
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
+
+
−
=
⋅
i
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
i
b
a
b
a
b
b
a
a
i
b
a
i
b
a
i
b
a
i
b
a
z
z
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
)
(
)
(
+
−
+
+
+
=
+
−
+
+
=
−
−
⋅
+
+
=
Za kompleksan broj
uvode se konjugovano kompleksan broj
bi
a
z
+
=
bi
a
z
−
=
,
u
kompleksnoj ravni to je ta
č
ka simetri
č
na x-osi, i moduo kompleksnog broja
2
2
b
a
z
+
=
i predstavlja udeljenost od koordinatnog po
č
etka. Moduo se, tako
đ
e,
ozna
č
ava i sa
½
.
Neke osnovne osobine ovih operacija su:
z
z
z
⋅
=
2
,
z
z
=
,
2
1
2
1
z
z
z
z
±
=
±
,
2
1
2
1
z
z
z
z
⋅
=
⋅
,
2
1
2
1
z
z
z
z
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Važna je i
č
injenica da je
z
z
=
ako i samo ako je realan broj.
z
2
1
2
1
z
z
z
z
⋅
=
⋅
,
2
1
2
1
z
z
z
z
+
≤
+
,
2
1
2
1
z
z
z
z
−
≤
−
:
Poslednja nejednakost zove se nejednakost trougla. Ovde, tako
đ
e, zapažamo da se me
đ
u
kompleksnim brojevima ne može uvesti relacija <, ve
ć
samo na njihovim modulima.
Skup ta
č
aka za koje vazi
1
=
z
predstavlja jedini
č
nu kruznicu sa centrom u
koordinatnom po
č
etku. Ta
č
ke za koje je
1
<
z
nalaze se u unutrašnjosti tog kruga, dok su
one za koje je
1
>
z
u njegovoj spoljašnjosti. Ugao
φ
koji zaklapa prava
Oz
sa realnom
osom naziva se argument kompleksnog broja. Svaki kompleksan broj, sem 0, ima
argument. Argument
φ
2
(-
π
,
π
]
, mada se ponekad uzima i
φ
2
(0
, 2
π
]. Jedini
č
ni krug
ima slede
ć
a svojstva:
•
za tetivu
ab
je
ab
b
a
b
a
−
=
−
−
•
ako je ta
č
ka
c
na tetivi
ab
tada je
ab
c
b
a
c
−
+
=
•
presek tangenti iz ta
č
aka
a
i
b
je ta
č
ka
b
a
ab
+
2
•
podnožje normale iz proizvoljne ta
č
ke
c
na tetivu
ab
je ta
č
ka
)
(
2
1
c
ab
c
b
a
p
−
+
+
=
•
presek tetiva
ab
i
cd
je ta
č
ka
cd
ab
b
a
cd
d
c
ab
−
+
−
+
)
(
)
(
Kako je
,
i
3 =
−
i
i
i
4 = 1,
pomo
ć
u principa matemati
č
ke indukcije
možemo dobiti i ostale stepene broja
i
:
1
2
−
=
i
Dokaz
: Neka su ta
č
ke kolinearne. Onda je
)
arg(
)
arg(
arg
0
1
0
2
0
1
z
z
z
z
z
z
−
−
−
=
−
0
2
z
z
−
2
f0,
π
g
dakle, taj je argument jednak ili 0 ili
π
, zavisno od rasporeda ta
č
aka, a to zna
č
i da je broj
realan.
Neka je , obrnuto, broj
0
1
0
2
z
z
z
z
−
−
realan. Onda je
arg
0
1
0
2
z
z
z
z
−
−
2
f0,
π
g
odakle sledi da su ta
č
ke kolinearne.
Tako
đ
e, jedan drugi kriterijum glasi: Tri ta
č
ke su kolinearne ako i samo ako kompleksni
brojevi koji im odgovaraju zadovoljavaju uslov
0
2
0
1
z
z
z
z
−
−
=
0
1
2
z
z
z
z
−
−
On sledi direktno iz prvog kriterijuma ako se uzme u obzir da je
z
z
=
ako i samo ako je
realan broj.
z
Ukoliko se u ovom uslovu zameni umesto promenljiva dobija se jedna
č
ina prave u
obliku
0
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
−
−
=
−
−
1
2
1
2
.
Dve prave odre
đ
ene ta
č
kama
A
i
B
i
C
i su paralelne ako i samo ako je
D
R
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
∈
−
−
⇔
−
−
=
−
−
)
)(
(
)
)(
(
.
Ako ta
č
ke
A
,
B
,
,
pripadaju jedini
č
noj kružnici ovaj uslov svodi se na još
jednostavniji
.
C
D
cd
ab
=
Prave
odre
đ
ene ovim istim ta
č
kama su upravne akko je
0
)
(
)
)(
(
=
−
+
−
−
b
a
d
c
b
a
a ako su ta
č
ke na jedini
č
noj kružnici ovaj uslov postaje
.
0
=
+
cd
ab
Koordinate središta duži
S
AB
date su sa
AB
2
b
a
s
+
=
. Uopštenje ove formule je
da je koordinata ta
č
ke C za koju važi
CB
AC
λ
=
, }
1
{
−
∈
R
λ
, jednaka
λ
λ
+
+
=
1
b
a
c
.
Krug
Jedna
č
ina kruga sa centrom u tacki
i polupre
č
nikom
r
moze se zapisati u
obliku |
| =
r
. Me
đ
utim, ponekad je od koristi odlik jedna
č
ine kruga sli
č
an onome
koji je poznat iz analiti
č
ke geometrije:
0
z
0
z
z
−
Ako
su
A
i
C
realni brojevi a
B
kompleksan broj, takav da je
2
B
AC
<
,
onda
jedna
č
ina
0
=
+
+
B
+
Bz
C
z
Az
z
predstavlja krug. Ovo se može neposredno proveriti
stavljaju
ć
i
iy
x
z
= +
,
što posle sre
đ
ivanja daje
2
1
iB
B
+
=
B
A
AC
B
B
A
B
y
A
A
B
x
A
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⋅
2
2
1
2
2
2
2
1
.
O
č
igledno je da uslov
2
B
AC
<
ozna
č
ava da je izraz u brojiocu na desnoj srtani
pozitivan, zbog
č
ega je krug realan.
Uslov
da
č
etiri razli
č
ite ta
č
ke pripadaju istom krugu može se iskazati u slede
ć
em
obliku:
č
etiri razli
č
ite ta
č
ke pripadaju istom krugu ako i samo ako kompleksni brojevi
koji im odgovaraju zadovoljavaju uslov da je
3
1
3
0
2
1
2
0
:
z
z
z
z
z
z
z
z
−
−
−
−
realan broj.
Apolonijev krug
Neka su
A
i
B
date ta
č
ke u ravni. Skup ta
č
aka M takvih da je odnos duzi
MA
i
MB
konstantan i jednak
k
, (
k
>0,
k
≠
1) je krug.
Dokaz
: Uzmimo da je
k
>1, slu
č
aj 0<
k
<1 se razmatra analogno. Neka je
kompleksan broj koji odgovara ta
č
ki
z
M
iz traženog skupa ta
č
aka. Uzmimo da su date
ta
č
ke na realnoj osi simetri
č
ne u odnosu na koordinatni po
č
etak,
č
ime se ne narušava
opštost razmatranja. Dakle, neka je (
a
, 0) i
A
B
(
−
a
, 0). Tada je, po uslovu :
