Kriterijum deljivosti brojeva

Diplomski rad 3

Tema : Kriterij djeljivosti brojeva

2. Brojevi

   Numerički termini izražavaju neke od najapstraktnijih pojmova koje je stvorio ljudski um. 

Međutim, proces njihovog kreiranja bio je spor i dugotrajan. Koncept apstraktnog broja je 

proizvod duge i lagane kulturne evolucije koja zadire duboko u vreme pre pisane istorije. Kao 

što je rekao Bertrand Rasel (Russell, 1872-1970), britanski matematičar i filozof, bile su 

potrebne   hiljade   godina   dok   je   shvaćeno   da   par   fazana   i   dva   dana   imaju   zajedničku 

karakteristiku – broj 2.

 Dugo se smatralo da je najstariji postojeći matematički artefakt od značaja egipatsko

vladarsko žezlo, za koje se veruje da datira približno iz 3100. godine pre nove ere. Na žezlu je 

napisano nekoliko brojeva reda miliona i stotina hiljada, napisanih egipatskim hijeroglifima, 

kojima su zabeleženi preuveličani rezultati uspešnog vojnog pohoda.

Međutim, nedavno je pronađen znatno stariji artefakt koji se takođe odnosi na brojanje.

Na ručnom alatu od kosti nalaze se zarezi aranžirani prema određenim numeričkim obrascima 

zajedno sa komadom kvarca koji je pričvršćen za glavu ručice. Artefakt je poznat kao kost iz 

Išanga, a pronađen je na obali Edvardovog jezera u Republici Kongo. Smatra se da datira iz 

perioda između 9000 i 6500 godina pre nove ere. Dakle, sasvim je moguće da se začeci 

matematike nisu desili ni u Egiptu ni u Mesopotamiji, već u afričkim predelima južno od 

Sahare.

 Prvi zapis o prelasku sa konkretnog brojanja na apstraktno datira iz 3100. Godine P.N.E. Na 

jednoj sumerskoj glinenoj tablici prikazan je broj 33 pomoću tri zareza i tri kružića, pri čemu 

zarezi označavaju jedinice a kružići desetice. Zajedno sa znakom za ćup za ulje koji se nalazi 

pored, ceo natpis bi se mogao pročitati kao 33 ćupa ulja. Ovaj ekonomičan način pisanja, 

kako u računu tako i u ljudskoj komunikaciji, brzo je postao rasprostranjen.

2. Brojni sistemi

  Uprkos postojanju podataka da su 2, 3 i 4 služili kao osnove nekih primitivnih brojnih 

sistema,   ipak   su   prvi   značajni   brojni   sistemi   bili  

petični  

(osnova   5),   zatim  

desetični

  i 

dvadesetični

  (osnova   20).   Danas   je   decimalni   sistem   najrasprostranjeniji.   Svi   ovi   sistemi 

povezani su s činjenicom da čovek ima po pet prstiju na svakoj ruci pomoću kojih su vršena 

prva izračunavanja.

Neka plemena u Južnoj Americi čak i danas broje pomoću šake: ,,

Jedan, dva, tri, četiri, šaka, 

šaka-i-jedan

",   itd.   Seoski   kalendari   u   Nemačkoj   koristili   su   petični   sistem   sve   do   kraja 

osamnaestog   veka.   Maje,   Asteci   i   Kelti   imali   su   dvadesetični   sistem,   što   je   odgovaralo 

ukupnom broju prstiju na rukama i nogama, istovremeno dajući svedočanstvo o bosonogom 

periodu čovečanstva.

Istog porekla su u jeziku Grenlanđana izrazi 

jedan čovek

 sa značenjem 20, 

dva čoveka

 za 40, 

itd.

U engleskom jeziku reč 

digit

 znači 

cifra

 ali i 

prst

, što ima poreklo u starolatinskoj reči 

digiti

 – 

prsti.

 ,,Brojanje pomoću tela" je defiisanje brojeva pomoću određenih delova ljudskog tela,

kao što su glava, oči, uši, ruke, itd. Ovakvo brojanje koriste neki primitivni narodi. Na primer, 

jedno pleme Papuanaca na jugoistoku Nove Gvineje broji na sledeći način:

1         desni mali prst                                                 12         nos

2         desni prst ,,prstenjak"                                       13         usta

3         desni srednji prst                                              14         levo uvo

4         desni kažiprst                                                   15         levo rame

5         desni palac                                                       16         leva obrva

6         desni ručni zglob                                              17        levi ručni zglob

7         desna obrva                                                      18        levi palac

 Vavilonci su prvi uveli 

pozicioni brojni sistem

 u kome je vrednost svake cifre određena

njenim položajem: na primer, dve uzastopne jedinice označavale su 61. Ipak u njihovom 

načinu pisanja bilo je i neodređenosti jer simbol za nulu nije postojao (koristili su znak za 

odsustvo cifre). On je uveden tek mnogo kasnije, u devetom veku u indijskoj matematici.

 Trajan uticaj vavilonske matematike i šezdesetičnog brojnog sistema zadržao se do današnjih 

dana preko podele sata na 60 minuta i 3600 sekundi kao i podele kruga na 360 stepeni, koje se 

i sada koriste.  Maje iz Centralne Amerike i Južnog Meksika su razvili dvadesetični sistem sa 

simbolom za nulu (verovatno oko 1000. godine nove ere) i sasvim dobro razvili pozicionu 

notaciju, ali je njihova kultura nestala pre španske invazije. Najveći broj pronađen u kodu 

Maja je 12 489 781 (zapisan u našoj decimalnoj notaciji).  Brojni sistem koji se danas koristi 

je pozicioni sistem sa brojnom osnovom deset. U ovom sistemu svaka cifra ima vrednost u 

zavisnosti od mesta na kome se nalazi. Na primer, u broju 53 cifra 5 označava desetice pa joj 

je vrednost 5

.

10 = 50 dok 3 označava jedinice tako da ima vrednost 3

.

1 = 3. Desetični ili 

decimalni pozicioni sistem duguje svoje poreklo indijskoj matematici. Prva poznata primena 

ovog sistema datira iz 595. godine.

Grčki matematičari su koristili decimalni sistem sa 27 simbola: 24 slova grčkog alfabeta

označava jedinice, desetice i stotine a tome su dodata tri stara simbola: 

digama

 (6), 

kopa

 (90), 

i 

sampi

 (900). Pregled korišćenih simbola je pokazan u sledećoj tabeli:

Jedinice       

A  B  G  D  E  

F

  Z  H  Q

1        2       3       4       5       6       7       8        9

Desetice      

I  K  L  M  N  X  O  P  R

10     20     30     40      50     60      70      80      90

Stotine       

R  S  T  U  F  C  Y  W  L

                100    200   300   400    500    600    700    800    900