SEMINARSKI RAD
Krivolinijski integral
Predmet: Matematika 3
Predmetni nastavnik : Student:
Br. dosijea:
Smer:
Sadržaj
1. Uvod _______________________________________________3
2. 1. O tehničkoj dijagnostici_______________________________2
3. 2. Podela tehničke dijagnostike___________________________4
4. 2.1. Subjektivni postupci tehničke dijagnostike_______________5
5. 2.2.2. vizuelna ispitivanja(kontrole)________________________6
6. 2.2.3. Ispitivanje (kontrola) boje i mirisa____________________6
7. 3. Objektivni postupci tehničke dijagnostike_________________7
8. 3.1. Vibroakustički postupak_____________________________8
9. 3.2. Postupci kontrole habanja i sagorevanja_________________8
2
formu. Telo čiju zapreminu posmatramo zamšlja se rasečenim na bezbroj beskrajno tankih
pločica (listića). Pomeranjem se oblik tela može stalno menjati - zapremina ostaje ista. Ovakav
način za uporedivanje i zapremine raznih tela potiče verovatno još iz predgrčke matematike i
sličan je eksperimentu. Tek u pojmu odredenog integrala, koji se javlja pred kraj XVII veka takva
rarmatranja dobijaju logički ispravan oblik. Antička metoda integraljenja, koja jedva da se mogla
naslutiti iz objavljenih dela stare grčke geometrije koja su došla do nas, ponovo se javljaju tek u
XVII veku, u jednom delu Johana Keplera. Prvi deo ,,Stereometrije vinskih bačvi”Kepler je
nazvao ,,Arhimedova stereomertija”. U njemu navodi niz teorema iz Arhimedovog spisa ,,O sferi
i cilindru”, ali u daleko jednostavnijem obliku. Kepler nije bio pristalica Arhimedove strogosti.
Kod njega se povšsina kruga sastoji od beskonačno velikog broja trouglova sa zajedničkim
vrhom u centru, a sfera od beskonačno velikog broja sitnih piramida. On odbacuje metodu
ekshaustije i zamenjuje je malim veličinama. Geometrija nedeljivih (1635) Bonaventura
Kavaljerija, profesora Bolonjskog univerziteta, dala je nove principe integraljenja na osnovu
Arhomedovih radova. Kavaljeri je dopunijo odredene dokaze, pokušavajući da dokaže Arhimeda
zameni jednostavnijima. Radeći nad ,,Sferom i cilindrom”on dolazi do novih dokaza za nalaženje
zapremine kupe, jednako strogih kao i kod Arhimeda, ali znatno jednostavnijih. Kavaljeri je
shvatio, za razliku od svojih predhodnika, da metoda ekshaustije daje apsolutno dokazane i
nekontradiktorne rezultate, što on svojom ,,metodom nedeljivih”(tj. Beskonačno malih veličina)
nije mogao da postigne. Sa druge strane on je osećao da je Arhimedova metoda neplodotvorna,
veštačka, neočigledna, i zbog toga nedovoljno ubedljiva. Pokušavao je gde god je to moguće da,
Arhimedove dokaze zameni direktnim dokazima, i smatrao je velikim nedostatkom svog sistema
kada mu u jednom slučaju (pri odredivanju zapremine piramide) to nije pošlo za rukom.
Kavaljieri je izložio uprošćenu varijantu računa beskonačno malih veličina, koja se zasniva na
predstavama po kojima tačka pri kretanju daje liniju, a linija površ. Ploazeći od toga, on je
spajao duži da bi dobio površ, a delove ravni da bi dobio telo. Kavaljerijev drug i savremenik
Toričeli je pokazao da se, polazeći od takvih predstava, može dokazati da se svaki trougao
jednom visinom može podeliti na dva jednaka dela. Tada je Kavaljeri duži zamenio ,,nitima”, tj
delovima površi veoma male širine i na taj način stao na poziciju ,,atomistične” metode. U istoriji
razvitka matematike postoje jos mnogobrojna razmišljanjanja na ovu temu, koja je intrigirala
mnoge matematičare. Opštu metodu diferenciranja i integrljenja, zasnovanu na potpunom
shvatanju inverznosti ova dva procesa, mogli su pronaći tek ljudi koji su ovladali kako
geometrijskim metodama Grka i Kavaljerija tako i algebarskim metodama Dekarta i Valisa. Ti
ljudi su se mogli pojaviti tek posle 1660. godine, i oni su se stvarno pojaviji u ličnostima Njutna i
Lajbnica. Veoma mnogo je napisano o prioritetu tog otkrića. Ustanovljeno je da su oni do svojih
metoda došli nezavisno jedan od drugog. Njutn je prvi otkrio analizu (1665-1666. godine, a
Lajbnic 1673-1676. godine), ali je Lajbnic prvi štampao svoje radove (Lajbnic ih je štampao u
vremenu od 1684-1686. godine, a Njutnovi radovi iz ove oblasti objavljeni su tek posle njegove
smrti, tj izmedu 1704-1736. godine). Lajbnicova škola bila je blistavija u poredenju sa
Njutnovom školom. Isak Njutn je učio u Kembridžu kod Isaka Baroa, koji je 1669. godine predao
svoju profesorsku katedru svome učeniku, što je veoma značajna pojava u akademskom životu, i
time je javno priznao Njutnovu prednost. Njegov izuzetan autoritet uglavnom su stvorili njegovi
Marematički principi prirodne filozofije. Teško je sgledati geometrijsku formu njegovih dokaza
zato što je on potpuno vladao analizom, koju je nazivao teorija fluksija. Gotfrid Vilhelm Lajbnic
je jedan on najplodnijih pronalazača matematičkih simbola. Bilo je veoma malo naučnika koji su
tako dobro shvatali jedinstvenost forme i sadržaja. Ako se ima u vidu filozofska pozadina, ona se
može shvatiti kako je Lajbnic pronašao analizu. To je bio rezultat njegovih traženja univerzalnog
jezika, konkretno jezika koji će izražavati promene i kretanje. Lajbnic je svoj novi račun
4
pronašao u periodu izmedu 1673. godine i 1667.godine, i to pod neposrednim uticajem Hajgenca,
a tokom izračunavanja Dekarta i Paskala. Naročito ga je podsticalo to što je znao da je Njutn
ovladao sličnom metodom. Njutnov prilaz je bio u osnovi kinematički, Lajbnicov geometrijski.
On je mislio u terminima ,,karakterističnog trougla”(dx, dy, ds), koji se već pojavljivao u nekim
drugim radovima, konkretno kod Paskala i u predavanjima iz geometrije Baroa. Analiza, na način
na koji je postavio Lajbnic, prvi put se pojavila 1684. godine u članku koji je imao šest strana
(matematički časopis Acta Eruditorum). Taj časopis je osnovao Lajbnic 1682. godine.
Karakterističan je naslov toga članka: Nova metoda za maksimume i minimume, kao i za
tangente, gde razlomljene i iracionalne veliˇcine nisu prepreka, i naročit vid izračunavanja toga.
Način izlaganja je težak i nejasan, ali članak sadrži naše simbole dx i dy i pravila diferenciranja,
uključujući i diferenciranje razlomaka, kao i uslove dy = 0 za ekstremne vrednosti i d2y = 0
za prevojne tačke. Posle tog članka 1686. godine pojavio se drugi članak, koji je sadržao pravila
integralnog računa i simbol Jednačina cikloide bila je data u obliku. Pojavom tih članaka počeo je
izuzetno plodan period matematičke delatnosti. Posle 1687. godine Lajbnicu su se pridružila
braća Jakob i Johan Bernuli, koji su oduševljeno prihvatili njegove metode. Još u periodu pre
1700. godine njih trojca su otkriji značajan deo našeg osnovnog kursa analize. U 1696. godini
pojavio se prvi udžbenik iz oblasti analize. Njega je napisao markiz Lopital, učenik Johana
Bernulija. Lopital je u Analizi beskonačno malih objavio predavanja svoga učitelja iz
diferencijalnog računa. U toj knjizi nalazimo tzv. Lopitalovo pravilo za nalaženje granične
vrednosti razlomka kada oba člana teže nuli. Naše oznake u analizi, kao i nazivi ,,diferencijalni
račun”i ,,integralni račun”, potiču od Lajbnica. Lajbnic je najpre predložio naziv ,,sumarni
račun”, ali su se 1696. godine Lajbnic i Johan dogovorili da upotrebljavalu naziv ,,integralni
račun”. Trgovačka porodica Bernuli, je porodica koja je u svakoj generaciji ostavila po nekog
naučnika. Neosporno je istina da je u celoj istoriji nauke tško pronaći porodicu koja je postavila
impozantniji rekord. Osnivači te dinastije su svakako Jakob i Johan Bernuli, Jakob je studirao
teologiju, a Johan medicinu, ali kada su se u lajpciškom Acata Eruditorum pojavili Lajbnicovi
članci, odlučili su da se bave matematikom. Jakob je počeo da se dopisuje sa Lajbnicom 1687.
godine. Otada su braća Bernuli stalno razmenjivali misli sa Lajbnicom i medu sobom. Više puta
su stupali u žestoku prepirku i tako su počeli da otkrivaju dragocene tekovine u pionirskim
dostignućima Lajbnica. Spisak njegovih rezultata je ogroman i sadrži veoma mnogo onoga što
danas ulazi u elementarne udžbenike diferencijalnog i integralnog računa, kao i niz rešenja
običnih diferencijalnih jednačina. Od ostalih Bernulija koji su uticali na razvoj matematike
poznata su dva Johanova sina: Nikolaj i naročito Danijel, dok su njegov otac i stric izgradivali
teoriju običnih diferencijalnih jednačina, Danijel je bio pionir u oblasti parcijalnih diferencijalnih
jednačina. Jedan od najplodnijih matematičara XVIII veka, a verovatno i svih vremena je
Leonard Ojler. Njegovog oca je uveo u matematiku Jakob Bernuli, a Leonarda Johan. Kada je
1725. godine Johanov sin Nikolaj otputovao u Petrograd, mladi Ojler je pošao za njim i ostao na
Petrogradskoj akademiji do 1741. godine. Od 1741. do 1766. godine Ojler se nalazi u Berlinskoj
akademiji pod posebnim pokroviteljstvom Fridriha Velikog, a od 1766. do 1783. godine ponovo
je u Petrogradu, ali sada pod zaštitom carice Katarine. Život ovog akademika iz XVIII veka
potpuno je ispunjen radom u različitim oblastima čiste i primenjene matematike. Mada je 1735.
godine izgubio jedno oko, a i 1766. i drugo, ništa nije moglo da umanji njegovu ogromnu
produktivnost. Slepi Ojler, koristeći fenomenalno pamćenje, nastavio je da diktira svoja otkrića.
Tokom života objavljeno je 530 njegovih članaka, a nakon njegove smrti broj njegovih radova
popeo se na 886. Ogromni autoritet njegovih priručnika je učinio da se u algebri i analizi učvrste
njegove oznake. Lagranž, Laplas i Gaus poznavali su Ojlera i sledili su ga u svome radu. Jedan
od velikih i sadržajno bogatih njegovih priručnika je Diferencijalni račun. Posle tog priručnika
5
