Kružnica i primjena sličnosti na kružnicu

Кружница и примјена сличности на кружницу

Увод

Права и кружница су од најстаријих времена главне линије у геометрији. Њихов значај

произилази из њихове једноставности и из многобројности њихових лако уочљивих особина и

примјена, али такође и отуд што се кружница и права могу најједноставније конструисати: нпр.

права лењиром, а кружница шестаром. Ове двије справе утицале су битно на развој геометрије у

Старом вијеку и на утврђивање њеног садржаја. Геометријске конструкције у равни које можемо

извршити помоћу лењира и шестара сматрамо елементарним.

Кружница је један од најинтересантнијих и најзначајнијих геометријских облика, а конструисање

осталих фигура не може се ни замислити без кружница.

Еуклид се већ у првим ставовима ''Елемената'' служи кружницом да би конструисао

подударне дужи, а сама кружница је лик заснован на подударности.

Тешко је набројати сва подручја у којима се користе сличности и законитости кружнице. Уз

помоћ ове геометријске области ријешени су врло важни проблеми везани за друге науке, као

што су физика, географија, те разне науке о умјетности.

Кружница и примјена сличности на кружницу

I Кружница

1. Дефиниција кружнице

Кружница је скуп тачака у једној равни чија су растојања од једне тачке

(О)

те равни једнака.

Тачка

је средиште (фиксна тачка) или центар кружнице, а дуж чији је један крај средиште

кружнице, а други припада кружници јесте полупречник или радијус.

K(O,r)

⊂

≝

{M|M

∈

∧

ρ (O,M)=r}

Кружница дијели раван којој припада на двије области : унутрашњу и спољашњу.

∈

π|ρ(O,M)<r}

је унутрашња област, а

∈

π|ρ(O,M)>r}

је спољашња област кружнице

К.

Унија унутрашње области кружнице и кружнице зове се круг. Дио равни који припада кругу
назива се површ круга.

2. Положај тачке према кружници

Нека је дата кружница

К(О,r)

и тачка

која припада равни кружнице (сл.1). Тада,

∈

K)V(P

∉

K).

Aко

∈

онда је

ρ(O,P) = r

, а ако је

∉

, онда је

[ρ(O,P)<r] V [ρ(O,P)>r],

што значи да тачка Р припада или унутрашњој или спољашњој области кружнице

К.

Слика 1

3. Положај праве према кружници. Тангента кружнице.

Кружница и примјена сличности на кружницу

У овом случају, права

има двије заједничке тачке са кружницм

, па кажемо да се права

кружница

сијеку. Права

се зове сјечица или секанта кружнице

К.

Примјер 1.

Конструисати тангенту дате кружнице

К(О,r)

која садржи дату тачку

, која припада спољашној

области ове кружнице.

Анализа:

Претпоставимо да је задатак ријешен и да је права

РА

тангента кружнице

у тачки

(сл.4).

Слика 4

Обиљежимо са

угао

АОР

, а са

угао

АРО

па конструишемо угао

∡

ОАx=α

. Означимо са

угао

xАР

. Ако је

ОР

∩

Аx ={Ѕ}

онда је

ЅО=ЅА

. Како је тангента

РА

⊥

ОА

то је

α+ ε= d

, а пошто је и

α+β=д

⇒

β=ε

. Отуда је

ЅО=ЅА=ЅР

, што значи да тачке

О, А, Р

припадају кружници чије

средиште је идентичко са средиштем дужи

ОР

и чији је полупречник једнак половини ове дужи.

Пошто тачка

припада и датој кружници

ово указује на то како се конструише тражена

тангента дате кружнице

Конструкција:

Над дужи

ОР

као над пречником конструише се помоћна кружница

' (сл.5). Ако је

∩

К'={А,B}

праве

РА

РB

су тражене тангенте кружнице

К.

Доказ:

Пошто је

ЅО=ЅА=ЅР

, троуглови

ЅОА

ЅАР

су једнакокраки, па су им углови на основицама

ОА

АP

једнаки. Ако те углове означимо са

, тада је

α+β=d

односно угао

ОАР

је прав, што значи

да је права

РА

тангента кружнице

Дискусија:

Пошто је дуж

ОР

пречник помоћне кружнице

К'

, а тачка

средиште дате кружнице

, то је

∩

К' ={A,B},

што значи да тачком

можемо конструисати двије тангенте кружнице (сл.5).

Кружница и примјена сличности на кружницу

Слика 5

4. Тангентне дужи кружнице

Дефиниција 2.

Дуж на тангенти кружнице чији је један крај додирна тачка тангенте, а други крај је ма која тачка

те тангенте, назива се тангентна дуж кружнице која одговара тачки

Као што је показано у примјеру 1, тачком

која припада спољашној областикружнице могу се

конструисати двије тангенте кружнице па према томе постоје и двије тангенте дужи кружнице
које одговарају тој тачки.

Теорема 2:

За све дужи

РА

РB

важи: да би дужи

РА

РB

које припадају равни кружнице

K(O,r),

биле

једнаке, довољно је да су тангентне дужи ове кружнице, тј.:



PA Λ



PB:

(

PA Λ PB

тангентне дужи

⇒

PA=PB).

Доказ:

Истинитост ове импликације слиједи из подударности троуглова

△

ОАР и

△

ОBP

(сл.5).

Тангентни четвероугао

Дефиниција 3.

Кружница и примјена сличности на кружницу

(CD-CЕ=AD-АЕ)

⇒

(CD-CЕ=DЕ)

Али посљедња једнакост је због троугла

CDЕ

неодржана, пошто смо претпостављали да права

не додирује кружницу

К(S,SМ),

ова се претпоставка мора одбацити, што значи да је

четвороугао

ABCD

тангентни.

Овако исказана теорема, са наглашеним неопходним и довољним условом, представља
критеријум на основу кога утврђујемо да ли је неки четвероугао тангентни.
Код квадрата, ромба и делтоида збирови наспрамних страница су једнаки, тј. њима се може
уписати кружћница, то су дакле тангентни четвороуглови. Код правоугаоника то није случај, он
није тангентни четвороугао, тј.њему се не може уписати кружница.

Симетрија кружнице према правој

Теорема 4:

За сваку кружниоцу

К(О)

која припада равни

важи:

а) Кружница

је симетрична предма правој

при чему је

⊂

∋

б) Кружница