УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ
ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ
ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И
ИНФОРМАТИКУ
КВАДРАТ
мастер рад
ментор:
студент:
проф. др Невена Пушић
Драгиња Прокић
Нови Сад, 2012.
2
Садржај
Предговор
3
Ознаке
5
1
Увод
6
2
Геометријски докази неких разлагањa квадрата
12
2.1
Разлагање квадрата кроз историју
................................................................. 12
2.2
Разлагање квадрата на једнакостранични троугао (5 полигона)
.................. 19
2.3
Разлагање једнакостраничног троугла на квадрат (4 полигона)
.................. 22
2.4
Разлагање паралелограма на квадрат
........................................................... 23
2.5
Разлагање правилног петоугла и шестоугла на квадрат
.............................. 31
2.6
Методе разлагања
........................................................................................... 34
2.7
Разложива једнакост полигона
....................................................................... 38
3
Примена трансформације квадрата
48
3.1
По чему је квадрат „бољи“ од других четвороуглова?
.................................. 48
3.2
Помоћне конструкције при пресавијању листа хартије
............................... 50
3.3
Квадрат квадратa
............................................................................................ 55
3.4
Процена вредности драгог камена на основу величине
................................ 58
3.5
Квадрат описан око квадрата
......................................................................... 59
3.6
Савршенсто квадратуре
.................................................................................. 63
3.7
Квадрат и електрично коло
............................................................................ 65
Литература
73
Биографија
74
4
Посебну захвалност дугујем својој ментору др Невени Пушић, редовном професору
ПМФ-а у Новом Саду, која је увек имала времена и разумевања и пуно ми помогла не
само током овог рада, већ и током студирања.
Овом приликом се захваљујем и својој породици, родитељима Синиши и Јованци,
браћи Младену, Ивану и Александру који су ми представљали највећу подршку не само
током писања овог рада, него и током живота.
Нови Сад, jануар 2012. Име и презиме
Драгиња Прокић
5
Ознаке
N
- скуп свих природних бројева
C
B
A
- тачка
B
се налази између тачака
A
и
C
на истој правој
In
- унутрашњост скупа
Ex
- спољашњост скупа
Bd
- руб скупа
B
A
p
,
- права кроз тачке
A
и
B
B
A
pp
,
- затворена полуправа са почетком у тачки
A
којој припада тачка
B
b
a
tr
,
- затворена трака заједно са рубним (паралелним) правама
a
и
b
v
l
|| - праве
l
и
v
су паралелне
v
l
- праве
l
и
v
су нормалне
F
S
- вредност површине фигуре
F
F
p
- вредност обима (периметра) фигуре
F
- фигуре
и
су сличне
- фигуре
и
су подударне
7
а) б)
Слика 1.2.
У књизи [12], квадрат се пореди са механизмом, како би се дочарале све занимљиве
особине у разлагању квадрата. Дословце стоји: „Квадрат је веома сличан механизму са
тачно одређеним деловима, на које се може разложити и из њих се поново може
саставити нови механизам“ .
Три табеле дате испод приказују девет начина на које се квадрат може разложити,
сваки посвећен решавању једног или више проблема следеће формулације:
Дату фигуру (или унију фигура), која има површину једнаку површини разложеног
квадрата, разложити на делове тако да се може успоставити бијекција између скупа
делова на које је разложен квадрат и скупа делова на које је разложена та фигура (унија
фигура) при чему су придружени делови међусобно подударни.
Дакле, наведени проблем тражи да од делова квадрата (датог разлагања) саставимо
тражену фигуру (геометријску фигуру). Примећујемо да је овај проблем инспирисан
танграмом. При решавању танграма дозвољава се да се делови квадрата окрећу, тј.
мењају обе стране делова (стога се сугерише да се обе стране квадрата обоје истом бојом).
Ако бисмо захтевали у горњем проблему да су придружени делови квадрата и фигуре не
само подударни, већ и једнако оријентисани, то би одговарало забрани окретања делова
танграма. Приметимо, такође, да би овај проблем био тежи уколико не би било дато
разлагање квадрата. Проблем би се тада састојао у проналажењу разлагања и квадрата и
дате фигуре исте површине која омогућавају успостављање бијекције између њихових
скупова делова и доказивању подударности и једнаке оријентисаности одговарајућих
делова.
Најпре прецизно дефинишимо појам разлагања фигуре и разложиве једнакости два
полигона.
Дефиниција 1.1.
[3]: За ограничену дводимензионалну фигуру F кажемо да је
разложива
на дводимензионе фигуре
N
k
F
F
F
k
,...,
,
2
1
ако важи
1.
k
i
i
F
F
1
;
