Sadržaj
1. Uvod ...................................................................................................... 2
2. Drevne kvadrature ................................................................................. 3
2.1 Hipokrat sa Hiosa ........................................................................... 5
2.2 Antifon i Brison .............................................................................. 6
3. Geometrijske kvadrature ....................................................................... 8
3.1 Kvadratrisa ..................................................................................... 8
3.2 Arhimedova spirala ........................................................................ 12
4. Približne vrednosti broja
.................................................................... 14
5. Numeričke kvadrature ........................................................................... 16
5.1 Konstrukcija Kočanskog ................................................................ 16
6. Literatura ............................................................................................... 18
1
2. Drevne kvadrature
Jedan od najstarijih sačuvanih matematičkih spisa je
Rajndov papirus
,
nazvan po Henriju Rajndu koji ga je kupio u Luksoru 1858. godine. Napisao
ga je Ahmes oko 1650. godine p.n.e., ali neki stručnjaci veruju da se
Rajndov papirus zasniva na radu koji doseže čak do 3400. godine p.n.e.
U Rajndovom papirusu,
Ahmes
daje pravilo za konstrukciju kvadrata
površine približno jednake površini kruga. To pravilo se sastoji u
oduzimanju 1/9 prečnika kruga i konstrukcije kvadrata od 8/9 prečnika
kruga. Iako, ovo nije prava geometrijska konstrukcija kao takva ona nam
pokazuje da se za problem kvadrature kruga znalo još na samom početku
matematike. Ovakvom konstrukcijom za
je dobijeno 3.1605.
Zaista, ako je približna vrednost
P
0
površine kruga kome je prečnik
d
jednaka površini kvadrata koji je opisan oko tog kruga, tada je
, te je
približna vrednost broja
jednaka 4. Ako površinu kvadrata umanjimo za
četiri kvadrata
A
1
čija je stranica
d/6
, tada će približna vrednost površine
kruga biti
. Odavde sledi da je
3.555. Ako
novodobijenu površinu umanjimo za osam kvadrata
A
2
čija je stranica
d/9
,
tada će približna vrednost površine kruga biti
.
Odavde sledi da je
.
Prvi matematičar koji je pokušavao da reši problem kvadrature kruga
bio je
Anaksagora
iz Klazomene, rođen oko 500. godine stare ere. Plutarh, u
svom spisu
O progonstvu
u kojem teši jednog prijatelja koji je bio prognan
na neko ostrvo Egejskog mora, kaže:
Ne postoji mesto koje čoveku može da oduzme sreću, niti njegovu
pamet. Zaista, Anaksagora je pisao o kvadraturi kruga dok je bio u zatvoru.
3
Problem je postao jako popularan ubrzo posle ovog, ne samo među
mali broj matematičara, već i šire, na šta nam ukazuje odlomak iz
Aristofanovih
Ptica
(414.p.n.e.), u kojem astronom Meton, poznat po otkriću
kruga 19 godina kojim se nalazi približna zajednička mera julijanske godine
i sinodičkog meseca, kaže:
Tad uzmem lenjir i šestar i izmerim, i krug se u kvadrat pretvorio.
Ovaj stih, se u stvari ne odnosi na problem kvadrature kruga, nego na
podelu kruga na četiri podudarna dela. Tema koja okupira Metona je
zapravo urbanistički problem podele kruga kome je središte agora (trg) na
četiri podudarna dela, dvema normalnim pravama koje predstavljaju četiri
glavne ulice u gradu koje izviru iz glavnog trga, a ostale ulice zrakasto se
šire iz središta prema periferiji ili presecaju tu zvezdu koncentričnim
krugovima.
Posle Anaksagore znamo za par matematičara koji su se bavili
kvadraturom kruga, to su: Onopida, Hipia, Hipokrata, Antifon i Brison.
Onopida
je osoba, koja je po mišljenju Hita zatražila ravansko rešenje
za geometrijske probleme. Proklo pripisuje dve teoreme Onopidi,
konstrukciju normale na datu pravu iz date tačke koja ne pripada toj pravoj, i
konstrukciju prave od date tačke na datoj pravoj, koja sa datom pravom
zahvata dati ugao. Hit veruje da je značaj ovih elementarnih rezultata bio u
tome što je Onopida po prvi put izneo ravansku konstrukciju, tj. konstrukciju
samo uz pomoć šestara i lenjira.
Ne postoje zapisi da je Onopida pokušao da izvrši kvadraturu kruga
ravanskim metodama. U stvari, interesantna je činjenica da Grci nisu
izvodili pogrešne dokaze prilikom kvadrature kruga ravanskim metodama.
Na žalost, kasniji matematičari nisu sledili dobre primere koje su pokazali
drevni Grci i zaista su mnogi netačno tvrdili da imaju dokaz uz pomoć
šestara i lenjira. Matematičari amateri, u velikoj meri privučeni klasičnim
problemima, izveli su i, i dalje izvode hiljade pogrešnih dokaza.
2.1 Hipokrat sa Hiosa
4
