1
UNIVERZITET U BEOGRADU
TEHNIČKI FAKULTET U BORU
SEMINARSKI RAD
LAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Smer: Inženjerski menadžment
Predmet: Teorija sistema
Profesor: Student:
Dr
Bor, 2017.
2
SADRŽAJ
Uvod……………………………………………………………………………….
1
1
.
Definisanje Laplasove transformacije
…………………………………………..
2
1.1 Osnovne osobine transformacije……...……………………………………..
3
1.2 Tablica Laplasove transformacije……..……………………………………..
6
2
.
Inverzna Laplasova transformacija
……...……………………………………..
7
3
.
Primena Laplasove transformacije
…………………………………………….. 11
3.1 Rešavanje diferencijalnih jednačina…….…………………………………..
11
3.2 Rešavanje integralnih jednačina…………………………………………….. 12
3.3 Primena Laplasove transformacije na fizičke sisteme………………………. 13
3.3.1 Radioaktivni raspad…………………………………..……………….. 13
3.3.2 Telo mase
m
na opruzi………………………..……………………….. 14
3.3.3 Strujno kolo………………………………………..…………………..
15
3.3.4 Uvijanje greda usled opterećenja….…………………………………..
16
4
.
Zaključak
……………………………………………………………..………….. 17
5
.
Literatura
………………………………………………..……………………….. 18
LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA
Definisanje
2
1. DEFINISANJE LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE
Ova transformacija je nazvan po francuskom matematičaru Pjeru Laplasu (Pierre-Simon
Laplace, 1749-1827). Uvođenjem ovakvih transformacija, moguće je probleme iz jedne oblasti
matematike prevesti u drugu u kojoj se lakše rešavaju.[3]
U analizi i sintezi dinamičkih sistema uopšte, pojavljuje se problem rešavanja diferencijalnih
jednačina. Analiza ponašanja linearnih dinamičkih sistema sa koncentrisanim i vremenski
nepromenjivim parametrima se svodi na problem rešavanja odgovarajućeg sistema linearnih
diferencijalnih sa konstantnim koeficijentima. Rešavanje ovih jednačina se pojednostavljuje
primenom Laplasove transformacije (Laplace).[4]
Laplasova transformacija se definiše na sledeći način [5]:
DEFINICIJA 1 -
Originalom
se naziva kompleksna funkcija
f
realne promenljive, koja
ispunjava sledeće uslove:
1)
f(t)
= 0 za
t
< 0;
2) Funkcija
f
zajedno sa svojim izvodima do
n
– tog reda je deo po deo neprekidna;
3) Postoje pozitivni brojevi
M
i
s
takvi da je:
|
f
(
t
)
|
<
Ke
st
(
t
>
0
)
DEFINICIJA 2 - Laplaceova transformacija ili
slika originala
f(t)
definisana je sa
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)=
∫
0
∞
f
(
t
)
e
−
st
dt
Gde je
s
=
σ ± jω
kompleksna promenljiva.
Laplasova transformacija se ne može odrediti za
sve funkcije (npr.
t
t
, e
t
2
)ali se takve funkcije retko susreću u teoriji i praksi, i njihovo razmatranje
nije od posebnog značaja.
Funkcija F zove se Laplaceova slika originala f, a integral koji se pojavljuje naziva se
Laplaceov integral.
Primećujemo da nova promenljiva
s
uvedena definicijom 2 ima prirodu učestalosti ako je
t
vreme, jer je veličina
st
bez dimenzije i
p= 1/t
. zbog toga se u inženjerskim disciplinama
s
često
naziv
kompleksna učestalost
.[5]
1.1 OSNOVNE OSOBINE (TEOREME) TRANSFORMACIJE
LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA
Definisanje
3
1. Teorema o linearnosti
[5]
L
(
c
1
f
1
(
t
)+
c
2
f
2
(
t
)
)
=
c
1
L
(
f
1
(
t
)
)
+
c
2
L
(
f
2
(
t
)
)
Gde su
c
1
i
c
2
proizvoljne konstante.
Koristeći definiciju i osnovne osobine određenog integral, imamo
L
(
c
1
f
1
(
t
)+
c
2
f
2
(
t
)
)
¿
∫
0
+
∞
(
c
1
f
1
(
t
)+
c
2
f
2
(
t
)
)
e
−
st
dt
=
c
1
∫
0
+
∞
f
1
(
t
)
e
−
st
dt
+
c
2
∫
0
+
∞
f
2
(
t
)
e
−
st
dt
¿
c
1
L
(
f
1
(
t
)
)
+
c
2
L
(
f
2
(
t
)
)
2. Teorema pomeranja
– Ako je a proizvoljan kompleksan broj i ako je
L (f(t)) = F(s),
imamo:
L
(
e
at
f
(
t
)
)
=
F
(
s
−
a
)
Prema definiciji dobija se
L
(
e
at
f
(
t
)
)
=
∫
0
+
∞
e
at
f
(
t
)
e
−
st
dt
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−(
s
−
a
)
t
dt
=
F
(
s
−
a
)
3. Teorema sličnosti
– Ako je
k > 0
i
L (f(t)) = F (s),
tada je
L
(
f
(
kt
)
)
=
1
k
F
(
s
k
)
Kako je prema definiciji
L
(
f
(
kt
)
)
=
∫
0
+
∞
f
(
kt
)
e
−
st
dt
Stavljajući
kt = u
, dobijamo
L
(
f
(
kt
)
)
=
1
k
∫
0
+
∞
f
(
u
)
e
−
su
/
k
du
=
1
k
F
(
s
k
)
4. Teorema kašnjenja
– Ako je
L (f(t)) = F (p),
tada za svaku pozitivnu konstantu
a
važi
