Predgovor
Ova knjiga predstavlja udˇzbenik iz predmeta
Linearna algebra
koji se stu-
dentima Elektronskog fakulteta u Niˇsu predaje u I semestru poˇcev od ˇskolske
2004/2005. godine. Knjiga je nastala na osnovu viˇse puta objavljivanih udˇz-
benika istih autora, pod naslovom :
Matematika za studente tehniˇckih fakul-
teta, I i II deo
.
Udˇzbenik
Linearna algebra
sastoji se iz ˇsest glava.
U glavi
Osnovi algebre
izloˇzeni su algebra skupova, matematiˇcka indukcija
i elementi teorije o apstraktnim strukturama. Posebna paˇznja je posve´cena
kompleksnim brojevima.
Glava
Linearni prostori, linearni operatori i matrice
, sastoji se iz dela u
kojem su uvedeni osnovni pojmovi teorije linearnih prostora, sa posebnim
osvrtom na prostor prosto-periodiˇcnih oscilacija, kao i teorije linearnih ope-
ratora i dela u kojem je detaljno izloˇzena teorija matrica i determinanata.
Sistemi linearnih jednaˇcina
je glava u kojoj su izloˇzeni osnovni metodi
reˇsavanja sistema linearnih jednaˇcina i u vezi sa tim i osnovni pojmovi o
ekvivalentnim sistemima vektora i matrica.
U glavi
Algebarski polinomi i racionalne funkcije
, ukratko ali u dovoljnoj
meri, izloˇzena je teorija o algebarskim polinomima, teorija o reˇsavanju al-
gebarskih jednaˇcina, kao i izvesni pojmovi o polinomskim funkcijama viˇse
promenljivih i racionalnim funkcijama.
Glava
Spektralna teorija matrica i operatora
tretira problem sopstvenih
vrednosti, invarijantne potprostore i strukturu linearnih operatora.
I na kraju, u glavi
Elementi analitiˇcke geometrije
ukratko je izloˇzena ana-
litiˇcka geometrija u trodimenzionalnom prostoru.
Svaka glava je podeljena na poglavlja, a poglavlja na odeljke.
Numeracija objekata (formula, teorema, definicija i sl.) u okviru jednog
odeljka izvrˇsena je pomo´cu tri broja od kojih prvi ukazuje na poglavlje, drugi
na odeljak i tre´ci na redni broj tog objekta u posmatranom odeljku. Tako, na
primer, Teorema 3.2.4 predstavlja
ˇcetvrtu
teoremu u
drugom
odeljku
tre´ceg
poglavlja odgovaraju´ce glave. Na ovaj naˇcin je uspostavljena jednoznaˇcna
numeracija objekata u okviru jedne glave.
Sadrˇ
zaj
I
G L A V A
Osnovi algebre
1. SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA
1
1.1. Elementi matematiˇcke logike
1
1.2. Skupovi i osnovne osobine skupova
3
1.3. Relacije
9
1.4. Preslikavanja
17
1.5. Mo´c i ekvivalencija skupova
24
2. MATEMATI ˇ
CKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA
28
2.1. Matematiˇcka indukcija
28
2.2. Faktorijelne funkcije i binomna formula
32
2.3. Osnovi kombinatorike
38
3. ALGEBARSKE STRUKTURE
51
3.1. Binarna operacija, osnovne strukture i morfizmi
51
3.2. Podgrupe
57
3.3. Algebarske strukture sa dve operacije
61
3.4. Polje realnih brojeva
62
3.5. Polje kompleksnih brojeva
67
3.6. Vektori i operacije sa vektorima
83
4. ZADACI ZA VEˇ
ZBU
89
II
G L A V A
Linearni prostori, linearni operatori i matrice
1. LINEARNI PROSTORI
93
1.1. Struktura linearnog prostora i baza prostora
93
1.2. Izomorfizam linarnih prostora
102
viii
SADRˇ
ZAJ
1.3. Linearni prostor prosto-periodiˇcnih oscilacija
104
1.4. Normirani prostor
108
1.5. Skalarni proizvod i unitarni prostor
110
1.6. Konstrukcija ortogonalne baze
115
1.7. Ortogonalni potprostori
119
2. MATRICE I DETERMINANTE
121
2.1. Pojam matrice
121
2.2. Linearni operatori
125
2.3. Matrica linearnog operatora na
konaˇcno-dimenzionalnim prostorima
134
2.4. Operacije sa matricama
138
2.5. Transponovana matrica
143
2.6. Neke klase matrica
148
2.7. Stepenovanje kvadratne matrice
150
2.8. Determinanta matrice
155
2.9. Osobine determinanata
160
2.10. Razlaganje determinante
164
2.11. Adjungovana i inverzna matrica
171
2.12. Blok matrice i operacije sa njima
176
3. ZADACI ZA VEˇ
ZBU
180
III
G L A V A
Sistemi linearnih jednaˇ
cina
1. METODI REˇ
SAVANJA
189
1.1. Cramerove formule
189
1.2.
LR
faktorizacija kvadratne matrice
192
1.3. Gaussov metod eleiminacije
197
1.4. Primene na inverziju matrice
201
2. EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA
202
2.1. Ekvivalentni sistemi vektora
202
2.2. Zavisnost matrice operatora od baze
205
2.3. Rang matrice
208
2.4. Elementarne transformacije i ekvivalentne matrice
212
2.5. Linearna zavisnost vrsta i kolona matrice
220
2.6. Kronecker-Capellieva teorema
226
3. ZADACI ZA VEˇ
ZBU
237
x
SADRˇ
ZAJ
1.4. Minimalni polinom
316
2. STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA
317
2.1. Invarijantni potprostori
317
2.2. Jordanov kanoniˇcki oblik
326
3. ZADACI ZA VEˇ
ZBU
335
VI
G L A V A
Elementi analitiˇ
cke geometrije
1. VEKTORSKA ALGEBRA
339
1.1. Koordinatni sistemi
339
1.2. Projekcija vektora na osu
343
1.3. Vektorski proizvod dva vektora
345
1.4. Meˇsoviti proizvod tri vektora
350
1.5. Dvostruki proizvod tri vektora
352
2. RAVAN I PRAVA
353
2.1. Razni oblici jednaˇcine ravni
353
2.2. Razni oblici jednaˇcina prave
359
2.3. Uzajamni odnos prave i ravni
365
3. POVRˇ
SINE DRUGOG REDA
366
3.1. Kvadratne forme i hiperpovrˇsine drugog reda
366
3.2. Povrˇsi drugog reda u
R
3
368
4. ZADACI ZA VEˇ
ZBU
374
Literatura
379
Indeks imena
381
æ
