УНИВЕРЗИТЕТ ПРИВРЕДНА АКАДЕМИЈА У НОВОМ САДУ
ФАКУЛТЕТ ЗА ПРИМЕЊЕНИ МЕНАЏМЕНТ, ЕКОНОМИЈУ И
ФИНАНСИЈЕ, БЕОГРАД
Предмет: Математика за информатичаре 2
СЕМИНАРСКИ РАД
ТЕМА: ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА (РАНГ МАТРИЦЕ, ЕЛЕМ.
ТРАНСФОРМАЦИЈЕ, ХОМОГЕНИ И НЕХОМОГЕНИ
СИСТЕМИ)
Ментор: Студент:
Доц. Др Љубица Диковић Никола Бранковић
Број индекса:
I001 – 11/2015
Београд, 2017. године
Садржај
1. Линеарна алгебра
..................................................................................................................................1
2. Матрице
...................................................................................................................................................1
2.1. Појам матрице и операције.............................................................................................................1
2.2. Детерминанте....................................................................................................................................3
2.3. Ранг матрице и елементарне трансформације..............................................................................4
2.3. Хомогени системи.............................................................................................................................5
2.3. Нехомогени системи.........................................................................................................................6
3. Задаци.......................................................................................................................................................7
4. Литература..............................................................................................................................................15
2
Матрице се означавају великим словима латинице: A, B, C, ... Произвољни
елементи матрице
а
ij
припада
i
-тој врсти и
j
-тој колони, па матрицу можемо означити
као
[
a
ij
]
m
×
n
.
За матрицу са m врста и n колона кажемо да има димензију m×n.
Две матрице
A
=
[
a
ij
]
m
×
n
и
B
=
[
b
ij
]
m
×
n
су једнаке, тј. A=B ако и само ако је:
а
ij
=
b
ij
,
∀
(
i
,
j
) ,
i
= 1, 2,..., m;
j
= 1,2,..., n.
Матрица врсте је матрица код које
[
a
ij
]
m
×
n
m = 1 , n > 1, тј.
[
а
ij
]
1
×
n
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
]
Матрица колоне је матрица код које је m > 1 , n =1 , тј.
[
a
ij
]
m
×
1
=
[
a
11
a
21
⋮
a
m
1
]
Нула матрица је она матрица чији су сви елементи једнаки нула.
Квадратна матрица је матрица код које је број врста јееднак броју колона.
Елементи
а
11
,
а
22
, ...,
а
nn
леже на главној дијагонали квадратне матрице.
Квадратна матрица у којој су сви елементи ван главне дијагонале нула, а
елементи на главној дијагонали нису сви нула, назива се дијагонална матрица.
Јединична матрица је дијагонална матрица код које је
а
11
=
а
22
=...
а
nn
= 1, и
означава се словом I.
I
=
[
1 0
⋯
0
0 1
⋯
0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0
⋯
1
]
Транспонована матрица матрице
А
=
[
а
ji
]
n
×
m
је матрица добијена заменом места
свих врста одговарајућим колонама или обрнуто. Обележава се са
A
T
и износи
А
T
=
[
a
ji
]
n
×
m
3
2.2. Детерминанте
Свакој квадратној матрици придружујемо реални број који зовемо детерминанта.
Детерминанта је квадратна шема бројева од n×n елемената распоређених у n врста и n
колона.
D
=
det
(
A
)=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
nn
]
Детерминанта је број, за разлику од матрице која је само шема произвољних
елемената.
Број
|
a
11
|=
a
11
се назива детерминанта првог реда.
Број
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
се назива детерминанта другог реда.
Број
|
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
|
се назива детерминанта трећег реда.
Детерминанта која се добија из детерминанте D одбацивањем
i
–те врсте и
j
–те
колоне назива се минор елемента
a
ij
и обележава се са
M
ij
.
Кофактор елемента
a
ij
је број
A
ij
=(−
1
)
i
+
j
M
ij
.
Детерминанте трећег реда има онолико минора колико и елемената, тј 9. На
пример, елементима
a
11
,
a
12
и
a
13
одговарају минори
M
11
=|
a
22
a
23
a
32
a
33
|
,
M
12
=|
a
21
a
23
a
31
a
33
|
,
M
13
=|
a
21
a
22
a
31
a
32
|
.
а кофактори су
