Bosna i Hercegovina
BRČKO DISTRIKT
BOSNE I HERCEGOVINE
Internacionalni univerzitet
Brčko distrikt BiH
Босна и Херцеговина
БРЧКО ДИСТРИКТ
БОСНЕ И ХЕРЦЕГОВИНЕ
Интернационални универзитет
Брчко дистрикт БиХ
M. Malića i I. Džindića bb. 76100 Brčko Distrikt BiH
[email protected]
М. Малића и И. Ђинића бб. 76100 Брчко Дистрикт БиХ
FAKULTET – OSNOVNE STUDIJE
Logički paradoksi(Zenon)
(Seminarski rad)
Predmet: Logika
Mentor:
Student:
Adelisa Džonlić
Brčko, 2014.
Sadržaj
Uvod.......................................................................................................................................... 3
1.Zenon iz Eleje..........................................................................................................................4
1.1 Život.........................................................................................................................4
1.2 Djela.........................................................................................................................4
2.Paradoks dihotomija.............................................................................................................. 5
3.Paradoks Ahilej i kornjača......................................................................................................9
3.1 Predložena rješenja za Ahila i Dihotomiju..............................................................10
4.Paradoks strijele.....................................................................................................................11
4.1 Predložena rješenja za Paradoks Strijela.................................................................12
5.Prostorni paradoks,paradoks prosa i paradoks stadion..........................................................13
5.1 Prostorni paradoks...................................................................................................13
5.2 Paradoks prosa........................................................................................................13
5.3 Stadion....................................................................................................................13
Zaključak.................................................................................................................................. 14
Literatura...................................................................................................................................15
Uvod
2
1.1 Život
Malo je činjenica sa sigurnošću poznato o Zenonovom životu. Iako napisan gotovo stoljeće
poslije Zenonove smrti, glavni izvor informacija o Zenonovom životu je Platonov dijalog
Parmenid. U tom dijalogu, Platon opisuje posjet Zenona i Parmenida u Ateni, u vremenu kada
je Parmenid imao "oko 65" godina, Zenon "gotovo 40", a Sokrat je bio "veoma mlad"
(Parmenid 127). Ako uzmemo da je Sokrat tada imao oko 20 godina, i znajući da je Sokratovo
rođenje bilo 470. pr. Kr., dobivamo da je datum rođenja Zenona oko 490. pr. Kr.
Platon kaže da je Zenon bio "visok i lijep" i da je "u godinama svoje mladosti [...] bio
obljubljen od Parmenida" (Parmenid 127).
Druge, možda manje pouzdane detalje Zenonovog života donosi knjiga "Životi poznatih
filozofa" Diogena Laertija, gdje je zabilježeno da je on bio sin Teleutagore, usvojeni sin
Parmenida i "dobar u debatiranju obje strane neke rasprave, univerzalni kritičar", te da ga je
elejski tiranin zatvorio, a možda i ubio.
1.2 Djela
Iako nekoliko antičkih pisaca spominje Zenonova pisana djela, nijedno nije sačuvano.
Platon kaže da su Zenonova djela "donesena u Atenu prvi put prilikom..." posjeta Zenona i
Parmenida. Platon dalje kaže da je Zenon rekao da je to djelo "trebalo obraniti Parmenidove
argumente", da je napisano u Zenonovoj mladosti, ukradeno, i objavljeno bez njegovog
odobrenja. Platon daje Sokratovo parafraziranje "prve teze prvog argumenta" u Zenonovom
djelu, koja glasi: "[...] ako ima više bića, ona moraju biti u isto vrijeme i slična i različita, što
je nemoguće, jer slično ne može biti različito, niti različito slično".
Proklo je u svom komentaru Platonovog Parmenida rekao da je Zenon pronašao "[...] ne
manje od četrdeset argumenata koji pokazuju kontradikcije[...]" (st. 29)
Zenonovi su argumenti možda prvi primjeri metode spoznaje zvane reductio ad absurdum,
također zvane i dokaz pomoću kontradikcije.
2. Paradoks dihotomija
4
Prema Aristotelu, argument Dihotomije sastoji se u tome "kako ne postoji gibanje zbog toga
što ono koje se premješta treba stići do polovice prije negoli do cilja" (Fiz. 239b11-13).
Međutim, "polovica pak je beskonačno, a beskonačnosti je nemoguće prijeći" (Fiz. 263a5-6).
Dakle, ono gibajuće (neka je to neki trkač) prije negoli prijeđe cijeli put mora prvo prijeći
polovicu, zatim četvrtinu, pa osminu i tako beskonačno dalje, dakle, općenito odsječke puta
1/2n (n = 1, 2, 3, ...). Dakako, ovdje je udaljenost AB koju trkaču valja prijeći "normalizirana"
na jedinicu (vidi sliku 1a). Postoji i tzv. 'obrnuta' inačica Dihotomije, gdje trkač ne bi mogao
niti započeti utrku, budući bi prije nego li prijeđe polovicu puta morao prijeći četvrtinu puta, a
prije toga osminu i tako dalje. Kako sada nema prve točke u nizu beskonačno mnogo točaka,
trkač ne bi mogao niti započeti trku (vidi sliku 1b).
Slika 1.
Valja pripomenuti kako je u Zenonovu dokazu potpuno nebitno kako trkač prelazi ove
odsječke (polovice) puta. Od trkača bi se moglo tražiti "da se istodobno s kretanjem prije
izbroji polovica pri svakoj pojedinoj nastaloj polovici" (Fiz. 263a6-9), dakle, trkač bi mogao
legato (dakle, u jednom komadu, neprekidno) trčati i usput brojati prijeđene intervale:
[0,1/2], [1/2,3/4], [3/4,7/8], ..., [(2n-1-1)/2n,(2n-1)/2n]
odnosno, trčati neprekidno i brojati prva (polovica), druga, treća .... Ovo bi, međutim, vodilo
do jednog sasvim standardnog contradictio in adiecto, jer, kako kaže Aristotel, "kad je
prijeđena cijela crta, izlazi da je izbrojen beskonačan broj, što je po općem mnijenju
nemoguće" (Fiz. 263a9-11). S druge pak strane, kada Aristotel govori o još jednoj inačici
Dihotomije u smislu da nešto ne može "pojedince taknuti beskonačnost u konačnome
vremenu" (Fiz. 233a21), ovo taknuti valja shvatiti doslovno; taknuti može značiti fizički
kontakt trkača i postaja na njegovom putu, koje se podudaraju s točkama puta
1/2, 3/4, 7/8, ..., (2n-1)/2n
kojih pak ima beskonačno mnogo. Trkač bi primjerice mogao trčati staccato (dakle,
odsječeno, isprekidano), odnosno, protrčati, primjerice, prvi odsječak puta (polovicu) pa se
nakratko zadržati u točki 1/2; zatim protrčati drugi odsječak puta (četvrtinu) i stati u točki 3/4,
i tako dalje, ili pak opet trčato legato i doticati nešto pri postajama puta. Međutim, ono što je
bitno u svih ovih inačica Zenonove Dihotomije jest pretpostavka dolaženja trkača na cilj u
konačnome vremenu, jer riječ je o okončanom, izvršenom zadatku, odnosno, o dolaženju
trkača na cilj u točki B. Konačno je vrijeme suština paradoksa jer bi u tom slučaju u
5
