Nataˇ
sa Sladoje
Matematiˇ
cka analiza 2
Materijal za kurs na odseku Geodezija i geomatika,
Fakultet tehniˇ
ckih nauka u Novom Sadu
1
Materijal se, u najve´
coj meri, zasniva na slede´
cim izvorima:
•
Calculus III, Paul Dawkins, Lamar University, http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx
•
Calculus, Gilbert Strang, MIT,
•
Multivariable Calculus, MIT, 18.02SC, Fall 2010, http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02sc-multivariable-
calculus-fall-2010/
•
Matematiˇ
cka analiza 2, Mila Stojakovi´
c, FTN Novi Sad, 2004
•
Zbirka reˇ
senih zadatak iz Matematiˇ
cke analize II, N. Ralevi´
c, L. ˇ
Comi´
c, J. Pantovi´
c, FTN Novi Sad, 2008
Najve´
ci broj ilustracija preuzet je iz
•
Calculus III, Paul Dawkins, Lamar University, http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx
•
Calculus, Gilbert Strang, MIT,
2
U prostoru
R
2
traˇ
zeni skup taˇ
caka ima koordinate oblika (3
, y
) i obrazuje pravu normalnu na
x
-osu, kao ˇ
sto je
prikazano na Slici 2(sredina).
Konaˇ
cno, u prostoru
R
3
datom jednaˇ
cinom je odred¯ena ravan paralelna sa
yz
-ravni, kao ˇ
sto je prikazano na
Slici 2(desno). Ove taˇ
cke imaju koordinate oblika (3
, y, z
), odnosno proizvoljnu vrednost druge i tre´
ce koordinate.
Na taj naˇ
cin opisuju prikazanu ravan.
Slika 2: Skup taˇ
caka koji zadovoljava jednaˇ
cinu
x
= 3 u
R
(levo); u
R
2
(sredina); u
R
3
(desno).
Primer 1.2.
Prikazati grafiˇ
cki skup taˇ
caka koji zadovoljava uslov
x
2
+
y
2
= 4
, u
R
2
i u
R
3
.
Reˇ
senje:
Ovim primerom samo joˇ
s jednom naglaˇ
savamo ono ˇ
sto smo prikazali prethodnim primerom. Ovde
ujedno moˇ
zemo uoˇ
citi i da traˇ
zeni skup taˇ
caka, definisan uslovom koji ukljuˇ
cuje dve promenljive, ne moˇ
zemo
prikazati u
R
.
Skup koji u
R
2
zadovoljava uslov
x
2
+
y
2
= 4 predstavlja centralnu kruˇ
znicu polupreˇ
cnika 2. Ovo je prikazano
na Slici 3(levo).
Za taˇ
cke prostora
R
3
koje ispunjavaju navedeni uslov karakteristiˇ
cno je da njihova
z
-koordinata moˇ
ze imati
proizvoljnu vrednost (nikakva ograniˇ
cenja nisu postavljena). To dovodi do zakljuˇ
cka da traˇ
zene taˇ
cke pripadaju
povrˇ
si koja u preseku sa (svim) ravnima normalnim na
z
-osu generiˇ
se koncentriˇ
cne kruˇ
znice polupreˇ
cnika 2. Ovaj
“stek” kruˇ
znica formira cilindriˇ
cnu povrˇ
s prikazanu na Slici 3(desno).
Slika 3: Skup taˇ
caka koji zadovoljava jednaˇ
cinu
x
2
+
y
2
= 4 u
R
2
(levo); u
R
3
(desno).
Napomenimo joˇ
s i da iz prethodnog ne treba zakljuˇ
citi da u prostoru
R
3
ne moˇ
zemo definisati kruˇ
znicu (ili
neku drugu krivu), ve´
c samo povrˇ
si. Na primer, skup taˇ
caka koji u
R
3
zadovoljava uslove
x
2
+
y
2
= 4 i
z
= 5 je
kruˇ
znica sa centrom na
z
-osi (u taˇ
cki (0
,
0
,
5)), polupreˇ
cnika 2.
U nastavku ´
cemo navesti jednaˇ
cine nekih povrˇ
si koje se veoma ˇ
cesto pojavljuju u praksi i sa kojima ´
cemo se
ˇ
cesto sretati. Prikaza´
cemo ih grafiˇ
cki. Naglaˇ
savamo da je crtanje grafika funkcija dve promenljive daleko sloˇ
zeniji
postupak nego onaj koji koristimo za crtanje grafika funkcija jedne promenljive (a uz to grafike funkcija sa viˇ
se
od dve promenljive uopˇ
ste ne moˇ
zemo da predstavimo). Zbog toga praktiˇ
cno nikad ne´
cemo ni pokuˇ
savati da
grafiˇ
cki predstavimo neku opˇ
stu funkciju dve promenljive; uglavnom ´
cemo se, bar kad je o graficima reˇ
c, zadovoljiti
koriˇ
s´
cenjem manjeg skupa “poznatih” povrˇ
si (grafika). Ovu grupu ˇ
cine tzv.
povrˇ
si drugog reda
, i to samo jedan
uˇ
zi izbor ovih povrˇ
si. Prikaza´
cemo ih u nastavku.
4
Napomenimo joˇ
s samo da je opˇ
sti oblik povrˇ
si drugog reda
Ax
2
+
By
2
+
Cz
2
+
Dxy
+
Exz
+
F yz
+
Gx
+
Hy
+
Iz
+
J
= 0
,
(1)
pri ˇ
cemu su
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
,
G
,
H
,
I
,
J
konstante. Za razne vrednosti konstanti dobijaju se razliˇ
citi tipovi
povrˇ
si.
Ravan
: Prva povrˇ
s koju navodimo nije u pravom smislu povrˇ
s drugog reda, jer se dobija (samo) kada su svi
koeficijenti uz nelinearne ˇ
clanove u jednaˇ
cini (1) jednaki nuli. Dakle, opˇ
sta jednaˇ
cina ravni je
ax
+
by
+
cz
+
d
= 0,
pri ˇ
cemu je
~n
= (
a, b, c
) vektor normale na tu ravan. Segmentni oblik jednaˇ
cine ravni,
x
l
+
y
p
+
z
q
= 1 omogu´
cava
direktno “ˇ
citanje” koordinata taˇ
caka preseka ravni sa koordinatnim osama: taˇ
cke (
l,
0
,
0), (0
, p,
0) i (0
,
0
, q
) su,
redom, taˇ
cke preseka ravni sa
x
-,
y
-, i
z
-osom. Primer je prikazan na Slici 4. Ravan je data jednaˇ
cinom
z
=
12
−
3
x
−
4
y
. Segmentni oblik,
x
4
+
y
3
+
z
12
= 1, pokazuje da su taˇ
cke preseka ravni i koordinatnih osa, redom,
(4
,
0
,
0), (0
,
3
,
0) i (0
,
0
,
12).
Slika 4: Grafik funkcije
z
= 12
−
3
x
−
4
y
; ovo je jednaˇ
cina ravni.
Nivo linije povrˇ
si:
Jedan od naˇ
cina da steknemo neku ideju o tome kako povrˇ
s izgleda je da posmatramo
njene
nivo-linije
. Dobijamo ih kada fiksiramo vrednosti funkcije
z
, odnosno posmatramo krive oblika
F
(
x, y
) =
C,
C
∈
R
.
Na ovaj naˇ
cin generiˇ
semo familiju krivih koje predstavljaju preseke posmatrane povrˇ
si sa horizontalnim ravnima
z
=
C
. “Stek” ovih krivih predstavlja posmatranu povrˇ
s. Za
z
= 0, specijalno, dobijamo presek povrˇ
si
xy
-ravni.
Primer je prikazan na Slici 5, gde su naznaˇ
cene nivo-linije povrˇ
si
z
=
p
x
2
+
y
2
. Na levoj strani Slike 5 nivo
linije su prikazane u 3D prostoru, a na desnoj strani su nivo-linije prikazane kao krive u
xy
-ravni; taˇ
cnije, prikazane
su projekcije nivo-linija na
xy
-ravan. Uz malo dodatne analize (u opˇ
stem sluˇ
caju, posmatranjem projekcija povrˇ
si
na preostale dve koordinatne ravni, odnosno fiksiranjem vrednosti promenljivih
x
= 0 i
y
= 0, i/ili posmatranjem
nivo linija za koje je
x
=
C
ili
y
=
C
), moˇ
zemo formirati kompletnu sliku o datoj povrˇ
si. U ovom sluˇ
caju nije teˇ
sko
zakljuˇ
citi da je posmatrana povrˇ
s konus.
Paraboloid:
Opˇ
sti oblik jednaˇ
cine paraboloida je
z
−
c
=
A
(
x
−
a
)
2
+
B
(
y
−
b
)
2
,
za
A
·
B >
0
.
Ovako je prikazan paraboloid sa osom koja je paralelna
z
-osi i prodire
xy
-ravan u taˇ
cki (
a, b,
0). U zavisnosti od
vrednosti koeficijenata, paraboloid moˇ
ze biti eliptiˇ
can ili kruˇ
zni (ˇ
sto je odred¯eno oblikom nivo-linija), sa temenom
u taˇ
cki (
a, b, c
) koje je lokalni minimum ili lokalni maksimum. Neki primeri su dati na Slici 6. Zamenom uloga
promenljivih dobijaju se paraboloidi ˇ
cije su ose paralelne sa bilo kojom od koordinatnih osa.
Konus:
Jednaˇ
cina (dvostranog) konusa (sa osom paralelnom
z
-osi) je karakteristiˇ
cnog oblika
(
z
−
c
)
2
=
A
2
(
x
−
a
)
2
+
B
2
(
y
−
b
)
2
,
5
Slika 7: Konusna povrˇ
s kojoj odgovara jednaˇ
cina
z
2
=
A
2
x
2
+
B
2
y
2
(levo). Cilindriˇ
cna povrˇ
s data jednaˇ
cinom
r
2
=
A
2
x
2
+
B
2
y
2
(desno).
Slika 8: Elipsoid sa centrom u koordinatnom poˇ
cetku i poluosama
A
,
B
, i
C
, dat je jednaˇ
cinom
x
2
A
2
+
y
2
B
2
+
z
2
C
2
= 1.
2
Viˇ
sestruki integrali
2.1
Uvod: Odred
¯eni integral funkcije jedne promenljive
Uopˇ
sti´
cemo pojam odred¯enog integrala (skalarne) funkcije jedne promenljive, koji smo definisali i izraˇ
cunavali na
zatvorenom intervalu koji je podskup domena posmatrane funkcije.
Posmatra´
cemo, prvo, skalarne funkcije viˇ
se (dve i tri) promenljivih i definisati
viˇ
sestruke
(dvostruke i trostruke)
integrale ovih funkcija, uzimaju´
ci za domen integracije neki podskup domena posmatrane funkcije. Dalje, defin-
isa´
cemo integral skalarne i vektorske funkcije viˇ
se promenljivih uzimaju´
ci za domen integracije neku krivu koja
je podskup domena posmatrane funkcije. Tako ´
cemo do´
ci do pojma
krivolinijskog
integrala (skalarne i vektorske
funkcije). Konaˇ
cno, definisa´
cemo integrale skalarnih i vektorskih funkcija viˇ
se promenljivih nad domenom inte-
gracije koji je neka povrˇ
s koja je podskup domena posmatranih funkcija; na ovaj naˇ
cin definisa´
cemo
povrˇ
sinske
7
