Matematička indukcija – Nizovi

Edukacijski fakultet Travnik

Seminarski rad

Predmet: Metodika nastave i istorija matematike

Tema: 

                                        Matematička indukcija. Nizovi

SADRŽAJ:

1. Pregled sadržaja  date nastavne teme
2. Priprema za čas obrade nastavnog gradiva 
3. Literatura 

2

Uvod u matematičku indukciju

U matematici često treba ispitati tačnost formule olika:   

     (1)

,za svaki prirodan broj 

n

. Kod formula oblika (1) može se postupiti na sledeći mačin: ako je 

(1) tačno zasvaki prirodan broj 

n

, tada uz (1) imamo  i  

, pa 

posle oduzimanja dobijamo 

. Pored toga , za n=1, (1) se svodi na 

. Dakle ako je 

   (za svako 

), tada je:  

 i 

     (za svako 

). Važi i obrnuto tvrđenje. Tako da se dokazivanje 

jednakosti (1) može zameniti sa dokazivanjem predhodne jednakosti. Ovaj metod je veoma 
specifičan i može se primeniti na dokazivanje jednakosti (1),a može se i preformulisati tako 
da posluži kao osnova za tzv. metod matematičke indukcije. Umesto jednakosti (1) može se 
dokazati njoj ekvivalentan sistem koji se sastoji iz jednakosti    

   … (2)   i 

  … (3). Jednakost (2) ostavimo kakva jeste,a jednakosti (3) daćemo 

jedan drugi smisao. Naime, ako sa 

 označimo formula (1) tada se jednakost (3) može 

interpretirati i na sledeći način: Ako je 

 tačno za neko 

n

, onda je i 

 tačno. Zaista,ako 

je formula 

 tačna za neko 

n

, tada se može i levoj i desnoj strani te formule dodati član 

, pa se dobija: 

, pa na osnovu (3) sledi: 

, što je upravo formula 

. Drugim rečima, da bismo 

dokazali tačnost formule 

 za svaki prirodan broj 

n

, dovoljno je dokazati sledeća dva 

tvrđenja: (4) formula 

 je tačna  i  (5) implikacija 

 mora biti tačna za svako 

.

Princip matematičke indukcije

Pretpostavimo da je 

 niz tvrđenja za koje važi:

a) tvrđenje  

 je tačno;

b) ako je tvrđenje 

 tačno, onda je uvek tačno i tvrđenje 

.

Tada je tvrđenje 

 tačno za svako 

.

Dokazivanje na osnovu principa matematičke indukcije, tj. metodom matematičke indukcije, 
ima široku i raznovrsnu primenu. Empirijskom indukcijom se mogu naslutiti neke formule 
koje zavise od prirodnog broja 

n

, a metod matematičke indukcije omogućuje da se u mnogim 

slučajevima utvrdi da li je postavljena hipoteza tačna ili nije.

Primer 1.

 Dokažimo jednakost:           

   … (1)

4

Ova jednakost je tačna za 

, jer postaje 

. Pretpostavimo da je (1) tačno. Tada 

dodajući obema stranama te jednakosti izraz 

n+1

, dobijamo 

       … (2)

Međutim, 

, pa (2) postaje: 

, a to je tačno formula (1), gde je n zamenjeno sa 

n+1

. Na 

osnovu principa matematičke indukcije zaključujemo da je (1) tačno za svako 

.

Neki specijalni nizovi

Aritmetički niz

Realan niz 

 naziva se aritmetički niz ako je razlika bilo koja dva 

susedna člana tog niza konstantna. Drugim rečima, niz 

 je aritmetički ako postoji realan 

broj 

d

 takav da je: 

   … (1)

Jednakosti (1) mogu se kraće napisati u obliku: 

   … (2)

Broj 

d 

 obično se zove razlika aritmetičkog niza 

.

Primetimo da je aritmetički niz 

 potpuno određen svojim prvim članom   i razlikom 

d

 jer 

jednoakost (2) daje indukcijsku definiciju niza 

. Pretpostavimo da su poznati prvi član   

aritmetičkog niza 

 i njegova razlika 

d

. Tada se iz (2) za n=1 dobija,  , za n=2 dobija se 

 itd. U stvari, polazeći od jednakosti (2) nije teško izvesti formula za opšti član 

aritmetčkog niza 

. Naime, iz (2) dobijamo: 

odakle posle sabiranja, izlazi: 

     … (3)

Prema tome, aritmetički niz ima oblik: 

.

Kako u formuli (3) učestvuju dva proizvoljna “parametra”   i 

d

, zaključujemo da je 

aritmetički niz potputno određen ne samo kada su poznati prvi član   i razlika 

d 

već kada su 

poznata bilo koja dva međusobno nezavisna podatka od nizu. 

Primer 1. 

Treći član aritmetičkog niza 

 četiri puta je veći od prvog, a šesti član je 

17

. Odrediti niz 

.

Imamo  

. Koristeći formula (3) dobijamo: 

 tj. sistem jednačina: 

, odakle 

5