Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ј С К И О Б Л И К
К О М П Л Е К С Н О Г Б Р О Ј А
Тригонометријски облик
комплексног броја је
облика
, где је
и
.
је
модуо
, а,
је
аргумент
комплексног броја где је
, и обележава
се
.
Аргумент комплексног броја није једнозначно
одређен. Имајући у виду периодичност
тригонометријских функција, аргумент је сваки
реални број облика
, где је
.
Специјално,број
који задовољава услов
назива се
главни аргумент
.
Пример:
Комплексан број
написати у
тригонометријском облику.
Модуо датог комплексног броја је
, а аргумент је
, па је тригонометријски
облик датог комплексног броја
.
О П Е Р А Ц И Ј Е
Нека су дата два комплексна броја
и
.
Множење:
Дељење:
Степеновање:
,
. Ова формула се зове
Моаврова
формула
.
Моаврова формула се може доказати применом
математичке индукције.
Корен
комплексног броја
Свако решење једначине
, где је
,
а
, дефинише се као
корен комплексног броја
,
Из једнакости
добијамо
Геометријски ова решења су темена правилног
Матрицом
називамо правоугаону шему са
m
×
n
елемената распоређених у
врста и
колона:
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
mn
]
Матрице се означавају великим словима латинице:
,
,
, ...
Произвољни елемент матрице
припада -тој
врсти и
-тој колони па матрицу можемо
означити и на следећи начин
[
a
ij
]
m
×
n
.
За матрицу са
врста и
колона кажемо да
има димензију
m
×
n
.
Две матрице
и
B
=[
b
ij
]
m
×
n
су једнаке,
ако и само ако је:
.
Ако је у матрици
[
a
ij
]
m
×
n
, тада
дефинишемо
матрицу врсте:
[
a
ij
]
1
×
n
=[
a
11
a
12
…
a
1
n
]
Ако је
, тада дефинишемо
матрицу колоне:
[
a
ij
]
m
×
1
=
[
a
11
a
21
⋮
a
m
1
]
Матрица чији су сви елементи нуле назива се
нула-матрица
.
Ако је број врста једнак броју колона, тада је
матрица
квадратна матрица
.
Елементи
леже на
главној
дијагонали
квадратне матрице, док елементи
припадају
споредној
дијагонали
.
Квадратна матрица у којој су сви елементи ван
главне дијагонале нула, а елементи на главној
дијагонали нису сви нула, зове се
дијагонална
матрица
.
D
=
[
a
11
0
⋯
0
0
a
22
…
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
…
a
nn
]
која се за
зове
јединична
матрица
и означава се словом
.
Замену места свих врста одговарајућим колонама
или обрнуто називамо
транспоновањем
матрице.
Ако је дата матрица
A
=[
a
ij
]
m
×
n
, њена
транспонована матрица имаће облик
.
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
mn
]
Kompleksni broj, algebra. oblik
У скупу реалних бројева једначина
нема решења.
Да бисмо могли да решимо ову једначину морамо
скуп реалних бројева проширити на скуп
комплексних
бројева.
, је
имагинарна јединица
.
Решење поменуте једначине постаје
Скуп свих уређених парова реалних бројева
у којем је
, тј.
z
=(
a , b
)
назива се скупом
комплексних бројева
, где је
.
Комплексни бројеви могу се представити као
тачке у комплексној равни. (слика 1)
Реални део
комплексног броја је
,
имагинарни део
.
Ако је
, комплексни број је
чисто
имагинари број
, ако је
, комплексни
број је
реалан број
.
Два комплексна броја
и
су
једнака
ако су им једнаки реални делови за
себе, а имагинарни за себе;
и
.
Сваком комплексном броју
одговара
коњуговано комплексни број
у ознаци
. (слика 2)
слика 2
Moдуо комплексног броја
дефинише
се као
.
Нека су дата два комплексна броја
z
1
=
a
1
+
ib
1
и
z
2
=
a
2
+
ib
2
.
Сабирање:
z
1
+
z
2
=(
a
1
+
a
2
)+
i
(
b
1
+
b
2
)
Одузимање:
z
1
−
z
2
=(
a
1
−
a
2
)+
i
(
b
1
−
b
2
)
Множење:
z
1
⋅
z
2
=(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
)+
i
(
a
2
b
1
+
a
1
b
2
)
Дељење:
Степеновање
комплексног броја природним
бројем се изводи помоћу операције множења
,
.
Напомена:
Имамо да је
; уопште:
И Н В Е Р З Н А М А Т Р И Ц А
Дата је квадратна матрица
. Матрица
која
има својство,
где је
јединична матрица, зове се
инверзна матрица
матрице
.
За квадратну матрицу
A
кажемо да је је
регуларна
ако је
, а
сингуларна
ако је
.
Адјунгована матрица
матрице
у ознаци
је транспонована матрица матрице
кофактора матрице
.
Инверзна матрица
,
квадратне регуларне матрице
је матрица
Р А Н Г М А Т Р И Ц Е
Матрица
има
ранг
, ако има бар
један минор реда
различит од нуле, а сви
минори реда
и вишег су једнаки нули.
Елементарне трансформације матрица
су:
*Множење свих елемената било које врсте
(односно колоне) матрице једним истим реалним
бројем
.
*Узајамна промена места две врсте (односно
колоне).
*Транспоновање матрице.
*Додавање елементима једне врсте (односно
колоне) одговарајућих елемената неке друге врсте
(односно колоне) помножених произвољним
бројем.
*Елементарне трансформације коначно много
пута примењене на матрицу не мењају ранг
матрице.
*Матрице
и
су
еквивалентне
, (пишемо
), ако и само ако се могу трансформисати
једна у другу помоћу коначно много узастопних
елементарних трансформација, тј. ако је
.
Пример:
Одредити ранг матрице:
Применом елементарних трансформација
превешћемо матрицу
у еквивалентну матрицу:
(1) Прва колона помножена је са –1 и редом
додата другој, трећој
и четвртој колони.
(2) Прва врста помножена је са –2, односно –3 и
додата другој односно трећој врсти.
(3) Друга врста је помножена са –1 и додата трећој
врсти.
(4) Друга колона помножена је са 3 и додата
трећој колони,
односно друга колона је додата четвртој колони.
Ранг матрице једнак је броју не нултих чланова на
Determinante 2 I 3 reda
Свакој квадратној матрици придружујемо реални
број који зовемо
детерминанта
.
Детерминаната
је квадратна шема бројева од
елемената распоређених у
врста и
колона.
Напомена:
Детерминанта је
реалан
број
који је
ради лакшег памћења записан као шема бројева, за
разлику од матрице која је само шема
произвољних елемената.
Број
назива се
детерминанта првог
реда
.
Број
назива се
детерминанта другог реда
.
Број
назива се
детерминанта
трећег реда
.
Сарусово правило
за детерминанте трећег реда
ЛАПЛАСОВО ПРАВИЛО
Основна идеја овог правила је да се
израчунавањеiдетерминанте
-тог реда своди на
израчунавање детерминанте
реда,
детерминанта
реда своди се на
израчунавање детерминанте
реда и тај
поступак се понавља све док се не дође до
детерминанте првог реда.
Да бисмо објаснили ову методу потребно је да
дефинишемо појам минора и појам кофактора.
Нека је
детерминанта
-тог реда
Детерминанта која се добија из детерминанте
одбацивањем -те врсте и
-те колоне назива се
минор
елемента
и обележава се са
.
Напомена:
Очигледно, детреминанта трећег реда
има онолико минора колико и елемената, тј.
Например, елементима
,
и
одговарају минори
Кофактор
елемента
. је број
(Лапласово правило)
Детерминанта је једнака
збиру производа елемената ма које врсте (односно
колоне) и одговарајућих кофактора тј.
Збир
матрица истих димензија
A
=[
a
ij
]
m
×
n
и
B
=[
b
ij
]
m
×
n
је матрица
C
=[
c
ij
]
m
×
n
ако и
само
ако
је
Напомена:
Збир матрица различитих димензија
није дефинисан.
Операција сабирања матрица има следеће
особине:
комутативност
A
+
B
=
B
+
A
асоцијативност
(
A
+
B
)+
C
=
A
+(
B
+
C
)
Производ броја
и матрице
A
=[
a
ij
]
m
×
n
је матрица истих димензија, чији се елементи
добијају када елементе матрице
помножимо
бројем
.
λA
=
λ
[
a
ij
]
m
×
n
=[
λa
ij
]
m
×
n
Операција множења матрице бројем има следеће
осбине:
комутативност:
асоцијативност:
(
αβ
)
A
=
α
(
βA
)
, α , β
≠
0
дистрибутивност с обзиром на збир бројева:
(
α
+
β
)
A
=
αA
+
βA
дистрибутивност с обзиром на збир матрица:
α
(
A
+
B
)=
αA
+
αB
Производ
матрица
и
је матрица
, чији елементи
c
ij
се формирају по закону:
Напомена
: Матрица
има онолико врста колико
их има матрица
A
и онолико колона колико их
има матрица
.
Напомена
: Дакле, елемент
c
ij
матрице
, који
се налази у пресеку
i
-те врсте и
j
-те колоне,
образује се тако што се елементи
i
-те врсте
матрице
A
помноже одговарајућим елементима
j
-те колоне матрице
и добијени производи
саберу.
Операција множења матрица има следеће осбине:
асоцијативност:
У општем случају за множење матрица
не важи
закон комутације
