Matematika i astronomija

JAVNA USTANOVA GIMNAZIJA „VASO  PELAGIĆ“

BRČKO DISTRIKT BOSNE I HERCEGOVINE

MATURSKI RAD

IZ MATEMATIKE

TEMA: MATEMATIKA I ASTRONOMIJA

     MENTOR

           KANDIDAT

Brčko, maj 2017. godine

2

Sadržaj

Strana

1. Uvod

..................................................................................................................................3

2. Rane ideje o svemiru: Klasična astronomija

................................................................4

2.1. Oblik Zemlje...............................................................................................................4
2.2. Veličina Zemlje.......................................................................................................... 5
2.3. Udaljenost i veličina Sunca i Mjeseca........................................................................7
2.4. Kretanje planeta.......................................................................................................... 9

2.4.1. Eudoksov model...................................................................................................9
2.4.2. Ptolomejev model..............................................................................................10

3. Astronomija u renesansi

...............................................................................................11

3.1. Nikola Kopernik....................................................................................................... 11

3.1.1. Heliocentrični model svemira............................................................................11
3.1.2. Udaljenosti planeta od Sunca.............................................................................12

3.2. Tiho Brahe................................................................................................................14
3.3. Johan Kepler............................................................................................................. 16

3.3.1. Prvi Keplerov zakon...........................................................................................17
3.3.2. Drugi Keplerov zakon........................................................................................17
3.3.3. Treći Keplerov zakon.........................................................................................18

3.4. Galileo Galilej...........................................................................................................18

Zaključak

........................................................................................................................... 21

Izvori

...................................................................................................................................22

4

2. Rane ideje o svemiru: Klasična astronomija 

2.1. Oblik Zemlje

Stari Grci su znali da je Zemlja okrugla. Još oko 500te godine p.n.e matematičar Pitagora

1

učio je svoje učenike da je Zemlja sfernog oblika. On je kao i mnogi drugi antički filozofi 

smatrao sferu najsavršenijim geometrijskim oblikom, jer se na njoj nijedna tačka površine 

ničim   ne   razlikuje   od   ostalih.   Pitagorejci   su   smatrali   da   su   bogovi   upravo   zbog   toga 

upotrijebili taj savršen oblik pri stvaranju naše planete.

 Oko 300te godine p.n.e. starogrčki filozof Aristotel

2

     je dao prve prave argumente za sferni 

oblik Zemlje koji su proistekli iz jednostavnih posmatranja golim okom. On je zapazio da 

ako gledamo pomračenje Mjeseca kada sjenka Zemlje pada na Mjesec, možemo jasno 

vidjeti da je ta sjenka zaobljena (slika 1). U svom djelu „O nebu“ napisao je da obzirom da 

tu sjenku stvara Zemlja, njen oblik mora biti prouzrokovan oblikom Zemljine površine, 

koja stoga mora biti sferna. 

Sljedeći Aristotelov argument zasnovan je na opažanju da će putnik koji se pomjera ka 

jugu vidjeti zvijezde koje su mu prethodno bile skrivene ispod južnog horizonta, a to ne bi 

bilo moguće ukoliko bi Zemlja bila ravna (slika2).

1

 Pitagora (542-496. p.n.e) bio je starogrčki matematičar i filozof, najpoznatiji po Pitagorinoj teoremi.

2

 Aristotel (384-322. p.n.e) bio je starogrčki naučnik i filozof, koji je osnovao peripatetičku filozofsku školu u 

Atini.

Slika 1: Pomračenje Mjeseca.

Slika   2:   Posmatrač   A   ne   može   da   vidi 
zvijezdu, dok je ona vidljiva za posmatrača B.

5

Aristotel svemir vidi kao savršen, vječan i nepromjenljiv.

2.2. Veličina Zemlje

Sljedeći korak bilo je saznati veličinu Zemlje. Eratosten, grčki matematičar, geograf i 

astronom, izvršio je oko 200te godine p.n.e. prvo mjerenje obima  Zemlje i došao je do 

rezultata koji je bio približan onom kojeg danas znamo. 

U ovo vrijeme astronomi su dobro poznavali kretanje Sunca u toku godine i mogli su 

tačno da predvide vrijeme solisticija i ravnodnevnice. Eratosten je krenuo od činjenice da 

se u egipatskom gradu Sijeni (današnjem Asuanu) na ljetni solisticij (21.juna)   u podne 

Sunce nalazi tačno u zenitu i ne pravi sjenku. Uz pretpostavku da je Zemlja okrugla 

moglo se lako zaključiti da na Aleksandriju, koja se nalazi 5000 stadija (oko 800 km) 

sjevernije od Sijene , sunčevi zraci  padaju pod određenim uglom i prave sjenku. 

Eratosten je takođe pretpostavio da se Sunce nalazi na velikoj udaljenosti od Zemlje , te da 

zbog   toga   njegova   svjetlost   putuje   u   paralelnim   zracima   ka   Zemlji.   Prema   tome   dva 

sunčeva zraka,  od kojih jedan pogađa Aleksandriju, a jedan Sijenu, moraju biti paralelna. 

Poznavajući udaljenost ova dva grada, Eratosten je uvidio da je jedino potrebno pronaći 

ugao pod kojim sunčevi zraci padaju na Aleksandriju da bi mogao izačunati obim Zemlje. 

To je uradio tako što je u Aleksandriji vertikalno postavio štap i 21. juna u podne izvršio 

mjerenja. Ugao alfa (α)   pod kojim sunčevi zraci pogađaju Aleksandriju tražio je preko 

dužine štapa i dužine sjenke koju je on pravio (slika3) :

7

2.3. Udaljenost i veličina Sunca i Mjeseca

Aristarh (310 -230. p.n.e) bio je grčki astronom i matematičar rođen na ostrvu Samos. Bio 

je prvi čovjek koji je zastupao heliocentrični sistem, koji u središte poznatog svemira 

postavlja Sunce, a ne Zemlju.

Jedina sačuvana knjiga koju je napisao Aristarh je 

„O veličinama i udaljenostima Sunca i 

Mjeseca“

 i u ovom djelu izračunao je veličinu Sunca i Mjeseca, kao i njihovu udaljenost 

od Zemlje. Njegovi rezultati su bili od velikog značaja jer su prevazišli sve dotadašnje 

predstave o veličinama i rastojanjima nebeskih tijela. Oni su pokazali da je Mjesec veliko 

nebesko tijelo i da mu obim iznosi oko 

0.35

 obima Zemlje. Takav rezultat dobio je tako 

što je koristio veličinu Zemljine sjenke na Mjesecu pri pomračenju Mjeseca da procijeni 

relativne veličine ovih nebeskih tijela. Danas znamo da je tačan odnos njihovih obima 

0.27

.

Aristarh je takođe izračunao da je rastojanje između Sunca i Zemlje oko 

19

 puta veće od 

rastojanja Zemlje i Mjeseca. Do tih proračuna došao je poznavajući da je ugao između 

Sunca   i   Mjeseca  

90

°

,   kada   se   Mjesec   nalazi   u   prvoj   četvrtini,   odnosno   kada   mu   je 

osvjetljena polovina okrenuta ka Suncu (slika 5). 

Ukoliko se izmjeri ugao između Sunca i Mjeseca φ, omjer udaljenosti Sunca i Mjeseca se 

može izračunati korišćenjem trigonometrije:

S
L

=

1

cosφ

Slika 5: Mjerenje udaljenosti Sunca i Mjeseca.