Растко Вуковић: Математика II
Бања Лука, 2011.
4
Птоломејева теорема 0.0.1.
Четвороугао је тетиван (уписан у кружницу) ако и
само ако му је производ дијагонала једнак збиру производа супротних страница,
другим ријечима акко је
AC
BD
=
AB
CD
+
BC
AD
, као на сљедећој слици.
Доказ:
Периферни углови над истом тетивом су
једнаки, па је
BAC
=
BDC
=
и
CAD =
CBD =
. Нека је
DCE
=
BCA
=
. Тада
имамо сличне троуглове:
CDE
~
ACB
и
ACD
~
BCE
. Отуда
DE
:
CD
=
AB
:
AC
и
BE
:
BC
=
AD
:
AC
, па добијамо
DE
AC
=
CD
AB
и
BE
AC
=
BC
AD
. Сабирањем ових једнакости
DE
AC
+
BE
AC
=
CD
AB
+
BC
AD
, тј. (
DE + BE
)
AC
=
CD
AB
+
BC
AD
. Како је
DE + BE
=
BD
то је
BD
AC
=
CD
AB
+
BC
AD
.
1. Правоугли троугао
Основне
тригонометријске функције
дефинишемо на правоуглом троуглу.
c
a
sin
,
c
b
cos
, tg
=
b
a
, ctg
=
a
b
.
Основни
тригонометријски идентитети
су:
1
cos
sin
2
2
, tg
=
cos
sin
, ctg
=
sin
cos
,
cos
sin
, tg
= ctg
. Такође
2
1
sin
t
t
,
2
1
1
cos
t
, гдје
t
= tg
, а за оштре углове (0-90
) предзнак
је плус.
1.1.
Основне особине
Основне формуле
тригонометријских функција су нам познате још из првих
разреда средње школе па ћемо их овдје само поновити кроз примјере и задатке.
То су дефиниције тригонометријских функција на правоуглом троуглу и пар
теорема за рјешавање троуглова.
Примјер 1.1.1.
Наћи угао
у (оштроуглом) троуглу
ABC
, чије су странице
AB
и
BC
дужине 20 и 10 центиметара, а
B
= 50
.
Рјешење:
На слици десно, датом троуглу
ABC
повучена је висина
CD
=
h
, која страницу
AB
дијели на дужи
AD
и
DB
=
q
.
Из
BCD
:
BD
CD
50
sin
=
10
h
h
= 10
sin 50
, такође
CD
BD
50
cos
=
10
q
q
= 10
cos 50
. Са друге стране, из
ACD
: tg
=
q
h
AD
CD
20
=
50
cos
10
20
50
sin
10
=
Растко Вуковић: Математика II
Бања Лука, 2011.
5
0,564425 заокружено на 5 децимала. Отуда
= 29,44
. Како у степену има 60
минута, а у минути 60 секунди, због 0,44
60 = 26,4’ и 0,4’
60 = 24” добијамо
=
29
26’ 24”.
Примјер 1.1.2.
Без употребе таблица или калкулатора израчунати:
а)
tg 15
;
б)
sin 18
.
Рјешење:
а)
На слици лијево, дат је једнакокраки троугао
ABC
, гдје је
AB
=
AC
= 2,
ABC
=
BCA
= 75
, висина из тјемена
B
датог
троугла
BD
= 1.
Како је
AD
= 3 , из правоуглог троугла
BCD
добијамо
tg 15
=
CD
=
AC
–
AD
= 2 – 3 . Према томе tg 15
= 2 – 3 .
б)
На сљедећој слици десно дат је једнакокраки троугао
ABC
, гдје је
AB
=
AC
= 1 и
ABC
=
ACB
= 72
.
AD
је
висина,
BE
је симетрала угла.
Нека је
BC
=
x
. Тада је
AE
=
BE
=
BC
=
x
и
2
18
sin
x
. Из
сличности троуглова
ABC
и
BCE
слиједи
x
: (1 –
x
) = 1 :
x
,
или
x
2
+
x
– 1 = 0, односно
0
1
4
1
4
1
2
x
x
. Отуда
0
4
5
2
1
2
x
, или
2
5
2
1
x
, тј.
2
5
1
2
,
1
x
.
Задовољава само једно рјешење
2
1
5
1
x
. Према томе,
4
1
5
18
sin
, тј. sin 18
=
/ 2, гдје је број
тзв. златни пресјек.
Задаци 1.1.3.
1.
Користећи слику правоуглог троугла:
а)
Написати тригонометријске функције за углове алфа и бета;
б)
Доказати основне тригонометријске идентитете.
2.
Цртежима једнакостраничног троугла и квадрата, доказати:
30
45
60
sin
2
1
2
2
2
3
cos
2
3
2
2
2
1
tg
3
3
1
3
3.
Наћи непознати елеменат
х
на слици:
Растко Вуковић: Математика II
Бања Лука, 2011.
7
обично пише троцифрено и завршава словом Т. На примјер 045
Т је
сјевероисточно, на 225
Т је југозапад.
Примјер 1.2.1.
Првим осматрањем са брода који плови ка истоку опажено је
светионик на правцу (берингу) 050
Т. Када је брод прешао 4 километара исти
свјетионик је опажен са правцем 035
Т. Колика је удаљеност извора свјетла од
брода у другом опажању?
Рјешење:
На слици десно, брод са прве тачке
A
опажа свјетионик, тачку
D
под
углом
= 050
у односу на сјевер (енг.
North
), затим
након пређених
m
= 4 km пловећи у правцу истока
(
East
), из тачке
B
исту тачку
D
опажа под углом
(
bearing
)
= 035
. На правцу путовања брода
најближа тачка светионику је
C
. Из
ACD
имамо
tg(90
-
) =
d
m
b
AC
DC
, тј.
b
= (
m
+
d
)
ctg
.
Из
BCD
имамо tg(90
-
) =
d
b
BC
DC
, тј.
b
=
d
ctg
.
Отуда (
m
+
d
)
ctg
=
d
ctg
, те
BC
=
ctg
ctg
ctg
m
d
5,7 km, па је
DC
=
ctg
ctg
ctg
ctg
m
b
8,1 km.
Користећи Питагорину теорему
BD
2
=
BC
2
+
CD
2
, тј.
c
2
=
d
2
+
b
2
добијамо
sin
d
c
9,9 km.
Елевација
је висина тачке изнад неке основе, или равни. Угао елевације је угао
под којим се види узвишена тачка. Слично,
угао депресије
је угао под којим се
види нека тачка испод неке основе, или равни.
Примјер 1.2.2.
Од тачке
A
у правцу сјевера до подножја стјене има 100 метара, а
угао елевације врха стијене је 35
. Врх стијене се види из тачке
B
у правцу
истока под углом елевације 25
. Колико су удаљене тачке
A
и
B
?
Рјешење:
На слици лијево,
CAD
=
= 35
угао елевације врха стијене (
D
) из
тачке
A
. Удаљеност до подножја
стјене је
AC
=
b
= 100 m. Угао
елевације стјене из источне тачке
B
је
CBD
=
= 25
.
Из
ABC
имамо
AB
2
=
AC
2
+
BC
2
.
Из
BCD
имамо tg
=
BC
CD
.
Из
ACD
имамо tg
=
b
h
AC
CD
, тј.
h
=
b
tg
= 100
tg 35
70 метара. Из
претходне,
a
=
tg
CD
BC
=
tg
tg
b
=
25
tg
35
tg
100
150 m. Поново предходна
