studenti.rs home page

6.

 

Matrice

 

Matrica

 

je,

 

sli

č

no

 

kao

 

i

 

determinanta,

 

pravougaona

 

šema

 

brojeva.

 

Za

 

razliku

 

od

 

determinante,

 

matricu

 

ne

 

možemo

 

izra

č

unati

 

i

 

svesti

 

je

 

na

 

jedan

 

broj.

 

Osim

 

toga,

 

uo

č

ite

 

bitnu

 

razliku

 

u

 

ozna

č

avanjima

 

matrice

 

i

 

determinante.

 

Najzad,

 

matrica

 

ne

 

mora

 

imati

 

jednak

 

broj

 

vrsta

 

i

 

kolona,

 

kao

 

što

 

je

 

to

 

slu

č

aj

 

kod

 

determinante.

 

Matrice

 ć

emo

 

uvijek

 

ozna

č

avati

 

velikim

 

slovima

 

latinice.

 

Proizvoljnu

 

matricu

 

koja

 

ima

 

m

 

vrsta

 

i

 

n

 

kolona

 

možemo

 

napisati

 

u

 

skra

ć

enom

 

obliku

 

ovako:

 

ij

m n

A

a

×

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

 

dok

 

se

 

detaljnije

 

to

 

može

 

napisati

 

ovako:

 

11

12

1

21

22

2

1

2

...

...

.

.

.

.

.

...

n

n

m

m

mn

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

 

Kad

 

navodimo

 

elemente

 

matrice,

 

umjesto

 

zagrada

 

[

 

],

 

mogu

 

se

 

koristiti

 

i

 

zagrade

 

(

 

)

 

ili

 

.

 

Za

 

matricu

 

koja

 

ima

 

m

 

vrsta

 

i

 

n

 

kolona

 

kažemo

 

da

 

ima

 

format

 

m n

×

 

ili

 

da

 

je

 

tipa

 

(

)

,

.

m n

 

Ukoliko

 

je

 

,

m

n

=

 

kažemo

 

da

 

je

 

matrica

 

kvadratna.

 

Svakoj

 

kvadratnoj

 

matrici

 

M

 

možemo

 

pridružiti

 

njenu

 

determinantu,

 

koju

 ć

emo

 

ozna

č

iti

 

sa

 

( )

det

.

M

 

Primjer:

 

( )

3

4

3

4

det

24 8 16.

2

8

2

8

M

M

⎡

⎤

=

⇒

=

=

− =

⎢

⎥

⎣

⎦

 

Ako

 

matrica

 

nije

 

kvadratna,

 

ona

 

nema

 

svoju

 

determinantu.

 

Matrice

 

ij

m n

A

a

×

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

 

i

 

ij

p r

B

b

×

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

 

su

 

jednake

 

ako

 

i

 

samo

 

ako

 

imaju

 

isti

 

format,

 

tj.

 

i

m

p

n

r

=

=

 

i

 

osim

 

toga

 

svi

 

odgovaraju

ć

i

 

elementi

 

na

 

istim

 

pozicijama

 

su

 

im

 

me

đ

usobno

 

jednaki,

 

tj.

 

(

)

1, 2,..., ,

1, 2,..., ;

ij

ij

a

b

i

m j

n

=

=

=

 

Matricu

 

koja

 

je

 

sastavljena

 

samo

 

od

 

nula

 

zovemo

 

nula

 

matricom

 

i

 

ozna

č

avamo

 

sa

 

O

.

 

 

6.1

 

Operacije

 

sa

 

matricama

 

1)

 

Sabiranje

 

matrica

 

Možemo

 

sabrati

 

samo

 

dvije

 

matrice

 

istog

 

tipa.

 

Matrice

 

se

 

sabiru

 

tako

 

da

 

se

 

saberu

 

elementi

 

na

 

istim

 

pozicijama.

 

Naime,

 

ako

 

su

 

date

 

matrice

 

ij

m n

A

a

×

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

 

i

 

,

ij

m n

B

b

×

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

 

tada

 

je

 

.

ij

ij

m n

A B

a

b

×

⎡

⎤

+ =

+

⎣

⎦

 

Sabiranje

 

matrica

 

o

č

igledno

 

ima

 

osobine

 

komutativnosti

 

i

 

asocijativnosti.

 

Osim

 

toga,

 

ako

 

je

 

O

 

nula

 

matrica

 

istog

 

tipa

 

kao

 

matrica

 

A

,

 

imamo

 

da

 

je

 

.

A O

O

A

A

+ = + =

 

 

2)

 

Oduzimanje

 

matrica

 

Možemo

 

oduzeti

 

samo

 

dvije

 

matrice

 

istog

 

tipa.

 

Matrice

 

se

 

oduzimaju

 

tako

 

da

 

se

 

oduzmu

 

elementi

 

na

 

istim

 

pozicijama.

 

Naime,

 

ako

 

su

 

date

 

matrice

 

ij

m n

A

a

×

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

 

i

 

,

ij

m n

B

b

×

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

 

tada

 

je

 

.

ij

ij

m n

A B

a

b

×

⎡

⎤

− =

−

⎣

⎦

 

3)

 

Množenje

 

matrice

 

(realnom

 

ili

 

kompleksnom)

 

konstantom

 

Matricu

 

množimo

 

(realnom

 

ili

 

kompleksnom)

 

konstantom

 

tako

 

da

 

svaki

 

njen

 

element

 

pomnožimo

 

sa

 

datom

 

konstantom,

 

tj.

 

,

.

ij

ij

m n

m n

A

a

A

a

α

α

α

×

×

⎡ ⎤

⎡

⎤

∈

=

⇒

=

⎣ ⎦

⎣

⎦

 

Množenje

 

matrica

 

konstantom

 

ima

 

sljede

ć

e

 

osobine:

 

a)

 

1

A

A

⋅ =

 

b)

 

(

)

A B

A

B

α

α

α

+

=

+

 

c)

 

(

)

A

A

A

α β

α

β

+

⋅ =

+

 

d)

 

( )

( )

A

A

αβ

α β

=

 

za

 

proizvoljne

 

konstante

 

,

α β

 

i

 

matrice

 

A

 

i

 

B

.

 

4)

 

Množenje

 

matrica

 

Matrice

 

A

 

i

 

B

 

se

 

mogu

 

pomnožiti

  

(

)

ili

A B

AB

⋅

samo

 

ako

 

je

 

broj

 

vrsta

 

matrice

 

B

 

jednak

 

broju

 

kolona

 

matrice

 

A

.

 

Ako

 

je

 

,

,

ij

jk

m n

n p

A

a

B

b

×

×

⎡ ⎤

⎡ ⎤

=

=

⎣ ⎦

⎣ ⎦

 

tada

 

je

 

[ ]

,

ik m p

A B

C

c

×

⋅ = =

 

pri

  č

emu

 

je

 

(

)

1

1, 2,..., ;

1, 2,...,

.

n

ik

ij

jk

j

c

a b

i

m k

p

=

=

=

=

∑

 

Primjer:

 

Neka

 

je

 

2

2

1

2

2 14

4 8

12

4

,

,

4

6

7

4

4 42 8 24

46

32

A

B

AB

−

−

−

−

−

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤ ⎡

⎤

=

=

⇒

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

+

+

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦ ⎣

⎦

 

dok

 

je

 

2 8

2 12

10 10

.

14 16

14 24

30 10

BA

+

− +

⎡

⎤ ⎡

⎤

=

=

⎢

⎥ ⎢

⎥

+

− +

⎣

⎦ ⎣

⎦

 

O

č

ito

 

je

 

,

AB

BA

≠

 

dakle

 

množenje

 

matrica

 

nije

 

komutativno.

 

Me

đ

utim,

 

vrijede

 

sljede

ć

e

 

osobine:

 

a)

 

( )

( )

AB C

A BC

=

 ‐ 

asocijativnost

 

množenja

 

matrica

 

b)

 

(

)

A B C

AC

BC

+

=

+

 ‐ 

distributivnost

 

množenja

 

u

 

odnosu

 

na

 

sabiranje

 

s

 

desne

 

strane

 

c)

 

(

)

A B C

AB

AC

+

=

+

‐ 

distributivnost

 

množenja

 

u

 

odnosu

 

na

 

sabiranje

 

s

 

lijeve

 

strane

 

background image

Želiš da pročitaš svih 10 strana?

Prijavi se i preuzmi ceo dokument.

Prijavi se Napravi nalog

Ovaj materijal je namenjen za učenje i pripremu, ne za predaju.

Slični dokumenti